专题15.2 一元一次不等式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

本讲义聚焦一元一次不等式核心知识点，从不等式的解与解集概念切入，系统梳理解一元一次不等式的完整步骤，结合数轴实现“数—形”双向转化，最终延伸到实际问题应用，构建从概念理解到解法掌握再到模型应用的学习支架。 该资料突出核心素养培养，通过“即学即练”和题型变式强化运算能力与推理意识，数轴表示解集环节发展几何直观，实际应用题（如方案选择、购物优惠）渗透模型意识。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖全面，帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

专题15.2 一元一次不等式 教学目标 1.理解不等式的解、解集和一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式（含最简形式ax+b>0，其中a≠0），等式与方程、代数式的差异； 2.熟练掌握一元一次不等式的完整求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）； 3.能在数轴上熟练、规范表示一元一次不等式的解集，能根据数轴上的解集逆向写出对应的一元一次不等式，实现“数—形”双向转化。 4.能运用一元一次不等式解决简单的实际应用题（如分配问题、方案选择、比赛积分、购物优惠），准确提炼不等关系并构建模型求解，结合实际意义检验解集的合理性。 教学重难点 1.重点 一元一次不等式的解法与应用； 2.难点 ①求解过程中的易错点的突破。学生易出现去分母漏乘常数项、去括号时符号错误、移项忘变号、系数化为1时忽略不等号方向改变等问题； ②实际问题中不等关系的精准提炼。 知识点01 不等式的解和解集 1.概念 ①能使不等式成立的未知数的值，叫作__________； ②一个不等式的所有的解，组成这个不等式的__________； ③求不等式解集的过程，叫作__________； 2.解和解集的区别与联系 区别：解是__________（填“个体”或“全体”）数值。解集属于__________，是所有解的集合； 联系：不等式的解一定在它的__________中，解集包含不等式的__________. （3） 不等式的解集在数轴上的表示方法 ①用实心点，如： x ②用空心点，如：x 【即学即练】 1. 下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 2.已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 知识点02 解一元一次不等式 1.概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的不等式叫作__________. 2.解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； 3.三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项；② 移项要注意变号； 2 系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 【即学即练】 1. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 知识点03 一元一次不等式的应用 1.注意关键词语“不少于”、“最多”、“至少”… 2.常见题型（方案选择、比赛积分、购物优惠…） 3.解题步骤 步骤1：分析实际问题，设未知数——教材明确表述：分析实际问题，设未知数，用不等式表示相应的不等关系； 步骤2：列一元一次不等式——根据关键词（至少、最多等），用含未知数的代数式表示相关量，列出符合教材规范的不等式； 步骤3：解不等式——教材步骤：解不等式，按“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求解； 步骤4：确定整数解——教材明确要求：结合实际情形，检验并确定最终结论（如x为正整数）。 【即学即练】 1.小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（   ） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 2.某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 题型01 相关概念的辨析 【典例1】下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式2】下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】不等式有多少个负整数解？请一一写出． 【变式4】对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 题型02 在数轴上表示不等式的解集 【典例1】把下列不等式的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式2】不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】一个不等式的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4】将下列关于x的解集表示在数轴上 题型03 解一元一次不等式 【典例1】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式1】解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 【变式2】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式3】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式4】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 根据不等式的解集求参数字母的取值范围 【典例1】若关于的分式方程的解为正实数，求实数的取值范围． 【变式1】若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的不等式的解集为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式3】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式4】关于、的方程组的解中，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型05 求不等式的整数解 【典例1】求不等式的正整数解． 【变式1】求不等式的最小整数解． 【变式2】求不等式的正整数解． 【变式3】先化简，再求值：，其中x是的最大整数解． 【变式4】求下列不等式的非负整数解． (1)； (2)． 题型06 根据关键词列不等式 【典例1】某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ． 【变式1】一块长方形菜地，长比宽多2m，周长不超过20m，那么这块菜地的宽最多是多少？设菜地的宽为，根据题意，可列不等式 ． 【变式2】一棵树的年龄通常可以通过测量树干离地面处的树围（树干的周长）判断出来．已知某树栽种时的树围为，以后每年增加，这棵树至少生长多少年后树围才能超过?设这棵树生长x年后树围超过，可列关于x的不等式为 ． 【变式3】有一根长的蜡烛，假设点燃后每小时烧，燃烧后，长度已不足，根据题意可列不等式为 ． 【变式4】小明在图书馆借了一本科普书．该书共有a页，小明每天读10页，读了15天仍未读完，根据题意，可列不等式为 ． 题型07 一元一次不等式的实际应用 【典例1】某服装厂计划生产一种服装，每件成本是元，售价是元．该厂生产这种服装，每月除成本外的其他开支共为元．如果想使生产这种服装的月获利不低于元，那么每月至少要生产这种服装多少件？ 【变式1】某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150名．根据工程需要，从事乙工种的人数不少于从事甲工种人数的2倍，那么从事甲工种的工人最多可招聘多少名？ 【变式2】敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 【变式3】小明与小红购买了相同数量的小鸭子，一年后，小明养鸭数比买入的小鸭子数增加了2只，小红养鸭数比买入的小鸭子数的2倍少1只，小明养鸭数小于小红养鸭数的．一年前小明至少买了多少只小鸭子？ 【变式4】一家游泳馆每年6月—8月出售夏季会员证．每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张15元，不凭会员证购入场券每张20元．讨论并回答下列问题： (1)在什么情况下，使用会员证与不使用会员证付一样的钱？ (2)在什么情况下，使用会员证比不使用会员证更合算？ (3)在什么情况下，不使用会员证比使用会员证更合算？ 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 5．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 6．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为 ． 8．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 9．如果，则的取值范围 ． 10．写出下列数轴上所表示的不等式的解集： (1)解集是：_____________________ (2)解集是：___________________ 11．不等式的解集为，则 ． 12．不等式的解集是 ． 13．当a 时，不等式的解集是． 14．某同学在解不等式的过程中，步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④系数化为1，得． 其中错误的步骤是 ． 在此步骤之前，还可以增加一步是 ． 15．某盒新款巧克力饼干共有300克，盒子上注有“每100克蛋白质含量约为4.2～4.5克”，设这盒新款巧克力的蛋白质含量为x克，则x满足的关系式为 ． 16．某校七年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车．如果44座的客车租用了3辆，那么40座的客车至少需租用_______辆 17．小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则根据题意可列不等式为 ． 18．某班35名同学去春游，共收款180元，由小李去买点心，每人一包，已知有4.5元一包和7.2元一包的点心，最多能买几包7.2元一包的点心？设买x包7.2元一包的点心，根据题意，列出关于x的不等式为 ． 三、解答题 19．解不等式，并把解表示在数轴上． 20．解不等式 ，并在数轴上表示解集． 21解下列一元一次不等式 (1)； (2)． 22．（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 23.某旅游团的人数不到50，在参观一个景点时购买了一张50人的团体票，结果比按实际人数购买个人票省钱．已知这个景点的个人票票价是60元/人，团体票打八折，那么这个旅游团可能有多少人？ 24．某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 25．敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 26．为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． (1)求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； (2)医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． (1)求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； (2)医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.2 一元一次不等式 教学目标 1.理解不等式的解、解集和一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式（含最简形式ax+b>0，其中a≠0），等式与方程、代数式的差异； 2.熟练掌握一元一次不等式的完整求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）； 3.能在数轴上熟练、规范表示一元一次不等式的解集，能根据数轴上的解集逆向写出对应的一元一次不等式，实现“数—形”双向转化。 4.能运用一元一次不等式解决简单的实际应用题（如分配问题、方案选择、比赛积分、购物优惠），准确提炼不等关系并构建模型求解，结合实际意义检验解集的合理性。 教学重难点 1.重点 一元一次不等式的解法与应用； 2.难点 ①求解过程中的易错点的突破。学生易出现去分母漏乘常数项、去括号时符号错误、移项忘变号、系数化为1时忽略不等号方向改变等问题； ②实际问题中不等关系的精准提炼。 知识点01 不等式的解和解集 1.概念 ①能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； ②一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； ③求不等式解集的过程，叫作解不等式； 2.解和解集的区别与联系 区别：解是个体（填“个体”或“全体”）数值。解集属于全体，是所有解的集合； 联系：不等式的解一定在它的解集中，解集包含不等式的所有解。 （3） 不等式的解集在数轴上的表示方法 ①用实心点，如： x ②用空心点，如：x 【即学即练】 1. 下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 2.已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 知识点02 解一元一次不等式 1.概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的不等式叫作一元一次不等式。 2.解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； 3.三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项；② 移项要注意变号； 2 系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 【即学即练】 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 知识点03 一元一次不等式的应用 1.注意关键词语“不少于”、“最多”、“至少”… 2.常见题型（方案选择、比赛积分、购物优惠…） 3.解题步骤 步骤1：分析实际问题，设未知数——教材明确表述：分析实际问题，设未知数，用不等式表示相应的不等关系； 步骤2：列一元一次不等式——根据关键词（至少、最多等），用含未知数的代数式表示相关量，列出符合教材规范的不等式； 步骤3：解不等式——教材步骤：解不等式，按“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求解； 步骤4：确定整数解——教材明确要求：结合实际情形，检验并确定最终结论（如x为正整数）。 【即学即练】 1.小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（   ） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，本题可设小刚买圆珠笔支，再分别乘以它们的单价，令两者的和小于等于，化简即可得出x的取值，取最大整数即可得出答案． 【详解】解：设小刚买圆珠笔支， ， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大为， 故选：B． 2.某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据答对题的得分；答错题的得分，根据得分不低于80分，列出一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意可列出的不等式为， 故选：D． 题型01 相关概念的辨析 【典例1】下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念；根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，因此令指数表达式 等于 1，求解 即可． 【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式， ∴ 的次数必须为 1，即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为2． 【变式2】下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 【变式3】不等式有多少个负整数解？请一一写出． 【答案】该不等式有4个负整数解，为 【分析】本题考查了列一元一次不等式及一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确不等式解集的含义． 【详解】解：∵， ∴该不等式有4个负整数解，为． 【变式4】对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 【详解】解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 题型02 在数轴上表示不等式的解集 【典例1】把下列不等式的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】见解析 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，需注意：“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；“或（）时”，数轴上表示数“a”的点用“空心圆点”，“（或）时”，数轴上表示数“a”的点用“实心圆点”． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图： （4）解：如图： 【变式1】解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集； 根据解一元一次不等式的步骤进行计算，再把所得的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， 把解集在数轴上表示为： 【变式2】不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：D． 【变式3】一个不等式的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据数轴明确不等式的解集，是解题的关键． 由图可知，不等式的解集为：，分别解不等式，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，不等式的解集为：； A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，符合题意； C、，解得：，不符合题意； D、，解得：，不符合题意； 故选：B． 【变式4】将下列关于x的解集表示在数轴上 【答案】见解析 【分析】本题考查不等式的解集分别表示在数轴上．根据在数轴上表示不等式的解集的规则将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：如图，在数轴上表示． ． 题型03 解一元一次不等式 【典例1】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的解为：， 在数轴上表示如图： 【变式1】解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤，进行计算得出不等式的解集为，再把在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：； 数轴上表示如图： 【变式2】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．根据不等式的性质：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 把它的解集在数轴上表示出来如下： ． 【变式3】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析； (2)，解集在数轴上表示见解析． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，数轴上表示解集，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． （）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出解集，然后在数轴上表示解集即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ， 解集在数轴上表示如下， ； （2）解： ， 解集在数轴上表示如下， ． 【变式4】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，在数轴上表示解集见解析； (2)，在数轴上表示解集见解析； (3)，在数轴上表示解集见解析； (4)，在数轴上表示解集见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过去括号，移项和合并同类项解不等式，然后在数轴上表示解集即可； （）通过去括号，移项和合并同类项解不等式，然后在数轴上表示解集即可； （）通过去分母，去括号，移项和合并同类项解不等式，然后在数轴上表示解集即可； （）通过去括号，移项和合并同类项解不等式，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ， 在数轴上表示解集，如图， ； （2）解： ， 在数轴上表示解集，如图， ； （3）解： ， 在数轴上表示解集，如图， ； （4）解： ， 在数轴上表示解集，如图， ． 题型04 根据不等式的解集求参数字母的取值范围 【典例1】若关于的分式方程的解为正实数，求实数的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式；利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 解得，， 由题意得，， 解得，， ， ， 且． 【变式1】若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的解求参数的取值范围等知识；解不等式得，根据解集只有正整数解1与2，即可求得的取值范围． 【详解】解：解，得：， ∵关于x的不等式的正整数解只有1和2， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式2】已知关于的不等式的解集为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集确定参数，掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关键．首先解不等式，根据不等式的解集为，就可以得出a的值． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式3】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【变式4】关于、的方程组的解中，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相加得到与的差是解题的关键．由两式相加，得到，再根据列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相加，可得，即， 又， ， 解得：． ∴的取值范围是． 故选：D． 题型05 求不等式的整数解 【典例1】求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，通过去分母，去括号，移项和合并同类项解不等式，然后求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴正整数解为，． 【变式1】求不等式的最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 根据一元一次不等式的性质计算，得到x的取值范围；再根据整数的性质分析，即可得到答案． 【详解】解： ∴不等式的最小整数解是． 【变式2】求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以不等式的正整数解为1，2，3． 【变式3】先化简，再求值：，其中x是的最大整数解． 【答案】． 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，提公因式，不等式的整数解，掌握知识点是解题的关键． 先化简分式，然后解不等式，取x的最大整数解代入分式计算即可． 【详解】解：原式 ． 解不等式，得． ∵x是的最大整数解， ∴． 当时，原式． 【变式4】求下列不等式的非负整数解． (1)； (2)． 【答案】(1)0，1 (2)0，1，2，3，4 【分析】本题考查了解一元一次不等式的解集，非负整数解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，得，结合非负整数的定义，得； （2）先去分母再去括号，移项合并同类项，系数化1，得，结合非负整数的定义，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为非负整数， ∴； 即的非负整数解为0，1； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∵为非负整数， ∴； 即的非负整数解为． 题型06 根据关键词列不等式 【典例1】某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 【变式1】一块长方形菜地，长比宽多2m，周长不超过20m，那么这块菜地的宽最多是多少？设菜地的宽为，根据题意，可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式．设菜地的宽为，则宽为，利用长方形周长公式，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设菜地的宽为，则宽为，根据题意： ， 故答案为：． 【变式2】一棵树的年龄通常可以通过测量树干离地面处的树围（树干的周长）判断出来．已知某树栽种时的树围为，以后每年增加，这棵树至少生长多少年后树围才能超过?设这棵树生长x年后树围超过，可列关于x的不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．首先根据题意可得不等关系：栽种时的树围加上年增加的树围大于，根据不等关系可得不等式． 【详解】解：设这棵树生长年后其树围超过, 由题意得：． 故答案为：． 【变式3】有一根长的蜡烛，假设点燃后每小时烧，燃烧后，长度已不足，根据题意可列不等式为 ． 【答案】 【分析】根据剩余长度等于总长度减去燃烧的长度，列出不等式即可． 本题考查了不等式的应用，正确掌握列不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 【变式4】小明在图书馆借了一本科普书．该书共有a页，小明每天读10页，读了15天仍未读完，根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】利用每天读的页数×读的天数＜科普书的总页数a页． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 【详解】解：由题意得：, 故答案为：. 题型07 一元一次不等式的实际应用 【典例1】某服装厂计划生产一种服装，每件成本是元，售价是元．该厂生产这种服装，每月除成本外的其他开支共为元．如果想使生产这种服装的月获利不低于元，那么每月至少要生产这种服装多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设每月生产这种服装 件，根据单位利润乘以数量减去开支不低于元列不等式求解即可． 【详解】解：设每月生产这种服装 件，依题意得， ， ， ， ． 答：每月至少要生产 件． 【变式1】某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150名．根据工程需要，从事乙工种的人数不少于从事甲工种人数的2倍，那么从事甲工种的工人最多可招聘多少名？ 【答案】 50名 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意找到各数量间的关系列出不等式是解题的关键．设甲工种人数为x，则乙工种人数为，根据乙工种人数不少于甲工种人数的2倍，列出不等式求解即可． 【详解】解：设从事甲工种的工人数为x名，则从事乙工种的工人数为名。 由题意，得，解得。 答：从事甲工种的工人最多可招聘50名． 【变式2】敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 【答案】(1)每盒A型颜料24元，每盒B型颜料16元 (2)该中学最多可以购买89盒A型颜料 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意得： ， 解得：； 答：1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为24、16元． （2）解：设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意得： ， 解得：； 答：该中学最多可以购买89盒A型颜料． 【变式3】小明与小红购买了相同数量的小鸭子，一年后，小明养鸭数比买入的小鸭子数增加了2只，小红养鸭数比买入的小鸭子数的2倍少1只，小明养鸭数小于小红养鸭数的．一年前小明至少买了多少只小鸭子？ 【答案】小明至少买入9只小鸭子 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． 设小明一年前买了x只小鸭子，根据题意，得到，解出不等式的解集，即可解答． 【详解】解：设小明一年前买了x只鸭子，依题意，得 ， ， ， x是整数， x最小值是9． 答：小明至少买入9只小鸭子． 【变式4】一家游泳馆每年6月—8月出售夏季会员证．每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张15元，不凭会员证购入场券每张20元．讨论并回答下列问题： (1)在什么情况下，使用会员证与不使用会员证付一样的钱？ (2)在什么情况下，使用会员证比不使用会员证更合算？ (3)在什么情况下，不使用会员证比使用会员证更合算？ 【答案】(1)6-8月共游泳24次的话，使用会员证与不使用会员证付一样的钱； (2)6-8月游泳超过24次的话，使用会员证比不使用会员证更合算； (3)6-8月游泳不足24次的话，不使用会员证比使用会员证更合算． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 假设游泳x次，于是可表示购证后花费为元，不购证花费元， （1）当时，使用会员证与不使用会员付一样的钱，然后解方程； （2）当时，使用会员证更划算，然后解不等式； （3）当时，不使用会员证更划算，然后解不等式． 【详解】（1）解：假设游泳x次，于是可表示购证后花费为元，不购证花费元， 根据题意得， 解得，也就是说6-8月共游泳24次的话，使用会员证与不使用会员证付一样的钱； （2）解：根据题意得， 解得，也就是说6-8月游泳超过24次的话，使用会员证比不使用会员证更合算； （3）解：根据题意得， 解得，也就是说6-8月游泳不足24次的话，不使用会员证比使用会员证更合算． 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，空心不包含等于，实心包含是等于”是解答此题的关键． 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 移项得， 故此不等式的解集为． 在数轴上表示为： ． 故选：D． 2．当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 根据题意，代数式的值小于代数式的值，列出不等式并求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 3．要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．先根据题意列出不等式，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 解得， 故选：C． 4．若不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 【分析】本题考查了不等式的解集情况求参数．根据不等式的解集方向与原不等式相反，得到，即可求解． 【详解】解：不等式为的解集为， 解集方向与原不等式相反， ， ， 故选：B． 5．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集为 在数轴上表示不等式的解集，应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈即可. 【详解】解： ， 则解集在数轴上表示如下： 故选C 6．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．先按照去分母去括号移项系数化为1的步骤解不等式，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 解得，． 把不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：B 二、填空题 7．在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为 ． 解析： x 8．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 9．如果，则的取值范围 ． 【分析】本题考查了绝对值的性质，解一元一次不等式，由绝对值的非负性可得，解不等式即可求解，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．写出下列数轴上所表示的不等式的解集： (1)解集是：_____________________ (2)__解集是：___________________ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“实心圆点向左画折线． 【详解】（1）解：由数轴表示得，表示的不等式的解集为； （2）解：由数轴表示得，表示的不等式的解集为． 11．不等式的解集为，则 ． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键．先解不等式得到，再利用不等式的解集为，得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 故答案为：． 12．不等式的解集是 ． 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤 是解题的关键． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 故答案为：． 13．当a 时，不等式的解集是． 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 解需不等式两边同除以，由题目所给解集可知不等号方向改变，因此，计算可得答案． 【详解】解：解，需不等式两边同除以， ∵解集为，不等号方向改变， ∴， 解得． 故答案为：． 14．某同学在解不等式的过程中，步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④系数化为1，得． 其中错误的步骤是 ． 在此步骤之前，还可以增加一步是 ． 【分析】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．根据不等式的性质可判断④有错误，依此即可求解，再通过合并同类项，即可增加一步． 【详解】解：解不等式的过程中，步骤如下： ①去分母，得；②去括号，得； ③移项，得；④系数化为1，得． 故其中错误的步骤是④， 在此步骤之前，还可以增加一步是：合并同类项，得， 故答案为：④，合并同类项，得． 15．某盒新款巧克力饼干共有300克，盒子上注有“每100克蛋白质含量约为4.2～4.5克”，设这盒新款巧克力的蛋白质含量为x克，则x满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，理解题意，找出不等关系是解题的关键． 先计算这盒新款巧克力的蛋白质含量的最低值和最高值，再列不等式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 16．某校七年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车．如果44座的客车租用了3辆，那么40座的客车至少需租用_______辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．设需租用40座的客车辆，根据总人数需求建立不等式，解出的最小整数值即可． 【详解】解：设需租用40座的客车x辆，由题意得： 　， 解得：． ∵x为整数， ∴x最小为7． 17．小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则根据题意可列不等式为 ． 【答案】2(30-x)+5x≤100 【分析】设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，根据费用不超过100元钱即可列出不等式． 【详解】解：设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本， 根据题意得：2(30-x)+5x≤100， 故答案为：2(30-x)+5x≤100． 【点睛】题目主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键． 18．某班35名同学去春游，共收款180元，由小李去买点心，每人一包，已知有4.5元一包和7.2元一包的点心，最多能买几包7.2元一包的点心？设买x包7.2元一包的点心，根据题意，列出关于x的不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列不等式． 设买x包7.2元一包的点心，则买包4.5元一包的点心，根据费用不超过180元建立不等式即可． 【详解】解：设买x包7.2元一包的点心，则买包4.5元一包的点心， 根据题意列不等式，得：． 故答案为：． 三、解答题 19．解不等式，并把解表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据不等式的性质，先移项，再合并同类项，化系数为1求出解集，然后将解集表示在数轴上即可；本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和解集在数轴上的表示方法是解题的关键． 【详解】解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 将解集表示在数轴上如下： 20．解不等式 ，并在数轴上表示解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∴； 在数轴上表示不等式的解集如图： 21解下列一元一次不等式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先移项，然后解出答案即可； （2）先去分母，然后去括号，移项，最后解出答案即可； 【详解】（1）解： ， 解得， ∴原不等式的解集为； （2）解： ， 解得， ∴原不等式的解集为． 22．（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 【答案】（1）；1，2，3，4；（2）；，0． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，利用解一元一次不等式的一般解法即可求解，熟练掌握一元一次不等式的一般解法是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得正整数解，即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得非正整数解，即可求解；． 【详解】解：（1） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1， ∴正整数解为：1，2，3，4； （2） 去分母，得：． 去括号，得：． 移项、合并同类项，得：． 系数化为1，得． 所以不等式的非正整数解为，0． 23.某旅游团的人数不到50，在参观一个景点时购买了一张50人的团体票，结果比按实际人数购买个人票省钱．已知这个景点的个人票票价是60元/人，团体票打八折，那么这个旅游团可能有多少人？ 【答案】 41人到49人 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意得到各数量间的关系列出不等式是解题的关键． 设旅游团人数为，且n为正整数，则个人票费用为元，根据团体票费用小于个人票费用，列出不等式，结合，得到n的取值范围，再根据n为整数，即可解答． 【详解】解：设旅游团有n人，且为正整数， 则团体票费用为（元），购买个人票总费用为元， 由题意，， 解得， 又∵， ∴， ∵n为正整数， ∴，42，43，44，45，46，47，48，49； 答：这个旅游团可能有41人到49人． 24．某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小明答对道题，则小明答错题，根据总得分不低于70分建立不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对道题， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴x的最小值为15， 答：小明至少要答对15道题． 25．敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 【答案】(1)每盒A型颜料24元，每盒B型颜料16元 (2)该中学最多可以购买89盒A型颜料 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意得： ， 解得：； 答：1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为24、16元． （2）解：设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意得： ， 解得：； 答：该中学最多可以购买89盒A型颜料． 26．为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． (1)求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； (2)医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 【答案】(1)购买一台A器材需要15万元，购买一台B器材需要5万元 (2)最多购买A器材65台 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元，再结合花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等，进行列方程，解得，最后验根，即可作答． （2）先设购买A器材y台，则购买B器材台，结合购买A、B器材的总费用不高于1050万元，进行列不等式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元， 依题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一台A器材需要15万元，则购买一台B器材需要5万元． （2）解：设购买A器材y台，则购买B器材台， 依题意，得：． 解得． ∴y的最大值为65． 答：最多购买A器材65台． 为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． (1)求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； (2)医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 【答案】(1)购买一台A器材需要15万元，购买一台B器材需要5万元 (2)最多购买A器材65台 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元，再结合花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等，进行列方程，解得，最后验根，即可作答． （2）先设购买A器材y台，则购买B器材台，结合购买A、B器材的总费用不高于1050万元，进行列不等式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元， 依题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一台A器材需要15万元，则购买一台B器材需要5万元． （2）解：设购买A器材y台，则购买B器材台， 依题意，得：． 解得． ∴y的最大值为65． 答：最多购买A器材65台． 26 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $