第1章 整式的乘除 3 乘法公式-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

=m3十n3. 因为m=-2,n=-2, 所以原式=(-2)3+(-2)3=-8-8=-16. 16.解：(1)根据题意，可得A=2x2+3x-1-(-4x)= 2x2+7x-1, 则正确的计算结果B=(2x2+7x一1)·（一4x)= -8x3-28x2+4x (2)(A-C)·B =[(2x2+7x-1)-(2x2+6x)]·(-8x3-28x2+ 4x) =(x-1)(-8x3-28x2+4x) =x(-8x3-28.x2+4x)-(-8x3-28x2+4x) =-8x-28.x3+4x2+8x3+28x2-4z =-8x1-20x3+32x2-4x. 17.解：(1)积中的一次项系数是两因式中的常数项的 和，常数项是两因式中的常数项的积. (2)(a+b)(a+c)=a2+(b+c)a+bc. (3)①原式=a2-a-9900. ②原式=y2-161y+6480. 3乘法公式 第1课时平方差公式的认识 1.C2.33.-3 4.解：(1)原式=25-36a2 (2)原式=4x4一25. (3)原式=(-11y+2)(-11y-多+）=121y 9 (4)原式=（号2-y)(日+）=x- 5.B【解析】因为(x-a)(+)=x+(分-a)x 21 且结果中不含字母x的一次项，所以2一a=0, .1 所以a=2: 所以1-a)(-1-a)=(-a)2-1=a2-1= 41= 、3 4 6.a-b 7.(1)252-232(2)257048【解析】(1)96=(25十 23)(25-23)=252-232 (2)设连续的两个奇数为2n一1,2n十1(n为正整数)， 所以(2m+1)2-(2n-1)2=8n, 所以任意的“小西数”一定是8的倍数 因为2025÷8=253…1， 所以在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之 和=8×(1+2+3+…+253)=257048. 8.解：(1)a2-M 数学七年级BS版 (2)A比B多出的使用面积为(a2-M)-(b-M)= a2-b2=(a+b)(a-b)=10×5=50. 第2课时平方差公式的运用 1.D【解析】设大正方形ABMN的边长为a,小正方形 EFGH的边长为b, 则阴影面积的底为AD=BC=a十b,高之和为NE+ MF=a-b, 所以阴影面积为2(a十b)(a-b)=6,即a2-b=12. 因为大正方形ABMN的面积为a2=15, 所以b2=3,即小正方形EFGH的面积为3. 2.(1)a2-b2 (2)(a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-b)=a2-b 3.A【解析】因为M-N=1982-197×199=1982- (198-1)(198+1) =1982-(1982-1)=1>0, 所以M>N. 4.解：(1)平方差公式 (2)原式=99×(100+1)=(100-1)×(100+1)= 1002-12=9999. 1 5,解：(1)小红家的菜地面积为2×2(a+b)(b-a)= (b2-a2)m2 (2)当a=10,b=30时， 原式=302-102=900-100=800(m2). 故小红家的菜地面积为800m2. 6B【解标1原式=一费×(1-名)(1+古)(1 7)(1+7分)×…×(1-9)(1+的)(1-00)(1+ 动) 25..5 505 = 576 7.ab【解析】设小正方形的边长为x. 由图①和图②列出方程，得a一2x=b十2x, 解得x=a一b 4 则大正方形的边长为b十2.a一b_a十b 4 21 所以大正方形的面积为（士）， 所以图②中未被小正方形覆盖部分的面积为（士） -4()=h 8.解：原式=(3b+5a)(3b-5a)+(3a-b)(3a+b)+ (-3a+2b)(-3a-2b) =(3b)2-(5a)2+(3a)2-b2+(-3a)2-(2b)2 =9b2-25a2+9a2-b2+9a2-4b2 =-7a2+4b2. 当a=7b=一2时， 原武=-7x(+4x(-》=+1= 6 9.解：(1)是 (2)①佳佳发现的结论正确.理由如下： 因为两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数) 构造了“幸运数”， 且(2k+2)2-(2k)2 =(2k+2+2k)(2k+2-2k) =2(4k+2) =4(2k+1), 所以两个连续偶数2k十2和2k(其中k取非负整数) 构造的“幸运数”也是4的倍数. ②琪琪发现的结论错误.理由如下： 由①得4(2k+1)=2026, 解得k=252.75. 因为k不是整数， 所以琪琪的发现不成立，2026不是“幸运数”. 【解析】(1)因为36=102-82，所以36是“幸运数”. 10.解：(1)x2-1x3-1x4-1x10-1 (2)原式=(2-1)×(2°+28+27+25+25+2+23+ 2+2+1)=210-1=1023. 原式=7X3-DX1+3+3+3+…士 38+3”)=30-1 2 第3课时完全平方公式的认识 1.B 2.-3【解析】因为(3.x十2)2=ax2+bx十4， 所以9x2+12x+4=ax2+bx+4, 所以a=9,b=12, 所以a-b=一3. 3.解：(1)原式=(-x2y)2+2(-x2y)·5+5 =x4y2-10x2y+25. (2)原式=4x2-12xy+9y2+(y-3x) =4x2-12xy+9y2+y2-6xy+9x2 =13x2-18xy+10y2. 4.6【解析】设BC=a,GB=b. 因为防滑瓷砖的面积为？06-4，所以6-8。 因为S1十S2=20, 所以a2十b2=20. 因为(a+b)2=a2+2ab+b=20+2×8=36, 所以a十b=6(负值舍去)，即CG=6. 5解：原式=4-号y+号 6.C 7.B【解析】因为m一n=4, 所以m=4十n, 所以m2-n2-8n =(n+4)2-n2-8n =n2+8n+16-n2-8n =16. 8.会【解析】因为(2m+3)(2m一3)十12m=4m2一9十 12m=4m2+12m-9,(2m+3)2=4m2+12m十9，所 以天平左右两边物体的质量不相等，则天平会倾斜 9.解：(1)小玲说得对.理由如下： 原式=(x+y)2-9-(2xy-8.x2+y2-4xy)-4xy =x2+2xy+y2-9-2xy+8.x2-y2+4xy-4xy =9x2-9. 经过化简，原式的结果只与x的取值有关，所以小玲 说得对. (2)由(1)得，原式=9x2-9. 当x=-2时，原式=9×(-2)2-9=27. 第4课时完全平方公式的运用 20152 1.2 【解析】原式=(2015-1)+(2015+1)2-2 2015 20152-2×2015+1+20152+2×2015+1-2 20152 1 2X2015=2 2.解：(1)原式=20242-2×2024×2014+20142 =(2024-2014)2 =102 =100. (2)原式=(100-3)2=1002-600十9=9409. 3.B【解析】因为(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2 (a2-2ab十b2)=4ab=4,所以ab=1,所以a,b互为 倒数. 一题多解法 因为(a+b)2-(a-b)2=(a+b+a-b)(a+b -a十b)=2a·2b=4ab=4,所以ab=1,所以 a,b互为倒数. 4.-5x-12 5.一4051【解析】因为(2025x+2026)2展开后得到 a1x2+b1x+c1,所以a1=20252.因为(2026x- 2025)2展开后得到a2x2十b2x十c2,所以a2=20262, 所以a1-a2=20252-20262=(2025+ 2026)×(2025-2026)=-4051. 6.解：(1)原式=4m2+12mm十9n2-(4m2-n2) =4m2+12mm+9n2-4m2+n2=12mn+10n2. (2)原式=2(x2-2xy+y2)-2(x+3y)(x-3y) =2.x2-4xy+2y2-2.x2+18y2 =-4xy+20y2. 7.C【解析】因为[(x-2024)-(x-2026)]=22=4, 所以(x-2024)2-2(x-2024)(x-2026)+(x 2026)2=4, 所以38-2(x-2024)(x-2026)=4, 下册参考答案 所以(x-2024)(x-2026)=17. 8.64 9.士6【解析】因为x2-xy=9-a,y2-xy=27+a, 所以x2-xy十y2-xy=9-a+27+a=36, 所以(x一y)2=36,所以(y一x)2=36, 所以y一x=士6. 10.57【解析】因为a-b=7,所以(a-b)2=a2十b2- 2ab=49. 把ab=2代入，得a2+b2-4=49,即a2+b2=53, 则(a+b)2=a2+b2+2ab=53+4=57. 11.(1)-7(2)37【解析】(1)因为(x十y)2-(x2+ y2)=2xy=32-23=-14, 所以xy=-7. (2)(x-y)2=(x+y)2-4xy=32-4×(-7)=37. 12.解：原式=(3x2+x-3x-1)-(x2+2x+1) =3x2+x-3x-1-x2-2x-1=2x2-4x-2. 当x2-2x=1时，原式=2(x2一2x)-2=2×1-2 =0. 13.B 14.A【解析】根据题意，得S1=m2一SB,S2=n2一Sa, 所以S1-S2=m2-SB-(n2-Sg)=m2-n2=(m -n)(m十n). 因为m一n=2,mn=8, 所以(m+n)2=(m-n)2+4mn=22+4×8=36,所 以m十n=6或m十n=一6（舍去）， 所以S1-S2=(m-n)(m+n)=2×6=12. 15.土1【解析】因为a十6=2，ab=3, 4 所以(a+b)2=4=a2+2ab+B2,所以a2+b2=2 5 所以(a-b)2=a2-2ab+b=1,所以a-b=±1. 16.解：(1)原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)] =x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9) =x2-4y2+12y-9. (2)原式=[(2x-y)+x] =(2x-y)2+2z(2x-y)+之2 =4x2-4xy+y2+4xz-2yz+之2. 17.解：(1)-2 (2)x2+y2-2x+2y+3 =x2-2x+1+y2+2y+1+1 =(x-1)2+(y+1)2+1. 因为(x一1)2≥0，(y+1)2≥0， 所以(x一1)2+(y十1)2+1的最小值为1， 所以不论x,y取什么值，多项式x2十y2-2x十2y十 3的值总是正数 【解析】(1)原等式可化简为(x十2)2十(y-4)2=0, 所以x十2=0，y一4=0， 所以x三-2，y=4,所以之三-2三二2 18.解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac (2)验证：(a+b+c)3 6 数学七年级BS版 =(a+b+c)(a+b+c) =a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 =a2+62+c2+2ab+2bc+2ac. (3)因为a+b+c=10,ab+ac+bc=35, 所以a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ac =102-2×35 =30. 所以a2+b2+c2的值为30. 4整式的除法 1 1.B2.C3.-3abc 4.解：(1)原式=(-5÷3)(x5÷x2)(y3÷y2)之= 3r'ye. 5÷(-2](a'÷a)6÷c (3)原式=[(-)÷(-日)门(a2÷a)(6÷6)c =3ac. (4)原式=9x4y2·(-15.xy3)÷(-9xy2)=15.xy3 5.B6.3y-2xy27.2a2-ab 8.3a2-2a+1【解析】这个多项式为(15a3-10a2+ 5a)÷5a=3a2-2a+1. 9.解：原式=[4x2-12xy十9y2-(4x2-y2)]÷2y =(-12xy+10y2)÷2y =-6x+5y. 当x=6y=5时，原式=-1+1=0. 10.解：(1)原式=-6a1÷(-4a2)+24a3b÷(-4a2) 3 8a2÷（-4a2)=2a2-6ab+2. (2)原式=4y÷(-日)-w÷(-7)+ 3w÷(-2w）=-8r2+2y-8. 3 11.A 12.C【解析】由题意，得正方形的面积为a2+b+2ab. 因为两块场地总面积相等， 所以长方形的宽为(a2+b2+2ab)÷2(a+b)=(a+ b)2÷2(a+b)=a+b 2· 13.0【解析】(x2十m,x一1)(x2十2x十n) =x4+2x3+n.x2+m.x3+2m.x2+mnx-x2-2x-n =x+(2+m)x3+(n+2m-1)x2+(mn-2)x -n. 因为(x2十mx-1)(x2+2x十n)的结果中不含x项 与x3项， 所以2+m=0,mn-2=0, 所以m=-2,n=-1, 所以原式=(m2-4mn十4n2-4n2+2mn)÷2m =(m2-2mn)÷2m3乘法公式 第1课时平方差公式的认识 要点提示 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(a十b)(a一b)=a2一b2. 念O1固基础之 02提能力之… 知识点平方差公式 5.(2025黔东南期中)已知(x-a)(x+2)的 1.(2025吉安月考)给出下列式子：①(3a +4)(3a-4)=9a2-4;②(2a2-b)(2a2+ 结果中不含字母x的一次项，则(1一a)(-1 b)=4a2-b2;③(3.x-y)(3.x+y)=9.x2- 一a)的值为 () y2;④(xy-3z)(xy+3z)=x2y2-9x2.其 B- c号 n-号 中正确的个数是 6.若一个长方体的长为a十b,宽为a2+b2,高 A.1 B.2 C.3 D.4 为a一b,则长方体的体积为 2.(2025九江月考)若(x+3)(x-m)=x2 7.新定义题(2025合肥期中)如果一个正整数 9,则m的值是 可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称 3.若a2-b2=15,a-b=-5,则a+b= 该正整数为“小西数”（如8=32一12,16=52 一32，即8,16均为“小西数”) 4.计算： (1)将“小西数”96表示为两个连续奇数的平 (1)(5+6a)(5-6a). 方差为96= (2)在不超过2025的正整数中，所有的“小 西数”之和为 (2)(-2x2+5)(-2x2-5). 8.如下图，学校劳动实践基地有两块边长分别 为a,b的正方形秧田A,B,其中不能使用的 面积为M. (3(-2x-11y)(2-1: (1)A中能使用的面积为 (用含a,M的式子表示). (2)若a+b=10,a-b=5,求A比B多出 的使用面积. 4后+3-号+y) 下册第 章 第2课时平方差公式的运用 要点提示 平方差公式的运用技巧：运用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两数的平均数，并求出这两数与平均 数的差，将乘积变为（平均数十差）（平均数一差）的形式，然后运用公式计算，当出现多个因式相乘时，要仔细观 察式子的特点，看是否能“凑”出符合平方差公式的模型. O1固基础心 4.先阅读例题的解答过程，再解答下面的 问题 知识点1平方差公式的几何背景 例题：用简便方法求195×205的值， 1.(2025邵阳期中)如图，四边 解：195×205 形ABCD是长方形，四边形 =(200-5)×(200+5)第一步 ABMN是面积为15的正方 M C =2002-52第二步 形，点M,N分别在BC,AD 第1题图 =39975.第三步 上，点E,F在MN上，点G,H在CD上，且 (1)在例题求解过程中，第二步变形的依据 四边形EFGH是正方形，连接AE,DE, 是 BF,CF.若图中阴影部分的总面积为6，则 (2)用简便方法求9×11×101的值. 正方形EFGH的面积为 A.6 B.9 C.5 D.3 2.从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一 个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同 的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形 (如图②) 5.小红家有一块“L”形菜地， 能把“L”形菜地按右图所示 的方式分成面积相等的两个 直角梯形.已知这两个直角 图① 图② 梯形的上底都是am,下底 单位：m 第2题图 (1)图①中阴影部分的面积为 都是bm,高都是(b一a)m. (2)图②的面积可以表示为 (1)小红家的菜地面积为多少平方米？ (2)当a=10,b=30时，小红家的菜地面积 (3)这验证了平方差公式： 为多少平方米？ 知识点2平方差公式的运用 3.(2025汉中期中)已知M=1982,N=197× 199,则M与N的大小关系是 A.M>N B.M<N C.M=N D.无法确定 12 数学七年级BS版 之02提能力 (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断 真假，并说明理由. 6.(2025怀化月考)计算(-2)×(1-)× ①佳佳发现：两个连续偶数2k十2和2k(其 中k取非负整数)构造的“幸运数”也是4的 (1-为)×…×(1-g)1-100)的结果 倍数. 是 ②琪琪发现：2026是“幸运数”. 101 505 A.125 B.一576 e 24 D.一25 7.一个大正方形和四个相等的小正方形按图 ①、图②所示的两种方式摆放，则图②的大 正方形中未被小正方形覆盖部分（阴影部 分)的面积是 (用含a,b的代数 式表示). 图① 图② ……心 O3拓思维)之 第7题图 10.推理能力分别计算下列各式的值： 8.先化简，再求值：(5a+3b)(3b一5a)-(3a (1)填空： -b)(-b-3a)+(2b-3a)(-2b-3a),其 (x-1)(x+1)= 中a=76= (x-1)(x2+x+1)= (x-1)(x3+x2+x+1)= ； … 由此可得(x-1)(x9+x8+x7十x6+x5十 x4+x3十x2+x+1)= (2)求1+2+22+23+…+2？+28十2 的值 (3)根据以上结论，计算1+3+32+33十… 9.(2025九江都昌月考)如果一个正整数能表 +397+398+399 示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正 整数为“幸运数”.如：4=2一0,12=4一2， 20=62一4，因此4,12,20都是“幸运数”. (1)请判断：36 “幸运数”（填“是” 或“不是”) 13 下册第一章 第3课时完全平方公式的认识 要点提示 完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们的积的2倍，即(a十b)2=a2+2ab十b2 a-b)2=a2-2ab+b2 O1固基础 … 02提能力之 知识点1完全平方公式 6.一个正方形的边长为2acm,若边长增加 1.计算(a一1)2的结果是 6cm,则新正方形的面积增加 () A.a2-1 B.a2-2a+1 A.36 cm2 B.24a cm C.a2+2a+1 D.a2-a+1 C.(36+24a)cm2 D.以上都不正确 2.(2025赣州石城月考)已知(3.x+2)2=a.x 7.(2025景德镇期中)若m-n=4,则m2一n2 十bx十4，则a一b的值为 一8n的值是 ( 3.计算： A.8 B.16 C.-8D.32 (1)(-x2y+5)2. 8.天平的左边放的物体的质量为[(2m+ 3)(2m-3)+12m]g,右边放的物体的质量 为(2m+3)2g,则天平 倾斜（填 “会”或“不会”) (2)(2x-3y)2-(y-3x)(3x-y) 9.(2025景德镇期末)老师在黑板上写了一道 题目：已知x=一1，求(x+y一3)(x+y+ 3)-(2x十y)(y-4x)-x·4y的值， 针对这道题目小涛和小玲的讨论如下图 知识点2完全平方公式的几何背景 所示. 4.(2025吉安月考)如图，两个正 这道题只知道x的 这道题与y的取值无 方形的泳池，面积分别是S, 值，没有告诉y的值 关，可以求出答案。 G B 无法求出答案. 和S2,两个泳池的面积之和 S 小涛 S1+S2=20,B是线段CG上 FE (1)你认为谁说得对？请说明理由. 一点.若在阴影部分铺上防滑 第4题图 (2)如果x=一2，y=5,求这个式子的值. 瓷砖，防滑瓷砖的面积为4，则CG= ●易错点混淆和（差）平方与积平方，漏 写积的2倍的项 5.计算：(2x-号)月 14 数学七年级BS版 第4课时完全平方公式的运用 要点提示 公式的变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab. 之O1固基础之 (2)2(x-y)2-(2x+6y)(x-3y). 知识点1利用完全平方公式简化数的计算 20152 1.(2025新余期末)计算：2014+20162-2 2.用乘法公式计算： (1)20242-4048×2014+20142. 知识点③完全平方公式的变形应用 (2)972. 7.(2025杭州期中)已知(x-2024)2十(x一 2026)2=38,则(x-2024)(x-2026)的值 是 A.4 B.8 C.17 D.34 8.若x2+y2=34,x-y=2,则(x+y)2的值 为 知识点2利用完全平方公式进行整式的 9.(2025绍兴期末)若x2-xy=9-a,y2-xy 运算 =27十a,则y一x= 3.一题多解法如果(a+b)2-(a一b)2=4,那 10.若a-b=7,ab=2,则(a+b)2= 么一定成立的是 A.a是b的相反数B.a是b的倒数 11.已知x+y=3,x2+y2=23,则 C.a是一b的相反数D.a是-b的倒数 (1)xy的值为 4.计算：（x+2)(2x-5)-2(x+1)2= (2)(x-y)的值为 5.小石将(2025x十2026)2展开后得到多项式 易错点 把积化为和的形式，忽略添加 a1x2+b1x+c1,小明将(2026x-2025)2 括号导致符号错误 展开后得到多项式a2x2十b2x十c2.若两人 12.已知x2-2x=1,求(x-1)(3x+1) 计算过程无误，则a1一a2的值为 (x+1)2的值. 6.计算： (1)(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n). 15 下册第一章 。 之02提能力之 。。。。。 根据你的观察，解决下面的问题： 13.(2025吉安期末)设M=20242-2023× (1)若x2+4x+4十y2-8y十16=0，则Y 2025,N=20242-4048×2025+20252, 的值为 则M与N的关系是 (2)试说明：不论x,y取什么值，多项式x2 A.M>N B.M=N +y2-2x+2y十3的值总是正数. C.M<N D.M=±N 14.(2025合肥期末)如图所示的是从某学校七 年级两个班级的劳动实践基地抽象出来的 几何模型：两块边长为m,n的正方形，其 中重叠部分B为池塘，阴影部分S1,S2分 别表示两个班级的基地面积.若m一n=2, mn=8,则S1一S2的值等于 () ……心O3拓思维念 18.对于一个图形，通过两种不同的方法计算 第14题图 它的面积，可以得到一个数学等式.例如： A.12B.10 C.8 D.16 图①可以表示(a十b)2=a2+2ab+b2.请 15.已知实数a,b满足a十b=2,ab= 4,则a 回答下列问题： 一b的值为 16.计算： (1)(x+2y-3)(x-2y+3). 图① 图② (1)写出图②所表示的数学等式： (2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验 (2)(2x-y+z)2. 证(1)中的等式 (3)若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,求 a2+b2十c2的值. 17.若m2+2mn+2n2-6n十9=0，求"2的值. 解：因为m2+2mn十2n2-6n十9=0， 所以(m+n)2+(n-3)2=0, 所以m十n=0,n-3=0,所以n=3,m= -3,所以=一31 n=3=-3 16 数学七年级BS版