第2章 相交线与平行线 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

本章小结 大单元思维导图心……… 两个角有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，具有 这种位置关系的两个角叫作对顶角 对顶角 对顶角相等 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角 余角 同角或等角的余角相等 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角 相交线 补角 同角或等角的补角相等 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条 直线互相垂直 相交线与平行线 垂直 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短 同位角相等，两直线平行 探索两直线 内错角相等，两直线平行 平行的条件 同旁内角互补，两直线平行 平行线 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 平行线的性质 两直线平行，同旁内角互补 大单元考点训练 … 考点①对顶角、补角、余角及其性质 若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与 1.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB ∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余 于点O,OF平分∠AOE,∠1=1531'，则下 线” 列结论不正确的是 (1)若OC平分∠AOB,且OC为∠AOB的 A.∠AOD与∠1互为补角 “分余线”，则∠AOB= B.∠1=∠3 (2)如图，∠AOB=156°，在∠AOB内部作 C.∠1的余角等于75°291 射线OC,OM,使OM为∠AOC的平分线， D.∠2=459 在∠BOC的内部作射线ON,使∠BON= E 2∠CON.当OC为∠MON的“分余线”时， D 301 B 则∠BOC的度数为 3.一个角的余角的2倍比这个角的补角的2 第1题图 第2题图 2.(2025六安期末)定义：从∠a(45°<∠a< 少27°，则这个角的度数为 90)的顶点出发，在角的内部作一条射线： 下册第二章 考点2垂线及其性质 9.如下图，∠DAE+∠CBF=180°，CE平分 4.如图，AB⊥AC,AD⊥BC,垂 ∠BCD,∠BCD=2∠E. 足分别为A,D,则图中能表 (1)CD与EF平行吗？请说明理由 示点到直线的距离的线段共 B D (2)若DF平分∠ADC,求∠CDF+∠DCE 第4题图 有 的度数. A.2条B.3条C.4条 D.5条 5.已知O为水平直线AB上一点（不与点A, B重合)，点D,E在直线AB上方，OD⊥ OE.若∠AOD=50°，则∠BOE的度数为 6.如右图，直线AB,CD相交于 点O,OF平分∠AOE,OF⊥ CD,垂足为O. (1)写出图中所有与∠AOD互补的角. (2)若∠AOE=110°，求∠BOD的度数. 10.如右图，点E,F在直线 M F AB上，点G在线段CD 37 —B 上，ED与FG交于点H,c 连接CE并延长至点M,∠C=∠3，∠1 =∠2. (1)试说明：CE∥GF, 考点3平行线的性质与判定 (2)试判断∠AED与∠D之间的数量关 7.(2025达州)如图，一束平行于主光轴的光线 系，并说明理由。 经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交 (3)若∠EHF=88°，∠D=28°，求∠AEM 于主光轴的焦点F.若∠1十∠2=35°，则 的度数 ∠AFB的度数为 ( A.35°B.55 C.70° D.145 2 第7题图 第8题图 8.如图，直线11，l2,l3被直线14所截.若l1∥ 12,l2∥13，∠1=126°32'，则∠2的度数是 34 数学七年级BS版由已知条件易知丙、丁的说法错误. 3.95°4.105 5.解：因为AB∥CD,所以∠1=∠ACD, 因为∠1=∠2，所以∠2=∠ACD,所以AE∥DF. 6.解：(1)100 (2)因为AE平分∠BAD,∠BAD=100°，所以 ∠DAE=2∠BAD=50°： 因为AD∥BC,所以∠AEB=∠DAE=50°. 因为∠C=50°，所以∠AEB=∠C, 所以AE∥DC. 一题多解法 (2)因为AD∥BC,∠BCD=50°， 所以∠D=180°-∠BCD=130° 1 因为AE平分∠BAD,所以∠DAE= ∠BAD =50°， 所以∠DAE+∠D=180°，所以AE∥DC 7.已知EF内错角相等，两直线平行已知CD 同旁内角互补，两直线平行CDEF∠F∠E 等量代换 8.D 9.30°或150°【解析】由题意，得∠ADE=30°，∠ACB =∠DAE=90°.分两种情况讨论： ①DE在AB左侧，如图①. 图① 当∠BAD=∠ADE=30时，AB∥DE; ②DE在AB右侧，如图②. D 图② 当∠BAD+∠D=180时，AB∥DE, 则∠BAD=180°-∠D=150°. 综上所述，当∠BAD=30°或150时，DE∥AB 10.解：(1)因为∠1=∠B, 所以ABGD, 所以∠2=∠BAD 因为∠2+∠3=180°， 所以∠BAD+∠3=180°， 所以EH∥AD. (2)因为EH∥AD, 所以∠2=∠H. 因为∠2=∠BAD, 所以∠H=∠BAD, 所以∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=∠DGC =58 因为∠H-∠4=10°， 所以2∠H=68°， 所以∠H=34°. 11.解：(1)因为AB∥CD,所以∠2=∠3， 根据题意可知，∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠1=∠2=∠3=∠4， 所以180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4， 所以∠5=∠6，所以m∥m. (2)如图，因为m∥n,所以∠MAC M +∠ACN=180°. 因为∠1+∠2+∠MAC=180°，B ∠3+∠4+∠ACN=180°， 所以∠1+∠2+∠3十∠4=180° +180°-∠ACN-∠MAC=180° 由题意，得∠1=∠2，∠3=∠4， 1 所以∠2+∠3=2×180=90°， 所以∠B=180°-∠2-∠3=90°. 本章小结 1.C 2.(1)60°(2)72°或99 【解析】(1)因为OC平分∠AOB,且OC为∠AOB的 “分余线”， 1 所以∠AOC=∠BOC=2∠AOB, 3 ∠AOC+∠AOB=2∠AOB=90, 所以∠AOB=60°. (2)因为OM为∠AOC的平分线， ∠BON=2∠CON, 所以∠AOM=∠COM=2∠AOC, 1 ∠CON=2∠BON, 所以∠CON=3∠BOC. 分两种情况讨论： ①当∠CON+∠MON=90时， 2∠CON+∠COM=90°， 2 所以2∠A0C+3∠BOC=90°， 所以2（∠A0C+∠B00)+G∠B0C=90. 即2∠A0B+6∠B0C=90, 所以∠BOC=72°； ②当∠COM+∠MON=90°时， 下册参考答案 2∠COM+∠CON=90°， 1 所以∠A0C+3∠BOC=90°， 所以∠A0C+∠B0C-号∠B0C=90 即∠A0B-3∠B0C=90, 所以∠BOC=99°. 综上所述，∠BOC的度数为72°或99° 3.78°【解析】设这个角的度数为x°，则这个角的余角 的度数为(90一x)°，补角的度数为(180一x)°. 依题意，得2(180-x)°-2(90-x)°=27°，解得x =78. 故这个角的度数为78° 4.D 5.40°或140°【解析】因为OD⊥OE,所以∠D0E =90°. 如图，分以下两种情况讨论： 当点O在A,B两点之间时， ∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE=40°： 当点O不在A,B两点之间时， ∠BO'E'=∠AOD'+∠D'O'E'=140°. 综上所述，∠BOE的度数为40°或140° ED' E d AO B O' 6.解：(1)与∠AOD互补的角有∠BOD,∠AOC, ∠DOE (2)因为∠AOE=110°，所以∠BOE=180°-∠AOE =180°-110°=70° 因为OF平分∠AOE,所以∠FOE=2∠AOE=2 ×110°=55°.因为OF⊥CD,所以∠FOD=90°，所以 ∠EOD=∠FOD-∠FOE=90°-55°=35°，所以 ∠BOD=∠BOE-∠EOD=70°-35°=35 7.A【解析】如图，根据题意可得C A AC∥FO,DB∥FO, 所以∠AFO=∠1，∠BFO =∠2. D 因为∠1+∠2=35°，所以∠AFB=∠AFO+∠BFO =∠1+∠2=35°. 8.5328'【解析】如图，因为l1∥12， L23,所以l1∥3， 所以∠1=∠3=126°32'， 所以∠2=180°-∠3=180°- 3人2 126°32′=53°28 9.解：(1)CD∥EF 理由：因为CE平分∠BCD, 所以∠BCD=2∠DCE 又因为∠BCD=2∠E, 所以∠E=∠DCE, 12 数学七年级BS版 所以CD∥EF, (2)因为∠DAE+∠CBF=180°，∠DAE+∠DAB =180°， 所以∠CBF=∠DAB, 所以AD∥BC, 所以∠ADC+∠DCB=180°. 因为DF平分∠ADC, 所以∠CDF=∠ADC, 因为CE平分∠BCD, 所以∠DCE=名∠DCB. 1 1 所以∠CDF+∠DCE=Z∠ADC+2∠DCB= 2(∠ADC+∠DCB)=2×180°=90 1 10.解：(1)因为∠1=∠2，所以CE∥GF. (2)∠AED+∠D=180°.理由如下： 因为CE∥GF,所以∠C=∠FGD. 因为∠C=∠3，所以∠FGD=∠3， 所以AB∥CD,所以∠AED+∠D=180°. (3)因为AB∥CD, 所以∠BED=∠D=28° 因为CE∥GF,所以∠1=∠EHF=88°， 所以∠AEM=∠BEC=∠BED+∠1=116. 第三章概率初步 1感受可能性 1.C2.A 3.B【解析】①掷1次骰子，朝上的面的点数是3，是随 机事件，不符合题意：②从1个只装有黑色球的袋子 中摸出1个球，摸到的是白球，是不可能事件，也是确 定事件，符合题意；③14个人中至少有2个人的生日 是在同1个月份，是必然事件，也是确定事件，符合题 意；④射击运动员射击1次命中靶心，是随机事件，不 符合题意.故是确定事件的有2个. 4.随机5.D6.绿 7.C8.B9.B10.②11.④>③>②>① 12.解：(1)B (2)因为抽到水壶的可能性>抽到球拍的可能性> 抽到手机的可能性， 所以设计的6张牌中应有3张对应水壶，2张对应球 拍，1张对应手机，设计如图所示（位置不唯一）. 水壶 与 水 谢谢 翻奖牌背面 13.解：(1)这个游戏对双方公平.