专题05 平行线的判定与性质的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题05 平行线的判定与性质的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 压轴专练 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 方法总结 1.判定用“角”定“平行”：看同位角、内错角相等或同旁内角互补，由此判定两直线平行，是从角的关系推线的关系。 2.性质用“平行”推“角”：已知两直线平行，可直接得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，是从线的关系推角的关系。 解题技巧 1.先辨类型再下手：读题先判断是判定（证平行）还是性质（求角），避免混淆推导方向。 2.标记图形找关系：在图中圈出已知角、对顶角或邻补角，快速关联判定或性质所需的角。 例1．（25-26七年级下·陕西安康·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)若于点H，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质． （1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论； （2）结合（1）根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）图1是小明同学的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是__________． (2)如图3，根据小明的思路求和的度数． (3)小明在解题中发现，和的度数永远是相等的，与和的度数无关．请结合图3说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及平行公理及推论，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的推论即可得出答案； （2）平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解； （3）根据平行线的性质及角的和差及等量代换，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，     ∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行） 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结 1.判定角度定平行：通过找同位角、内错角相等或同旁内角互补，先确定角的关系，再推导两直线平行。 2.性质平行推角度：已知直线平行，直接利用性质得出同位角、内错角相等或同旁内角互补，从线推角。 解题技巧 1.抓关键角建联系：识别对顶角、邻补角等，将已知角转化为判定或性质所需的“关键角”。 2.逆顺结合破题：证平行用“角→线”的顺向思维，求角用“线→角”的逆向思维，按需切换。 例2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 【变式2-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，已知，，连接． 【问题提出】 （1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求 的度数； 【问题初探】 （2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 （3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义，可得，，从而可求得答案； （2）设，根据可得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案； （3）设，可求得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分∠DAE， ，， ； （2）与之间的数量关系是：；理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ； （3）与之间的数量关系是：．理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ． 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 方法总结 1. 性质推导定值：已知平行线，用“平行→角相等/互补”，结合对顶角、邻补角等量代换，推导角度定值。 2. 判定辅助定角：未知平行时，先证平行（找角相等/互补），再用性质关联已知角，确定角度不变值。 解题技巧 1. 锁定不变条件：圈出题目中“始终平行”“固定点”等不变量，以此为核心推导角度。 2. 排除干扰角：忽略无关角，聚焦与平行线、已知固定角直接相关的角，简化计算。 例3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（），；（），是定值，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）延长到点，过点作，由平行线的性质即可求解； （）由，，则，，，然后通过角平分线定义可得，，再代入求值即可； 由可得，则，又平分，故有，然后代入即可求解． 【详解】解：（）延长到点，过点作， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 即，， ∴， ∵， ∴， ∴； 是定值，且这个定值为，理由如下： 由可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是定值，且这个定值为． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)当时，的度数为 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据提议设，则，由此即可求解； （3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵分别平分和， ； （2）解：为定值， ∵平分， ∴设， ， ， ， 为定值，这个定值为2； （3）解：∵平分， ∴设， 由（2）知：， ， ，， ， ， ， ， 又， ． ∴当时，的度数为． 【变式3-2】（25-26七年级下·河南商丘·期末）已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)15° (2)是定值， (3)是， 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）过点P作，过点Q作，由平行线性质得，，从而得，同理可得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．    ∵，， ∴． ， ， ． ． （2）解：是定值， 如图，    由（1）知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵， ∴    ， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分与， ∴，， ∴， ∴． 【变式3-3】（2024七年级下·全国·专题练习）已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 【答案】(1)或 (2)是， (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题， （1）过点P作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求 的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）分三种情况分别画图，结合（1），（2）的结论探索∠Q的度数的规律； 正确作出辅助线，进行分类讨论是本题的难点． 【详解】（1）如图，当点P在线段之间时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当点P在的上方时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 综上所述，为或； （2）是，，理由如下： 由（1）可知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， （3）①，理由如下： 如图，过点P作,过点Q作, ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： ②， 分三种情况讨论： （Ⅰ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，, ∴， ∴， （Ⅱ）当点P在线段上运动时，如图， 可得，． ∵，． ∴， ∴， （Ⅲ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，． 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结 1.借三角尺定已知角：利用三角尺固定角度（30°、45°、60°、90°），结合平行线判定，通过角的关系证两直线平行。 2.用平行推未知角：已知平行线时，依据性质，结合三角尺的已知角，通过等量代换或互补关系求未知角。 解题技巧 1.动态问题抓静态角：三角尺平移/旋转时，紧盯其不变的内角，以此为桥梁关联平行线相关角。 2.标注角名建等式：在图中给关键角标序号，将角度关系转化为等式，避免混淆。 例4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）先求解，，即可得结论； （2）由平行线的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； （3）如图，当点在直线的上方时，证明，如图，当点在直线的下方时，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，当点在直线的上方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在直线的下方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上：为或. 【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)3秒 (2)当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； (3)15或24或27或33 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； （2）解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案为：15或24或27或33． 【变式4-2】（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示，，）． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况?若存在，请直接写出的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)存在，或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）根据且点在直线的上方，分两种情况进行讨论． 【详解】（1）①∵，， ∴， ∴． ②∵，， ∴， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）存在一组边互相平行， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：存在，或． 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 方法总结 1.定旋转中的不变角：抓住旋转图形（如三角尺、射线）的固定内角，结合平行线判定，通过不变角与其他角的关系证平行。 2.用平行锁定变量角：已知平行线时，依据性质，结合旋转角的变化规律，推导变量角的等量或互补关系，求解问题。 解题技巧 1.画旋转前后对比图：标注旋转前后的对应角，清晰区分不变角和变化角，避免混淆角度关系。 2.设旋转角为参数：用字母表示旋转角，通过平行线性质列等式，将几何问题转化为代数计算，简化推导。 例5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ． 【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，掌握平行线的性质是解题的关键． 分①当，②当，③当，④当，⑤当时，分别画出图形即可求解． 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时， ∵，， ∴ ∵， ∴A，D，C共线， ∵， ∴（秒）； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ④当时，，； ∵ ∴， ∴（秒）； ⑤当时， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒， 故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒． 【变式5-1】（2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为 秒时，．（G、H为C、B对应点） 【答案】3或28/28或3 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用．根据题意可得，，然后分两种情况：当未到达时，当到达返回时，根据平行线的性质，列出方程，即可求解． 【详解】解：停止旋转的时间为秒， 设光线旋转时间为t秒，则， 根据题意得：，， 如图，当未到达时，设射线交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当到达返回时，设射线交于点P，此时此时，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，光线旋转时间为3或28秒时，． 故答案为：3或28 【变式5-2】（24-25七年级下·江西宜春·月考）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时， ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出满足条件的三种情况①、②、③，即可求解． 【详解】解：①时，如图所示： ∴； ②时，如图所示： ∴ ∴； ③时，如图所示： ∴ ∴； 综上所述：或或 故答案为：或或 【变式5-3】（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，直线，一副三角板（，，，）．按图（1）所示方式放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图（2），将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边平行时，请写出对应的t值． 【答案】(1)； (2)①秒；② 【分析】本题主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当时，当时，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒， ②当时，分别延长和交于点I，交于点，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得：； 延长，交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当， 同理可得， 解得：； 当， 同理可得：， 解得：； 同理可得：， 解得：． 综上可得：t的值为． 一、单选题 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据邻补角的定义得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，由题意可得，由两直线平行，内错角相等得出，由对顶角相等可得，即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由对顶角相等可得：， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山西·月考）如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的一点P．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算、平行线的性质，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质．延长交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ，故①错误；②正确； ，， ，故③正确； 平分， ， ， ， ，故④不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，交于点O，，若，则的度数是 度． 【答案】127 【分析】本题考查平行线的性质，根据对顶角相等，得到，根据平行线的性质，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：127 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形中角度的计算，延长，交于点，由题意可得，，，从而得出，结合图形计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ∵，，重力的方向，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了平行线判定和性质，平行公理的推论．过点E作，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则 ；如图3，当点落在下方，且时，则 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 10．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，将一副三角板按照图示放置（有一条直角边重合），含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动，当 时，两块三角板的斜边互相平行． 【答案】或或 【分析】本题考查了与三角板有关的角度运算，平行线的性质与判定，一元一次方程的几何应用，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出秒，旋转停止，再进行分类讨论，且逐个情况作图，运用三角形内角和性质，平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动， ∴时间（秒）， 依题意， ∵两块三角板的斜边互相平行， ∴第一种情况，连接，如图所示： ∵， ∴ 则 ∴， 则， ∵， ∴， ∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒， ∴， 解得， ∴第二种情况， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 依题意， ∵ ∴ 解得 ∴第三种情况，连接，如图所示： ∵， 同理得， 则， ∵， ∴， ∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒， 则 ∵ ∴， 解得， 综上：当或或，两块三角板的斜边互相平行． 故答案为：或或 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，中，平分，交于点，，交于点，点在上，连接． (1)若，求的大小； (2)若，试判断和的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（）根据平行线的性质即可求解； （）由平行线的性质可得，，，即得，进而由角平分线的定义得，即可求证； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点．连接交于点．若． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，点在线段上，，点在直线上，，点在直线上，． (1)找出图中与相等的角，并说明理由（在不添加字母的情况下）． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，点（点不与两点重合）从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变．求的度数． 【答案】(1)与相等的角为，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质及同角或等角的余角相等即可求解； （2）利用余角的性质即可求解； （3）当点在线段上时，点在延长线上，当点在延长线上时，点在线段上两种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：与相等的角为， 理由如下： ． ， ， ． ． ， 与相等的角为． （2）解： ， 又 ． （3）解：如图①，当点在线段上时，点在延长线上，． ， ； 如图②，当点在延长线上时，点在线段上． ，， ， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，余角的性质，掌握性质及进行分类讨论是解题的关键． 14．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边、斜边都与直线重合，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为_____________． (2)在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒． ①在旋转过程中，请求出当时的值； ②在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出所有满足条件的值． 【答案】(1) (2)①的值为或；②或或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，角的和差计算等知识点，解题的关键是正确运用分类讨论的思想． （1）根据平角得到，据此即可求解； （2）①由题意得，，，，，然后分三种情况讨论，根据列方程求解即可； ②分三种情况讨论，利用平行线的性质以及角的和差计算求解的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， 由题意得，，，，， ∵， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）， ∴的值为或； ②当时，如图， ∴， ∴， 解得； 当时，如图： ∴， ∴， 解得； 当时，如图：记交点为点，过点作， ∴， ∴， 解得， 综上：当与三角尺的某一边平行时，满足条件的值为或或． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05平行线的判定与性质的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 压轴专练 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 方法总结 1.判定用“角”定“平行”：看同位角、内错角相等或同旁内角互补，由此判定两直线平行，是从角的关 系推线的关系。 2.性质用“平行”推“角”：已知两直线平行，可直接得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，是从 线的关系推角的关系。 解题技巧 1.先辨类型再下手：读题先判断是判定（证平行）还是性质（求角），避免混淆推导方向。 2.标记图形找关系：在图中圈出已知角、对顶角或邻补角，快速关联判定或性质所需的角。 例1.(25-26七年级下·陕西安康期末)如图，己知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交 于点H,LC=LEFG,∠CED=LGHD. M (1)求证：AB∥CD; (2)若ED⊥FG于点H,∠D=30°，求∠AEM的度数. 【变式1-1】(25-26八年级上河北保定期末)如图，点E是AC上一点，CD∥AB,∠DCB=70°， 1/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CBF=20°，∠EFB=130°. A B (1)∠ABC= C: (2)求证：直线EF∥CD: (3)若∠CEF=60°，求∠ACB的度数. 【变式1-2】(25-26八年级上广东茂名期末)如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边 上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180° B F E 3 D 14 G (I)求证：EH∥AD; (2)若∠DGC=58。,且∠H-∠4=10°，求∠H的度数. 【变式1-3】(24-25七年级下·甘肃酒泉·期末)图1是小明同学的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变 化伸缩，找到合适的照明角度.图2是这盏台灯的示意图，已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行 时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=135°，两支架BC和CD的夹角 ∠BCD=1O8°.如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE 的度数呢？小明解决此问题的思路如下： B B M DN M DN 图1 图2 图3 (I)小明在解决问题时，过点C作CF∥BE,则可以得到CF∥MN,其理由是 (2)如图3，根据小明的思路求LCDM和∠ABE的度数， 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)小明在解题中发现，∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和LBCD的度数无关.请结合图3 说明理由， 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结 1.判定角度定平行：通过找同位角、内错角相等或同旁内角互补，先确定角的关系，再推导两直线平行。 2.性质平行推角度：已知直线平行，直接利用性质得出同位角、内错角相等或同旁内角互补，从线推角： 解题技巧 1.抓关键角建联系：识别对顶角、邻补角等，将已知角转化为判定或性质所需的“关键角”。 2.逆顺结合破题：证平行用“角→线”的顺向思维，求角用“线→角”的逆向思维，按需切换。 例2.(2026七年级下，全国.专题练习)如图，AB∥CD. A C- (1)若∠B=130°，∠C=30°，求∠BEC的度数 (②)探究∠B,∠C,∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由 【变式2-1】(25-26八年级上全国·课后作业)如图，已知AM∥BN,∠A=60°，P是射线AM上一动点（不 与点A重合)，BC,BD分别平分∠ABP和LPBN,交射线AM于点C,D. D M B (I)求LCBD的度数. (②)当点P运动时，∠APB与∠ADB的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出 变化规律 (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD的位置时，求∠ABC的度数. 【变式2-2】(24-25七年级下·河南郑州期末)如图，点D在三角形ABC的边AC上（点D不与点A,C重合）， DE∥AB交BC于点E,DF∥BC交AB于点F. 3/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (I)若点M是线段BF上任意一点（点M不与点B,F重合），连接DM,EM,补全图形解答下列问题： ①∠B=45°，则∠EDF= ②用等式表示∠FDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系，并证明. (②)若点M在线段AF上（点M不与点A,F重合），直接写出∠FDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系. 【变式2-3】(24-25七年级下·陕西榆林期末)如图，在四边形ABCD中，己知AD∥BC,AB∥CD,连接 AC. 【问题提出】 (1)如图1，点E、F在线段CD上，连接AE,AF,AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,若LB=120°，求 ∠FAC的度数； 【问题初探】 (2)如图2，点E在线段CD上，连接AE,且∠EAC=∠BAC,请探究∠ACD与∠AED之间的数量关系， 并说明理由； 【类比探究】 (3)如图3，点E在DC的延长线上，连接AE,且∠EAC=∠BAC,请探究LACD与∠AED之间的数量 关系，并说明理由 图1 图2 图3 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 方法总结 1.性质推导定值：已知平行线，用“平行→角相等/互补”，结合对顶角、邻补角等量代换，推导角度定 值。 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.判定辅助定角：未知平行时，先证平行（找角相等/互补），再用性质关联已知角，确定角度不变值。 解题技巧 1.锁定不变条件：圈出题目中“始终平行”“固定点”等不变量，以此为核心推导角度。 2.排除干扰角：忽略无关角，聚焦与平行线、已知固定角直接相关的角，简化计算。 例3.(24-25七年级下·陕西渭南期中)【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于180°”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正 确.证明过程如下： H A A B M D 图1 图2 图3 如图1：延长BC到点D,过点C作CE∥AB, :CE∥AB, ① =LACE,② =∠DCE, :∠ACB+∠ACE+LDCE=180°， ∴.∠ACB+∠A+∠B=180°. (1)补全小安证明过程中①②所缺的内容； 【问题解决】 (2)如图2，直线4∥42，点A,B分别在I,2上，C是4上点A右侧的动点，点G在射线BA上，连接 CG、CF为LACG的平分线，作∠ABD的平分线BE,交FC的延长线于E,过点E作EH∥I. ①若∠G=20°，求∠BEC的度数； ②如图3，GM平分∠AGC交Z于点M,且∠ABD=70°.在点C的运动过程中，∠GMB-∠BEC是否为定 值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由 【变式3-1】(24-25七年级下广东广州期中)如图，己知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的 一个动点（与点A不重合），BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D. M D P C (1)当∠A=50°时，求∠CBD的度数： 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)判断∠APB 是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ∠ADB (3)当∠ACB=LABD时，求∠ADB+∠A的度数. 4 【变式3-2】(25-26七年级下·河南商丘·期末)已知AB∥CD,P是截线MN上的一点，MN与CD,AB分 别交于E,F /M D D A N N/ 图(1) 图(2) (I)如图(1)，P在AB、CD之间，若LEFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度数； (②)如图(1)，当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q,则∠ ∠DPB 是否为定值？若是 定值，请求出定值；若不是，说明其范围； ③)如图(2)，当点P在线段FE的延长线上运动时，LCDP与∠ABP的平分线交于，ZDPB Q 的值是否为 定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由， 【变式3-3】(2024七年级下·全国专题练习)己知AB II CD,P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别 交于E、F. M E E 4 B 图1 图2 备用图 (1)若∠EFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度数； 2流图1，当点P在线段F上运动时，LCDP与∠4BP的平分线交于Q,间：品B是否为定雀？若是定 值，请求出定值；若不是，说明其范围： D如图2，当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q,则二。的值为一 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②当点P在直线EF上运动时，LCDP与∠ABP的n等分线交于Q,其中∠CDQ=I∠CDP, ∠ABQ=1∠ABP,设∠DPB=a,求∠Q的度数（直接用含n,a的代数式表示，不需说明理由）. 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结 1.借三角尺定己知角：利用三角尺固定角度(30°、45°、60°、90°)，结合平行线判定，通过角的关 系证两直线平行。 2.用平行推未知角：已知平行线时，依据性质，结合三角尺的己知角，通过等量代换或互补关系求未知 角。 解题技巧 1.动态问题抓静态角：三角尺平移/旋转时，紧盯其不变的内角，以此为桥梁关联平行线相关角。 2.标注角名建等式：在图中给关键角标序号，将角度关系转化为等式，避免混淆。 例4.(24-25七年级上江苏宿迁期末)如图，将一副三角板的两个直角顶点C叠放在一起，其中 ∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45° 图① 图② 备用图 (1)如图①，点E在直线BC的上方，若LBCD=25°，则∠ACD=一°，∠ACE=°； (2)如图②，点E在直线BC的下方，若CE∥AB,求∠BCD的度数； (3)若保持三角板ABC不动，三角板DCE绕直角顶点C顺时针旋转一周，当CE∥AB时，直接写出LBCD的 度数 【变式4-1】(24-25九年级上辽宁铁岭期中)将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板 ABC和直角三角板EDC,∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°)，保持三角板EDC不动， 将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转. 7/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B A E M E N D 图1 图2 (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值： (2)当AC旋转至∠DCE的外部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于一（直接写 出答案即可). 【变式4-2】(24-25七年级上·黑龙江绥化阶段练习)三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两 块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0°<∠ACE<90°，且点E在直线AC的上方 时，解决下列问题：（友情提示∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）. (1)①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为-： ②若∠ACB=140°，则∠DCE的度数为- (2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠AC￡的度数的所有可能的值；若不 存在，请说明理由. 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 方法总结 1.定旋转中的不变角：抓住旋转图形（如三角尺、射线）的固定内角，结合平行线判定，通过不变角与 其他角的关系证平行。 8/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.用平行锁定变量角：已知平行线时，依据性质，结合旋转角的变化规律，推导变量角的等量或互补关 系，求解问题。 解题技巧 1.画旋转前后对比图：标注旋转前后的对应角，清晰区分不变角和变化角，避免混淆角度关系。 2.设旋转角为参数：用字母表示旋转角，通过平行线性质列等式，将几何问题转化为代数计算，简化推 导。 例5.(24-25七年级下·江苏无锡期中)如图，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30°， ∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，当点E落 在射线AC的反向延长线上时停止旋转.设ADE的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t,若它的一边与ABC 的某一边平行（不含重合情况），t= D B 【变式5-1】(2025·四川达州二模)主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道AB,CD上 放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线FB按顺时针方向以每秒8°的速度旋转至FA便立即回转，并不 断往返旋转；光线EC按顺时针方向每秒4°的速度旋转至ED边就停止旋转，若光线EC先转6秒，光线FB 才开始转动，当光线FB旋转时间为」 秒时，FH∥EG,(G、H为C、B对应点) F G D E 【变式5-2】(24-25七年级下·江西宜春·月考)将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（∠EDC=90°， ∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°)，保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度， 顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转.在旋转过程中，当三角板ABC的其 中一边与ED平行时，t= D D M EA ME B B 图1 图2 【变式5-3】(24-25七年级下，浙江金华·月考)如图，直线PQ∥MN,一副三角板(LABC=∠CDE=90°， 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ACB=∠A=45°，∠DEC=60°，∠DCE=30°).按图(1)所示方式放置，其中点E在直线PQ上，点B, C均在直线MN上，且CE平分∠ACN. V- B 图(1) 图(2) (1)求LDEQ的度数. (2)如图(2)，将ABC绕点B以每秒3°的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G),设旋转 时间为s(0≤t≤60). ①在旋转过程中，若边BG∥CD,求t的值 ②若在ABC绕点B旋转的同时，△CDE绕点E以每秒2°的速度按顺时针方向旋转(C,D的对应点为H, K).当边FG与△HKE的一边平行时，请写出对应的t值 压轴专练 一、单选题 1.(25-26七年级上·北京海淀·期末)如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E,D,B,F在同一 条直线上，如果∠ADE=126°，那么∠DBC的度数为() mmmm 1234 mm 6 78 B A.54° B.74° C.126 D.36 2.(25-26九年级上·安徽宿州期末)如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折 射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1=75°，∠2=35°，则∠DBC=() 10/15