专题15.1 不等式的性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

本讲义聚焦不等式及其性质核心知识点，系统梳理不等式的概念（含“>”“<”“≥”“≤”“≠”的识别与书写）、五条基本性质（三歧性、传递性、同加减乘除运算规律），前承等式知识，后为不等式求解奠定基础，构建从概念理解到性质应用的完整学习支架。 资料特色在于情境化题型设计（如气温范围、车速限制等实际问题）培养数学眼光，分层练习（即学即练+多变式题）发展推理意识，系统题型分类（辨析、列不等式、性质应用等）助力教师高效授课，也便于学生课后回顾强化，体现用数学语言表达现实世界的核心素养。

专题15.1 不等式及其性质 教学目标 1.理解不等式的概念，能准确识别并书写含“>”“<”“≥”“≤”“≠”的不等式，区分不等式、等式与代数式，明确不等号的含义及对应文字表述（如“≥”表示“不小于”“大于或等于”）。 2.理解掌握不等式的五条条基本性质，能结合实例验证性质的合理性。 3.能运用不等式性质对不等式进行简单变形 教学重难点 1.重点 不等式基本性质的理解与掌握； 2.难点 性质5的理解与应用，明确“乘/除同一个负数时不等号方向必须改变”这一核心规则. 知识点01 不等式的定义 用等号“=”连接的式子叫作等式，类似地，用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子，叫作不等式.不等式与等式一样，都是研究数量关系的工具. 除“>”和“<”外，不等号还有“≥”和“≤”.a≥b表示a>b或a=b,读作“a大于(或)等于b”.同样地，a≤b表示a<b或a=b,读作“a小于(或)等于b”. 【即学即练】 1.用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 2.将“a与b的差是非正数”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式及非正数的概念，解题的关键是准确理解“a与b的差”的数学表达式，以及明确“非正数”所对应的不等关系． 先确定“a与b的差”对应的数学表达式为；再明确“非正数”指的是小于或等于0的数，即满足“”的关系；最后将两者结合，写出对应的不等式． 【详解】解：“a与b的差”表示为； “非正数”是指小于或等于0的数，即满足关系“”； 因此“a与b的差是非正数”用不等式表示为． 故答案为：． 知识点02 不等式性质——三歧性和传递性 1. 不等式的性质1（实数的三歧性） 对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 2. 不等式的性质2（传递性） 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b，b<a,那么c<a；如果c≤b,b≤a,那么c≤a；如果c=b,b=a,那么c=a; 3. 三歧性和传递性的重要意义 这两个性质看似简单，实则意义重大。它们是实数排序的理论基础， 【即学即练】 1.设a>b>0，用“”或“”填空，并说明理由. （1） a____-2; （2） a-2____b-5; 【解析】；已知（、均为正数，且在数轴上位于右侧）： (1) ，而，故（传递性）； (2) ，在数轴上位于右侧，a向左移两个单位，b向左移5个单位，a仍在b的右边，故。 答案：(1)；(2)；(3) 知识点03 不等式性质——同加减、同乘除 1. 不等式性质3不等式的两边同加(或减)一个数，不等号的方向不变. 如果a>b，那么a+m>b+m，a-m>b-m. 不等式性质3是解不等式时移项法则的理论依据。 2. 不等式性质4不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b，m>0，那么am>bm， 3. 不等式性质5不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b，m<0，那么am<bm， 不等式性质④、⑤是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。 【即学即练】 1. 用不等号填空，如果，那么 （填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即可得到结果．熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2. 下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的基本性质对各选项进行计算，并作出正确的判断． 【详解】A．由，不等式两边都加上，不等号的方向不变，所以原式说法正确，故该选项符合题意； B． 由，不等式两边都乘以，不等号的方向改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； C． 由，不等式两边都乘以2，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； D．不等式两边都乘以，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 题型01 不等式的辨析 【典例1】下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键．根据不等式的定义，含有不等号（如、、、、）的式子是不等式，否则不是． 【详解】解：∵不等式需用不等号连接，而D选项“”使用等号，是等式，∴D不是不等式． 故选：D． 【变式1】下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 【变式2】2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式．当天气温的最高温度为，最低温度为，因此气温的变化范围应介于这两个温度之间，包括端点．据此即可列出不等式． 【详解】解：根据题意，得当天赫章的气温的变化范围是． 故选：D 【变式3】如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的应用，解决问题的关键是读懂图意． 根据图形就可以得到药品A的质量的范围． 【详解】解： 由第一个图可知药品A质量大于2克，由第二个图可知药品A质量小于3克，故药品A质量范围是大于2克且小于3克． 故选：C． 【变式4】某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 题型02 列不等式 【典例1】“大于的倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 【变式1】“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 【变式2】．x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3】用不等式表示“与的平方和不小于它俩积的两倍”为 【答案】 【分析】此题主要考查了列不等式，根据已知得出两数的平方和及两数的积是解题关键．实际问题抽象出不等式，根据已知表示出两数a，b的平方和，进而得出这两数的积的两倍，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式4】一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】 【分析】客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】解：根据题意，得． 题型03 用不等号表示正数、负数、非负数等 【典例1】用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查用不等式表示数学语句．需要根据语句中的关键词，如“负数”表示小于0、“比．．．大”表示大于、“不大于”表示小于或等于、“正数”表示大于0，选择正确的不等号进行表示． （1）“a是负数”意味着a小于0，即可列出不等式； （2）“x比大”意味着x大于，即可列出不等式； （3）“m与n的差”表示为，“不大于2”意味着该表达式小于或等于2，即可列出不等式； （4）“x与的差”表示为，即，“是正数”意味着该表达式大于0，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． （4）解：由题意，得，即． 【变式1】用适当的式子表示与的和是负数： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，根据题意，“和是负数”表示和小于零，列出不等式即可． 【详解】a与b的和是负数，即它们的和小于零， 所以表示为． 故答案为：． 【变式2】将“a与b的差是非正数”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式及非正数的概念，解题的关键是准确理解“a与b的差”的数学表达式，以及明确“非正数”所对应的不等关系． 先确定“a与b的差”对应的数学表达式为；再明确“非正数”指的是小于或等于0的数，即满足“”的关系；最后将两者结合，写出对应的不等式． 【详解】解：“a与b的差”表示为； “非正数”是指小于或等于0的数，即满足关系“”； 因此“a与b的差是非正数”用不等式表示为． 故答案为：． 【变式3】用不等式表示“与的差是非负数” ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“非负数”的含义以及正确表示出“与的差”． 先表示出“与的差”再根据“非负数即大于等于0”列出不等式． 【详解】解：“与的差”用代数式表示为， 非负数是指大于等于0的数， 因为“与的差是非负数”， 所以可列不等式为． 故答案为：． 【变式4】用不等式表示“的平方与的平方之差是非负数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x的平方与的平方之差是非负数”，即“x与a的平方差大于等于0”即可． 【详解】解：x的平方与的平方之差是非负数可表示为：， 故答案为：． 题型04 用不等号填空并说明理由 【典例1】已知，比较下列式子的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查不等式的性质； （1）根据不等式的性质不等号两边同时即可得到； （2）根据不等式的性质不等号两边同时即可得到． 【详解】（1）解：不等式两边同时，不等号方向不变，得； （2）解：不等式两边同时，不等号方向不变，得． 【变式1】若，比较与大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题的关键．运用不等式的性质即可求解． 【详解】解：， （不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变；， （不等式两边同时加上同一个负数，不等号的方向不变；）． 【变式2】（1）无论m为何值，是否一定有？试说明理由． （2）已知，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）一定，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质： 【详解】解：（1）无论m为何值，一定有． 理由：∵， ∴，即． （2）． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵． 【变式3】已知，用“”或“”填空，并说明依据： (1)________ (2)_________ (3)_________ (4)________ 【答案】(1)，依据是：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变； (2)，依据是：不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向不变； (3)，依据是：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变； (4)，依据是：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变； 【详解】（1）解：∵， ∴，依据是：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变； 故答案为：． （2）解：∵， ∴，依据是：不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向不变； 故答案为：． （3）解：∵， ∴，依据是：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变； 故答案为：． （4）解：∵， ∴，依据是：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变； 故答案为：． 【变式4】已知，则 比较大小：① ；② 0；③ ；④ 【答案】①＞；②＞；③＜；④＜ 【分析】根据已知的不等式关系，结合不等式的性质，可以将两个式子进行比较， 根据不等式的性质比较即可； 【详解】（1）解：①因为，根据不等式的性质，两边同时减去2，； ②因为，根据不等式的性质，两边同时减去，； ③因为，根据不等式的性质，两边同时乘以4，，所以； ④因为，根据不等式的性质，两边同时除以，． 故答案为：①＞；②＞；③＜；④＜； 题型05 判断不等式变形是否正确 【典例1】若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；乘或除同一个正数，不等号方向不变；乘或除同一个负数，不等号方向改变，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴与的大小关系不确定，故该选项不符合题意； B、∵，∴，∴，故该选项符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故该选项不符合题意； 故选：B 【变式1】下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； B、当时，，则， 当时，， ∴若，则（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 综上，此项不一定成立，符合题意； C、若，则（不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； D、若，则（不等式两边加上同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 【变式4】仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 题型06 根据不等式的变形写出参数字母的取值范围 【典例1】如果不等式通过变形能得到，则必须满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，先根据不等式的解集为，且不等式两边同时乘上负数或者除以负数，不等式的符号改变，进行作答即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】由不等式变形能得到，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题不等号方向不变，所以知道大于． 【详解】解：因为不等式的解集为， 两边同时除以时不等号的方向没有变， ． 故选：A． 【变式2】若，且，则a的值不可能是（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个数，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质求出a的取值范围，进而判断即可． 【详解】∵，， ∴， 只有D不在范围内， 故选：D． 【变式3】已知，是否一定有？请说明理由． 【答案】不一定有，理由见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：不一定有，理由如下： ①当时，； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴． 【变式4】无论x为何值，是否一定有？请说明理由． 【答案】一定有，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，因为，再根据不等式的两边加上同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即可得结论． 【详解】解：无论x为何值，一定有， 理由如下： ∵， ∴， ∴无论x为何值，一定有． 题型07 根据不等式的性质将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式 【典例1】根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，注意不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）不等式两边先同时加1，然后不等式两边同时除以2即可； （2）不等式两边同时除以即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】将下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查不等式的性质，掌握性质是解决问题的关键． （1）不等式两边同时减去即可, （2）不等式两边同时乘即可, （3）不等式两边同时减去，整理后不等式两边同时除以4即可． 【详解】（1）解：不等式两边同时减去，解得； （2）不等式两边同时乘， 得， 整理得：； （3）不等式两边同时减去， 得， 整理得， 不等式两边同时除以4，得． 【变式2】根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 【详解】（1）解：， ，即， ，即． （2）解：， ，即， ，即， ，即． 【变式3】根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． ； 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； 先两边同减去，再两边同加上3，由此即可得； 【详解】解：， ，即， ，即． 【变式4】根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 一、单选题 1．如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：）表示汽车的速度，则v应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，根据题意列不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 2．给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】依据不等式的定义（用不等号表示不相等关系的式子），对每个式子逐一判断是否为不等式．本题主要考查不等式的定义，明确不等式是用不等号（、、、、 等）表示不等关系的式子，熟练掌握该定义是判断式子是否为不等式的关键． 【详解】解：判断①：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断②：，用“”表示相等关系，是等式，不是不等式． 判断③：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断④：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 综上，①③④是不等式，共个， 故选 C ． 3. 用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 4. 如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、由，可得，原式错误，不符合题意； B、由，可得，原式错误，不符合题意； C、当时，则，原式错误，不符合题意； D、由，可得，原式正确，符合题意； 故选：D． 5．由到，成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：1、不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；2、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：根据不等式的性质2，由得到的条件是：． 故选：C． 6．若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．根据不等式的性质3求解即可，注意时也成立． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 故选：D． 7．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a，b，c的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判断，，的正负及知识点的应用． 【详解】由数轴可得，，， A、，原选项判断错误，不符合题意， B、，原选项判断正确，符合题意， C、，原选项判断错误，不符合题意， D、，原选项判断错误，不符合题意， 故选：B． 8. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（式子），不等号的方向不变．不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若， 若，则，故选项A不一定成立，不符合题意， 若，则，故选项B不一定成立，不符合题意， 若，，故选项C不一定成立，不符合题意， ∵，∴，∴，选项D一定成立，符合题意， 故选：D． 二、填空题 9．用不等式表示：“不大于”是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“不大于”对应“”，即可列出不等式． 【详解】解：根据不大于， 列不等式为：， 故答案为：． 10．语句“与的和是非负数”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次不等式，正确理解题意是解题关键．根据和运算、非负数的定义：大于或等于0的数，列出不等式即可得． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 11. 若，则 （填“”或“”号）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键． 根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12．若，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴不等式两边加上7可得， 故答案为：． 13．将不等式化为“”或“”的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变这一性质来求解． 利用不等式的基本性质，将不等式两边同时除以3，从而将其化为的形式． 【详解】对于不等式，根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， 在不等式两边同时除以3，即，计算可得． 故答案为：． 14．如果，则 ．（填或） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴（不等式的两边同乘以，不等号的方向改变）， ∴（不等式的两边同减去1，不等号的方向不变）， 故答案为：． 15．利用不等式的性质，填空．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的两边同乘同一个负数，不等号的方向发生改变解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题 16．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴．② ∴．③ (1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握不等式的基本性质． （1）根据不等式的基本性质求解； （2）利用不等式的基本性质求解． 【详解】（1）解：根据不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，可得上述解题过程中，从步骤②开始出现错误， 故答案为：②； （2）∵， ∴． ∴． 17. 设，用不等号连接下列各题中的两个代数式． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确理解掌握不等式的性质是解题的关键． （1）运用不等式的性质1即可求解； （2）运用不等式的性质1即可求解； （3）运用不等式的性质3即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）， ； （3）， ． 18．将下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查不等式的性质，掌握性质是解决问题的关键． （1）不等式两边同时减去即可, （2）不等式两边同时乘即可, （3）不等式两边同时减去，整理后不等式两边同时除以4即可． 【详解】（1）解：不等式两边同时减去，解得； （2）不等式两边同时乘， 得， 整理得：； （3）不等式两边同时减去， 得， 整理得， 不等式两边同时除以4，得． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1 不等式及其性质 教学目标 1.理解不等式的概念，能准确识别并书写含“>”“<”“≥”“≤”“≠”的不等式，区分不等式、等式与代数式，明确不等号的含义及对应文字表述（如“≥”表示“不小于”“大于或等于”）。 2.理解掌握不等式的五条条基本性质，能结合实例验证性质的合理性。 3.能运用不等式性质对不等式进行简单变形 教学重难点 1.重点 不等式基本性质的理解与掌握； 2.难点 性质5的理解与应用，明确“乘/除同一个负数时不等号方向必须改变”这一核心规则. 知识点01 不等式的定义 用等号“=”连接的式子叫作等式，类似地，用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子，叫作不等式.不等式与等式一样，都是研究数量关系的工具. 除“>”和“<”外，不等号还有“≥”和“≤”.a≥b表示_____或_____,读作“a大于(或)等于b”.同样地，a≤b表示_____或_____,读作“a小于(或)等于b”. 【即学即练】 1. 用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 2. 将“a与b的差是非正数”用不等式表示为 ． 知识点02 不等式性质——三歧性和传递性 1. 不等式的性质1（实数的三歧性） 对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 2. 不等式的性质2（传递性） 如果a>b,b>c,那么_____. 拓展：如果c<b，b<a,那么c<a；如果c≤b,b≤a,那么_____；如果c=b,b=a,那么_____; 3. 三歧性和传递性的重要意义 这两个性质看似简单，实则意义重大，它们是实数排序和比较大小的理论基础， 【即学即练】 1.设a>b>0，用“”或“”填空，并说明理由. （1） a____-2; （2） a-2____b-5; 知识点03 不等式性质——同加减、同乘除 1. 不等式性质3不等式的两边同加(或减)一个数，不等号的方向不变. 如果a>b，那么a+m>b+m，a-m>b-m. 不等式性质3是解不等式时移项法则的理论依据。 2. 不等式性质4不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b，m>0，那么am>bm， 3. 不等式性质5不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b，m<0，那么am<bm， 不等式性质④、⑤是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。 【即学即练】 1. 用不等号填空，如果，那么 （填“＞”或“＜”） 2. 下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 题型01 不等式的辨析 【典例1】下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【变式3】如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 【变式4】某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 题型02 列不等式 【典例1】“大于的倍”用不等式表示为： ． 【变式1】“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 【变式2】．x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【变式3】用不等式表示“与的平方和不小于它俩积的两倍”为 【变式4】一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 题型03 用不等号表示正数、负数、非负数等 【典例1】用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【变式1】用适当的式子表示与的和是负数： ． 【变式2】将“a与b的差是非正数”用不等式表示为 ． 【变式3】用不等式表示“与的差是非负数” ． 【变式4】用不等式表示“的平方与的平方之差是非负数”为 ． 题型04 用不等号填空并说明理由 【典例1】已知，比较下列式子的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【变式1】若，比较与大小，并说明理由． 【变式2】（1）无论m为何值，是否一定有？试说明理由． （2）已知，试比较与的大小，并说明理由． 【变式3】已知，用“”或“”填空，并说明依据： (1)________ (2)_________ (3)_________ (4)________ 【变式4】已知，则 比较大小：① ；② 0；③ ；④ 题型05 判断不等式变形是否正确 【典例1】若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【变式4】仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 题型06 根据不等式的变形写出参数字母的取值范围 【典例1】如果不等式通过变形能得到，则必须满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】由不等式变形能得到，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【变式2】若，且，则a的值不可能是（　　） A．0 B． C． D．2 【变式3】已知，是否一定有？请说明理由． 【变式4】无论x为何值，是否一定有？请说明理由． 题型07 根据不等式的性质将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式 【典例1】根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1) (2) 【变式1】将下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)． 【变式2】根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)． 【变式3】根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． ； 【变式4】根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 一、单选题 1．如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：）表示汽车的速度，则v应满足（   ） A． B． C． D． 2．给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 4. 如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．由到，成立的条件是（   ） A． B． C． D． 6．若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．用不等式表示：“不大于”是 ． 10．语句“与的和是非负数”用不等式表示为： ． 11. 若，则 （填“”或“”号）． 12．若，则 ．（填“>”“<”或“=”） 13．将不等式化为“”或“”的形式为 ． 14．如果，则 ．（填或） 15．利用不等式的性质，填空．若，，则 ． 三、解答题 16．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴．② ∴．③ (1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的解题过程． 17. 设，用不等号连接下列各题中的两个代数式． (1)，； (2)，； (3)，． 18．将下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $