第2章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

-2m-n =2×(-2)-(-0 =-1+1 =0. 14.(1)1(2)1 【解析】(1)当m=5时，(52+5)÷5-5=30÷5-5 6-1=1. (2)由题意，得(m2十m)÷m-m =m2÷m十m÷m一m =m十1-m=1, 所以输出结果是1. 15.解：原式=9x2-4y2-9x2+12xy-4y2+x-4xy =-8y2+8xy十x 1 当x=一2y=-1时 原式=-8×(-1)+8×(-)×(-D+(-日 1 =-42 16,解：由题意，得M=}2+y÷5y1 21 因为自然数x,z满足2×3-1=72=23×32， 所以x=3,之-1=2， 3 所以z=3,所以M= 5X3X3=27 5 17.解：(1)x2-2x十31 (2) x-3 x2+2x+2-2+x+b x3+2x242x -3x2+(a-2)x+b -3r2-6r-6 0 所以a一2=一6，b=一6，所以a=一4，b=-6. 本章小结 1.B2.C 3.C【解折1原式=(-号)》八xyy=-y. 8 4.-3【解析】因为7-2×7-1×7°=7，所以-2-1十 =饣，所以p=一3. 5.解：(1)原式=9+1+3=13. (2)原式=一16+1-4=-19， 6解：18×(-0.125)m=8m×(←) (2)因为3×9"×81"=325， 所以3×(32)"×(3)”=325， 所以3×32"×34=325， 所以31+6m=325, 所以1十6n=25, 所以n=4. 7.A 8.90【解析】因为m十n=10,mn=5, 所以m2+n2=(m+n)2-2mm=102-2×5=100- 10=90. 9.解：(a-2b)2-(a-2b)(a+2b)+4b =a2-4ab+4b2-(a2-4b2)+4b2 =a2-4ab+4b2-a2+4b2+4b =12b2-4ab. 当a=1,b=2时，原式=12b2-4ab=12×22-4×1× 2=40. 10.解：(1)剩余部分的面积=2(a-b)(a+b)十(2a+ 3b)(a+2b)-(a-b)2=2a2-2b2+2a2+7ab+6b2 -a2+2ab-b2=3a2+9ab+3b2. (2)当a=5,b=2时，剩余部分的面积=3×25+9× 5×2+3×4=177. 11.D 12.解：原式=-27x3y5·(-6x2y)÷9.xy =162x5y2÷9x*y =18xy. 13.解：原式=4x2-xy+8xy-2y2-4x2-2xy+2y =5xy. 1 当x=5y=2时，原武=5×5×2=2， 14.解：(1)41 x+1x-3 (2)由题意，得 =(x+1)(2x-1) 2x 2x-1 2x(x-3)=7x-1=1,解得x=7 第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角与余角 1.D2.23.D4.120°5.70°6.B7.D8.22.5 9.35°【解析】因为一个角的补角是125°，所以这个角的 度数是180°一125°=55°，所以这个角的余角的度数是 90°-55°=35°. 10.解：(1)∠COE=∠DOF,理由是对顶角相等； ∠BOD=∠AOF,理由是同角的余角相等. (2)∠DOF的补角有∠DOE,∠COF,∠AOB, 11.C12.B 13.B【解析】(90°-∠3)+∠B=90°，所以90°-∠3是 ∠B的余角，故①符合题意；∠a一90°+∠B=(∠a十 ∠β)-90°=180°-90°=90°，所以∠a-90°是∠3的 余角，放@符合题意：（∠a+∠）+∠9=日× 180+∠月=90+∠B>90,所以2（∠a+∠p)不是 下册参考答案 ∠B的余角，故③不符合题意：2（∠a-∠B)+∠B= 2(∠a+∠9)=90，所以（∠a-∠P)是∠R的余 角，故④符合题意：2（∠a-90)+∠B=2∠a十 ∠p)+2∠B-45=90+2∠P-45°=45°+ 2∠B.因为∠a+∠B=180,∠a>∠B,所以∠B< 90所以分∠9<45，所以45+2∠8<90，所以 2(∠a一90)不是∠p的余角，故⑤不符合题意.综 上所述，表示∠3的余角的有3个. 14.40或80 15.解：因为O是直线AB上的一点，∠AOC和∠DOB 互余， 所以∠AOC+∠DOB+∠COD=180°，∠AOC+ ∠DOB=90°，所以∠COD=90°. 因为∠DOE=m,所以∠COE=90°-m 因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠COE=180° -2m 因为∠AOC+∠BOC=180°，所以∠AOC=180°- ∠BOC=2m. 16.解：(1)∠2与∠3互为余角.理由如下： 由点A,O,E在同一条直线上，知∠1+∠2+∠3+ ∠4=180°. 由∠1与∠4互为余角，知∠1+∠4=90°， 所以∠2+∠3=180°-∠1-∠4=90°， 所以∠2与∠3互为余角. (2)∠3=∠4.理由如下： 由(1)，知∠1+∠4=∠2+∠3. 又因为∠1=∠2，所以∠3=∠4. (3)由(2)，知∠3=∠4. 因为等角的补角相等，∠4与∠AOD互为补角， 所以∠3与∠AOD互为补角. 17.解：(1)3条直线相交于一点，共有6对对顶角；4条 直线相交于一点，共有12对对顶角：10条直线相交 于一点，共有90对对顶角；n条直线相交于一点，共 有n(n一1)对对顶角. (2)若(1)中的直线两两相交（没有重复的交点）， (1)中的结论仍然成立. 第2课时垂线 1.B2.①②③ 3.32°【解析】因为∠AOD=122°， 所以∠BOC=∠AOD=122°. 因为EO⊥AB,所以∠BOE=90°， 所以∠EOC=∠BOC-∠BOE =122°-90° =32° 4.C 数学七年级BS版 5.解：如图所示. 图① 图② 图③ 6.C7.A8.864.8 9.B【解析】因为OE⊥OC,所以∠DOE=90°.因为 ∠BOD=∠AOC=58°，所以∠E0B=90°-58°=32° 一题多解法 因为OE⊥OC,所以∠COE=90°.因为∠AOC =58°，所以∠E0B=180°-58°-90°=32. 10.115°，25°【解析】因为OF⊥CD,所以∠D0F=90°. 又因为∠BOF=25°，所以∠BOD=∠DOF+ ∠BOF=90°+25°=115°，所以∠AOC=∠BOD= 115°.因为OE⊥AB,所以∠BOE=90°.因为∠BOF =25°，所以∠EOF=∠BOE-∠BOF=65°，所以 ∠EOD=∠DOF-∠EOF=90°-65°=25. 一题多解法 因为OF⊥CD,所以∠COF=90°.又因为 ∠BOF=25°，所以∠BOC=90°-25°=65°，所 以∠AOC=180°-∠BOC=115°.因为OE⊥ AB,OF⊥CD,所以∠BOE=∠BOF+∠EOF =90°，∠DOF=∠EOD+∠EOF=90°，所以 ∠EOD=∠BOF=25. 11.10或70【解析】分两种情况讨论： ①如图①，MN⊥AB. 因为∠M=30°，∠MON=90°， 所以∠MOC=60°，∠NOC=30. 因为将三角板绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向 30 旋转，所以1=3=10(s9): C0 B 图① 图② ②如图②，MN⊥AB. 因为∠M=30°，∠MDO=90°， 所以∠MOD=60°，∠NOD=30°. 因为将三角板绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向 旋转，所以旋转角为180°+30°=210°. 所以1=210 3 70(s). 12.解：(1)因为直线AB,CD相交于点O, 所以∠AOC=∠BOD=42°. 因为OG⊥CD,所以∠COG=90°， 所以∠AOG=90°-∠AOC=90°-42°=48° (2)OG是∠AOF的平分线.理由如下： 因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE. 因为∠AOC+∠AOG=90°，∠COE+∠AOC+ ∠AOG+∠G0F=180°， 所以∠COE+∠GOF=90°， 所以∠AOG=∠GOF, 所以OG是∠AOF的平分线. 13.解：(1)130°(2)120 (3)∠AOD+∠BOC=180°.理由如下：由图①得 ∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠BOC=∠COD一 ∠BOD,∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOD+ ∠BOC=90°+∠BOD+90°-∠BOD=180°. 14.告【解析】根据垂线段最短可知，当BP1AC时， BP最短. 1 1 因为S三角EAC=2BC·AD=2AC·BP, 所以名X6X4-名X5BP,所以B即-号 故BP最短时，其值为号 2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定两条直线平行 1.D2.A3.C 4.BDEF同位角相等，两直线平行 5.AOB60°AOC EFC同位角相等，两直线平行 6.解：CB∥EO. 理由：因为OA平分∠DOE,所以∠AOE=∠AOD. 因为∠AOD=∠BOC,所以∠AOE=∠BOC. 又因为∠B=∠BOC,所以∠AOE=∠B, 所以CB∥EO 7.D 8.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD 9.C 10.B【解析】同位角∠CAB=∠NCD,故AB∥CD,A 选项推理正确，不符合题意；由∠DCG=∠BAC不 能得到AB∥CD,所以B选项推理错误，符合题意；由 ∠MAE=∠ACG,∠DCG=∠BAE,可得同位角 ∠BAN=∠DCN,故AB∥CD,C选项推理正确，不 符合题意；同位角∠MAB=∠ACD,故AB∥CD,D 选项推理正确，不符合题意， 11.85°12.相同 13.解：(1)如图，直线PT即为所求. (2)如图，直线MN即为所求 (3)∥ 14.解：CE∥DF.理由如下： 因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, 所以∠DBC=∠ABC,∠BCE=∠ACB. 因为∠ABC=∠ACB,所以∠DBC=∠BCE 又因为∠DBF=∠F,所以∠BCE=∠F, 所以CE∥DF」 15.解：因为MN,PQ分别是∠AME和∠DPF的平 分线， 所以∠AME=2∠EMN,∠DPF=2∠FPQ. 又因为∠EMN=∠FPQ,所以∠AME=∠DPF 因为∠BMP=∠AME, 所以∠BMP=∠DPF,所以AB∥CD 第2课时利用内错角、同旁内角 判定两条直线平行 1.B 2.∠FAD ∠FAC ∠EAB ∠CAB ∠DAB ∠ACB 3.A4.C5.同旁内角互补，两直线平行 6.D7.B8.C 9.C【解析】A.当∠1=∠2时，由“内错角相等，两直线 平行”可得a∥b,故本选项不符合题意；B.当∠1= ∠2，∠3=∠4时，易知∠1=∠2=∠3=∠4=90°，由 “内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线 平行”可得a∥b,故本选项不符合题意：C.当∠1=∠2 时，不能得出a仍，故本选项符合题意；D.当∠1十∠2 =180时，由“同旁内角互补，两直线平行”可得a∥b, 故本选项不符合题意. 10.③④⑤【解析】①∠1=∠2，不能判断AB∥CD,不 合题意；②因为∠3=∠4，所以BE∥FG,不合题意； ③因为∠1+∠3+∠BGC=180°，所以AB∥CD,符 合题意；④因为∠1十∠3=∠2+∠4，所以AB∥ CD,符合题意；⑤因为∠E=∠F,所以BE∥FG,所 以∠3=∠4.因为∠1=∠2，所以∠1+∠3=∠2+ ∠4，所以AB∥CD,符合题意. 11.∠ABD=∠D(答案不唯一) 12.②③【解析】①若∠DAC=∠ACB,则AD∥BC,不 符合题意；②若∠BAC=∠ACD,则AB∥CD,符合 题意；③若∠BAD+∠ADC=180°，则AB∥CD,符 合题意；④若∠BAD+∠ABC=180°，则AD∥BC, 不符合题意.综上所述，能使直线AB∥CD成立的是 ②③. 13.解：(1)证明：因为OC平分∠AOF,OD平分∠BOF, 所以∠COF=∠AOF,∠D0F= 2∠BOF, 所以∠COD=∠COF+∠DOF-名（∠AOF+ ∠BOF)=90°， 所以OC⊥OD. (2)因为∠COD=90°， 所以∠1+∠BOD=90°. 因为∠D与∠1互余， 所以∠1+∠D=90°， 所以∠D=∠BOD, 所以ED∥AB. 下册参考答案第二章 相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角与余角 要点提示 1.相交线与平行线：(1)相交线.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相安孩；(2)平行线.在同一 平面内，不相安的两条直线叫作平行线 2.对顶角及其性质：(1)对顶角.两个角有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角 叫作对顶角；(2)性质.对顶角相等. 3.互为补角与互为余角及其性质：(1)互为补角.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角：(2)互为余角.如 果两个角的和是90°，那么称这两个角五为余角；(3)性质.同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等 O1固基础】之 。 知识点3补角、余角及其性质 6.（2025保定期中)已知∠1和∠2互余，若∠1 知识点①两条直线的位置关系 =47°，则∠2的度数为 1.根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在 A.33 B.43° C.53 D.133 直线L1上，直线l2不经过点M”画出的图形 7.(2025锦州期中)若∠A=56°，则∠A的补 是 角是 ( M A.34 B.44° C.114° D.124° 8.一个角的余角是它的3倍，则这个角的度数 2.在同一平面内有三条直线，如果其中有且只 为 有两条直线平行，那么这三条直线有 9.如果一个角的补角是125°，那么这个角的余 个交点 角的度数是 知识点2对顶角及其性质 易错点只考虑位置关系，找不全余角 3.(2025抚州金溪期中)下列各选项中，∠1和 或补角 ∠2是对顶角的是 ( 10.如下图，直线CD与直线EF相交于点 O,OB,OA为射线，∠BOE=∠AOD =90°，∠EOD>∠EOC. (1)找出图中相等的锐角，并说明它们 4.(教材变式)如图所示，有一 相等的理由。 个六边形零件，利用图中的 (2)试找出∠DOF的补角. 量角器可以量出该零件内 B 角的度数，则所量内角的度 第4题图 数为 5.(2025上饶期末)若∠1是∠2的对顶角，且 ∠1+∠2=140°，则∠1= 下册第二章 21 。 02提能力之 。。。。。 16.如下图，点A,O,E在同一条直线上，OB, OC,OD都是射线，∠1=∠2，∠1与∠4互 11.跨物理学科如图，直线AB与CD相交于点 为余角 F,一束光线沿CD斜射入水面，在点F处发 (1)∠2与∠3有何关系？请说明理由. 生折射，沿FE射入水中.如果∠1=42°，∠2 (2)∠3与∠4有何关系？请说明理由。 =29°，那么光的传播方向改变了 ( (3)试说明：∠3与∠AOD互为补角. A.10°B.12°C.13 D.15 D 24 0 D//E B 第11题图 第12题图 12.(2025抚州南城期中)如图，将一副三角板 的直角顶点重合摆放在桌面上.若∠ACD =44°，则∠BCF等于 () A.22°B.44° C.45 D.54 13.已知∠a和∠3互补，且∠α>∠3.给出下 列式子：①90°-∠3；②∠a-90°；③2（∠a +∠)：④2（∠a-∠）：⑤2（∠a-90), ……之O3拓思维之 其中表示∠3的余角的有 A.4个B.3个C.2个D.1个 17.推理能力(1)平面内有3条直线相交于一 点，共有多少对对顶角？4条直线呢？10 14.两条直线相交所成的四个角中，有两个角 条呢？n条呢？（不包括平角） 分别是(2x一10)°和(110一x)°，则x的值 (2)若(1)中的直线两两相交（没有重复的 是 交点)，(1)中的结论仍然成立吗？ 15.如下图，O是直线AB上的一点，∠AOC 和∠DOB互余，OE平分∠BOC.若 ∠DOE=m,求∠AOC的度数（用含m的 代数式表示). 数学七年级BS版 第2课时 垂线 要点提示 1.垂直的定义及表示方法：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的 一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足，通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直， 2.垂线的性质及点到直线的距离： (1)垂线的性质1：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 垂线的性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短. (2)点到直线的距离：如右图，过点A作直线I的垂线，垂足为B,线段AB的长度叫作点A到 直线L的距离 O1固基础 A.0个 B.1个C.2个 D.3个 5.(教材变式)如图，过点P分别画出OA,OB 知识点1垂直的定义及表示 的垂线（保留画图痕迹，不写画法）. 1.应用意识如图，已知两棵同 根树所成的夹角为15°，右侧 0 0 树干与地面垂直，则左侧树干 B PB 图① 与水平地面所成的夹角 图② 图③ B 知识点3垂线的性质 ∠AOB的度数为 ( )第1题图 A.85°B.75 C.70° D.65° 6.有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA 2.如图，直线AB,CD相交于点O,给出下列 改成直道BA,可以缩短航程；②如图②，把 条件：①∠AOC=90°；②∠AOC=∠BOC: 渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找 ③∠AOC+∠BOD=180°；④∠AOC= 到一点D,使CD⊥AB,沿CD挖水沟，水沟 ∠BOD.其中能判定AB⊥CD的是 最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A, (填序号). B两地沿道路AC,BC同时出发开往C城， 其中AC⊥AB.若两车速度相同，则甲车先 到C城.其中运用“垂线段最短”这个数学知 识的是 第2题图 第3题图 3.(2025九江月考)如图，直线AB,CD相交于 点O,EO⊥AB,垂足为O.若∠AOD= 图① 图② 图③ 122°，则∠EOC的度数为 第6题图 知识点2垂线的画法 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.(2025唐山期中)如图所示的是夕夕的作业 7.(2025广西)在跳远比赛中，某 纸，通过作图痕迹判断她做对了几个( 同学从点C处起跳后，在沙池 题目：过点P画出线段AB的垂线 留下的脚印如图所示，测量线 起跳线BC 段AB的长度作为他此次跳远 第7题图 成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依 图① 图③ 据的数学原理是 图② 第4题图 A.垂线段最短 下册第二章 B.两点确定一条直线 (2)如果OC是∠AOE的平分线，那么OG C.两点之间，线段最短 是∠AOF的平分线吗？请说明理由. D.两直线平行，内错角相等 8.如图，BC⊥AC,BC=8cm, A AC=6cm,AB=10cm,那么 B 点B到AC的距离是 第8题图 cm,点A到BC的距离是 cm,点C到AB的距离是 cm. 02提能力念 9.一题多解法如图，直线AB和CD相交于点 13.已知OA⊥OB,OC⊥OD O,OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB的 度数为 ( A.29° B.32° C.45° D.58° 图① 图② E (1)如图①，若∠BOC=50°，则∠AOD的 度数为 D 第9題图 第10题图 (2)如图②，若∠BOC=60°，则∠AOD的 10.一题多解法如图，已知直线AB和CD相 度数为 交于点O,射线OE⊥AB于点O,射线OF (3)根据(1)(2)的结果猜想∠AOD与 ⊥CD于点O.若∠BOF=25°，则∠AOC与 ∠BOC有怎样的关系？请根据图①说明 ∠EOD的度数分别为 理由. 11.如图，O为直线AB上一点， 将一直角三角板（∠M= 30)的直角顶点放在点O 处，一边ON在射线OA上，第11题图 另一边OM在直线AB的上方.将三角板 绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转 2O3拓思维◆ 一周，则经过 s后，MN 14.空间观念如图，在三角形 ⊥AB. ABC中，AC=5,BC=6,BC 12.如右图，直线AB,CD,EF 边上的高AD=4.若点P在B 相交于点O,OG⊥CD. AC边上移动，则BP最短时，第14题图 (1)若∠BOD=42°，求 其值为 ∠AOG的度数. 24 数学七年级BS版