第2章 相交线与平行线 3 平行线的性质-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

3平行线的性质 第1课时平行线的性质 要点提示 平行线的三个性质：(1)两条平行直线被第三条直线所裁，同位角相等（简述为两直线平行，同位角 相等).如右图，如果α∥b,那么∠1=∠4：(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（简述 为两直线平行，内错角相等)，如右图，如果a∥仍，那么∠2=∠4；(3)两条平行直线被第三条直线所 截，同旁内角互补（简述为两直线平行，同旁内角互补）.如右图，如果ā仍，那么∠3十∠4=180° O1固基础 。 5.如图，AB∥CD,AB⊥AE,∠CAE=42°，则 ∠C的度数为 知识点平行线的性质 6.如右图，DB∥FG∥EC,A是 1.(2025云南)如图，已知直线c与直线a,b都 FG上一点，∠D=58°，∠C 相交.若a仍，∠1=50°，则∠2= ( ) =34°，AP平分∠CAD.求 A.53° B.52 C.51° D.50° D ∠PAG的度数. C A 1E B D 2G F 第1题图 第2题图 2.(2025长沙)如图，AB∥CD,直线EF与直 线AB,CD分别交于点E,F,直线EG与直 线CD交于点G.若∠1=70°，∠2=50°，则 ∠GEF的度数为 7.下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图， A.50° B.60° C.65° D.70° 扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背 3.(教材变式)如图所示的是 DM与前支架OE平行，前支架OE与后支 一段自来水管道的示意 架OF分别与CD交于点G,D,AB与DM 图，经过多次拐弯后，管道 交于点N.当∠EOF=90°，∠ODC=30°时， 仍保持平行(AB∥CD∥ 第3题图 人躺着最舒服.求此时扶手AB与前支架 EF,BC∥DE).若∠B=70°，则∠E的度数 OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM 为 ( 的夹角∠ANM的度数. M A.70° B.110°C.120°D.130° A O N/ -B 4.如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD 经过凸透镜折射后，折射光线BE,DF交于 主光轴上一点G.若∠ABE=130°，∠CDF =150°，则∠EGF的度数是 第4题图 第5题图 29 下册第二章 之02提能力 在CD上，且∠1=2∠2，则∠1的度数为 8.(2025抚州金溪期中)如图，已知直线AB∥ (2)如图②，若把三角尺的直角顶点F落在 CD,则a,B,Y之间的关系是 ( AB上，60°角的顶点G落在CD上，则 A.a+3-2y=180°B.B-a=y ∠AFG与∠EGD的数量关系为 C.a+3+y=360° D.3+y-a=180° C D 2 13.如下图，∠MON=50°，OE平分∠MON, B A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动 D B 点（点A,B,C不与点O重合），且AB∥ 第8题图 第9题图 ON,连接AC交射线OE于点D. 9.如图所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位 (1)求∠ABO的度数. M 于点O的灯泡发出的两束光线OB,OC经 (2)当三角形ADB中有两 灯碗反射以后平行射出.若∠ABO=α， 个相等的角时，求∠OAC的 D ∠DCO=3,则∠BOC的度数为 0 度数. A.180°-a-3 B.a+B C.z(a+8) D.90°+(3-a) 10.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折 叠后，点D,C分别落在点M,N的位置 上，EM与BC交于点G.若∠EFG=48°， 则∠2一∠1= D 第10题图 第11题图 11.如图所示的是一款手推车的侧面结构示意 图，其中AB∥CD,则∠1，∠2，∠3的数量 关系是 12.把一块含60°角的直角三角尺EFG (∠EFG=90°，∠EGF=60).按图所示的 方式摆放在两条平行线AB,CD之间 O3拓思维)◆ 14.推理能力如图，AB∥CD, B 2入 21 则∠1+∠2+∠3+…+3 G 图① 图② ∠2n的度数为 C D 第12题图 第14题图 (n为正整数). (1)如图①，若三角尺的60°角的顶点G落 30 数学七年级BS版 第2课时平行线性质与判定的综合 要点提示 平行线性质与判定的综合运用的形式：(1)角与角的数量关系→线与线的位置关系→角与角的数量关系；(2)线 与线的位置关系→角与角的数量关系→线与线的位置关系. O1固基础心 知识点平行线性质与判定的综合 1.如图，AC⊥CD,ED⊥CD,AB∥EF, 6.如右图，在四边形ABCD中， ∠CAE=25°，∠BAE=10°，则∠DEF的度 AD∥BC,∠B=80. 数为 ( ) (1)∠BAD的度数为 A.30° B.35 C.40° D.45 (2)-题多解法AE平分∠BAD交BC于 点E,∠C=50°.试说明：AE∥DC. B 第1题图 第2题图 2.甲、乙、丙、丁四人一起研究一道数学题，如 图，已知EF⊥AB,CD⊥AB.甲说：“若 ∠CDG=∠BFE,则能得到∠AGD= ◆易错点混淆平行线的性质与判定 ∠ACB.”乙说：“若∠AGD=∠ACB,则能 7.如右图，B,C,E三点在4 34 得到∠CDG=∠BFE.”丙说：“∠AGD 一条直线上，∠1=∠2， 定大于∠BFE.”丁说：“若连接GF,则GF∥ ∠3=∠E,∠4+∠2= AB.”以上四种说法正确的个数是( 180°.试说明：∠E=∠F. A.0 B.1 C.2 D.3 请将下面的推理过程补充完整，并在括 3.如图，∠1=50°，∠2=130°，∠4=85°，那么∠3 号内注明理由。 的度数为 解：因为∠3=∠E( 所以AB∥ 因为∠4+∠2=180°( 3△∠2 第3题图 第4题图 所以AB∥ 4.如图，若∠1=∠2，∠3=75°，则∠4的度数 为 所以 ∥ (平行 5.(2025江西)如右图，已知 于同一条直线的两条直线互相平行)， 点C在AE上，AB∥CD, 所以∠1= ∠2= ∠1=∠2.试说明：AEE 又因为∠1=∠2（已知）， ∥DF. 所以∠E=∠F( 下册第二章 ……之O2提能力之 ……心O3拓思维之 。。。。 8.如图，∠1=∠2，AD平分∠BAC交直线a 11.跨物理学科实验证明：平面镜反射光线的 于点D.若∠ABD=100°，则∠BDA的度数 规律是射到平面镜上的光线和被反射出的 为 ( ) 光线与平面镜所夹的锐角相等.如图①，入 A.55° B.50° C.45° D.40° 射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的 锐角相等，即∠1=∠2. BI D a2/ (1)图②是潜望镜工作原理示意图，AB, CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入 第8题图 第9题图 潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的 9.(2025抚州金溪期中)一副三角板按图所示 光线n是平行的. (共顶点A)的方式叠放在一起.若固定三角 (2)如图③，若入射光线m与反射光线n平 板ABC,改变三角板ADE的位置（点A位 行但方向相反，则两面平面镜的夹角∠B 置始终不变)，当∠BAD= 的度数为多少？ 时，DE∥AB. 10.如下图，在三角形ABC中，点D,F在BC 边上，点E在AB边上，点G在AC边上， EF与GD的延长线交于点H,∠1=∠B, ∠2+∠3=180° 图① 图② 图③ (1)试说明：EH∥AD (2)若∠DGC=58°，且∠H-∠4=10°，求 ∠H的度数. D 4 21 G 数学七年级BS版14.解：(1)70 (2)当∠ACE=30°或150时，CE∥AB.理由如下： ①如图①，当∠ACE=30°时. 因为∠ACE=∠A=30°，所以AB∥CE: 图① 图② ②如图②，当∠ACE=150°时. 因为∠ACE=150°，∠ACB=90°， 所以∠BCE=∠ACE-∠ACB=150°-90°=60°， 所以∠BCE=∠B, 所以AB∥CE. 3平行线的性质 第1课时平行线的性质 1.D2.B3.B4.80° 5.132°【解析】因为AB⊥AE,所以∠BAE=90°.又因 为∠CAE=42°，所以∠BAC=∠BAE-∠CAE=90° -42°=48°. 因为AB∥CD,所以∠BAC+∠C=180°，所以∠C= 180°-∠BAC=180°-48°=132°. 6.解：因为DB∥FG∥EC, 所以∠DAG=∠D=58°，∠CAG=∠C=34°， 所以∠CAD=∠DAG+∠CAG=92°. 因为AP平分∠CAD, 1 所以∠PAC=2∠CAD=46, 所以∠PAG=∠PAC-∠CAG=46°-34°=12°. 7.解：由题意可知，ABCD,DMOE 因为∠ODC=30°，所以∠BOD=∠ODC=30°. 因为∠EOF=90°，所以∠AOE=180°-∠EOF ∠B0OD=180°-90°-30°=60. 因为DM∥OE,所以∠AND=∠AOE=60°，所以 ∠ANM=180°-∠AND=120° 8.D 9.B【解析】如图，过点O向左作射线OE,使OE∥AB, 则OE∥AB∥CD, +D 所以∠BOE=∠ABO=a,∠COE=∠DCO=B, 所以∠BOC=∠BOE+∠COE=a+B. 10.12° 11.∠2+∠3一∠1=180°【解析】如图，过点E作EF∥ AB. 因为AB∥CD, 所以EF∥AB∥CD, 所以∠5=∠6，∠1=∠4， 10 数学七年级BS版 所以∠2=∠4+∠5=∠1+∠6， 3 所以∠6=∠2-∠1. 6 因为∠3+∠6=180°， 所以∠2+∠3-∠1=180° 12.(1)80°(2)∠AFG-∠EGD=60 【解析】(1)因为AB∥CD,所以∠1=∠EGD. 因为∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠1=2∠2， 所以∠2+60°+2∠2=180°， 解得∠2=40°， 所以∠1=2∠2=80°. (2)因为AB∥CD, 所以∠AFG=∠FGD, 即∠AFG=60°+∠EGD, 整理得∠AFG-∠EGD=60°. 13.解：(1)因为∠MON=50°，OE平分∠MON, 1 所以∠AOB=∠COB=2∠MON=25°， 因为AB/ON,所以∠AB0O=∠COB=25°. (2)依题意可分以下三种情况讨论： ①当∠BAD=∠ABD=25时，因为∠AOB=25°， 所以∠OAC=180°-∠AOB-∠ABO-∠BAD= 180°-25°-25°-25°=105°； ②当∠BAD=∠BDA时，因为∠ABD=25°， 所以∠BAD=×180°-250=7.5， 所以∠OAC=180°-∠AOB-∠ABO-∠BAD= 180°-25°-25°-77.5°=52.5°； ③当∠ADB=∠ABD=25°时，∠BAD=180°- ∠ADB一∠ABD=130°.因为AB∥ON,所以 ∠BAO+∠MON=180°，所以∠BAO=130°，此时 点D,O,C重合，不符合题意. 综上所述，∠OAC的度数为105°或52.5°. 14.180(2n一1)°【解析】如图，过每个角的顶点作AB 的平行线 B i水 ----- 2n C D 由“两直线平行，同旁内角互补”可得每两条平行线 间的两个同旁内角的和均为180°.一共有2n个角， 就会有(2n-1)个180°，所以∠1+∠2+∠3+…+ ∠2n=180(2n-1)°. 第2课时平行线性质与判定的综合 1.B 2.C【解析】因为CD⊥AB,EF⊥AB,所以CD∥EF, 所以∠BFE=∠BCD.又因为∠CDG=∠BFE,所以 ∠CDG=∠BCD,所以DG∥BC,所以∠AGD= ∠ACB,所以甲的说法正确；因为CD⊥AB,EF⊥ AB,所以CD∥EF,所以∠BFE=∠BCD.因为 ∠AGD=∠ACB,所以DG∥BC,所以∠CDG= ∠BCD,所以∠CDG=∠BFE,所以乙的说法正确； 由已知条件易知丙、丁的说法错误. 3.95°4.105 5.解：因为AB∥CD,所以∠1=∠ACD, 因为∠1=∠2，所以∠2=∠ACD,所以AE∥DF. 6.解：(1)100 (2)因为AE平分∠BAD,∠BAD=100°，所以 ∠DAE=2∠BAD=50°： 因为AD∥BC,所以∠AEB=∠DAE=50°. 因为∠C=50°，所以∠AEB=∠C, 所以AE∥DC. 一题多解法 (2)因为AD∥BC,∠BCD=50°， 所以∠D=180°-∠BCD=130° 1 因为AE平分∠BAD,所以∠DAE= ∠BAD =50°， 所以∠DAE+∠D=180°，所以AE∥DC 7.已知EF内错角相等，两直线平行已知CD 同旁内角互补，两直线平行CDEF∠F∠E 等量代换 8.D 9.30°或150°【解析】由题意，得∠ADE=30°，∠ACB =∠DAE=90°.分两种情况讨论： ①DE在AB左侧，如图①. 图① 当∠BAD=∠ADE=30时，AB∥DE; ②DE在AB右侧，如图②. D 图② 当∠BAD+∠D=180时，AB∥DE, 则∠BAD=180°-∠D=150°. 综上所述，当∠BAD=30°或150时，DE∥AB 10.解：(1)因为∠1=∠B, 所以ABGD, 所以∠2=∠BAD 因为∠2+∠3=180°， 所以∠BAD+∠3=180°， 所以EH∥AD. (2)因为EH∥AD, 所以∠2=∠H. 因为∠2=∠BAD, 所以∠H=∠BAD, 所以∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=∠DGC =58 因为∠H-∠4=10°， 所以2∠H=68°， 所以∠H=34°. 11.解：(1)因为AB∥CD,所以∠2=∠3， 根据题意可知，∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠1=∠2=∠3=∠4， 所以180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4， 所以∠5=∠6，所以m∥m. (2)如图，因为m∥n,所以∠MAC M +∠ACN=180°. 因为∠1+∠2+∠MAC=180°，B ∠3+∠4+∠ACN=180°， 所以∠1+∠2+∠3十∠4=180° +180°-∠ACN-∠MAC=180° 由题意，得∠1=∠2，∠3=∠4， 1 所以∠2+∠3=2×180=90°， 所以∠B=180°-∠2-∠3=90°. 本章小结 1.C 2.(1)60°(2)72°或99 【解析】(1)因为OC平分∠AOB,且OC为∠AOB的 “分余线”， 1 所以∠AOC=∠BOC=2∠AOB, 3 ∠AOC+∠AOB=2∠AOB=90, 所以∠AOB=60°. (2)因为OM为∠AOC的平分线， ∠BON=2∠CON, 所以∠AOM=∠COM=2∠AOC, 1 ∠CON=2∠BON, 所以∠CON=3∠BOC. 分两种情况讨论： ①当∠CON+∠MON=90时， 2∠CON+∠COM=90°， 2 所以2∠A0C+3∠BOC=90°， 所以2（∠A0C+∠B00)+G∠B0C=90. 即2∠A0B+6∠B0C=90, 所以∠BOC=72°； ②当∠COM+∠MON=90°时， 下册参考答案