黑龙江省大庆实验中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

大庆实验中学2024级高二上学期期末考试 数学学科试题 说明：1请将答案填涂在答题卡的指定区域内。 2.满分150分，考试时间120分钟。 一、单项选择题（本题型共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知正项等比数列{a}满足4,41=9，则a7=() A.±3 B.3 C.1 D.-3 2.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是() A.f(x)在区间(-1,1)上单调递增 B.'(x)在区间(-1,1)上单调递减 C.f(x)在x=1处取得极大值 D."(x)在x=1处取得极大值 3.已知函数f)=。+fo)k2+-2)(其中f(田是f()的导函数)，则f0=（) A.e+2 B.e+3 C.e-2 D.e-3 4.已知函数f(x)=e-ax+b(a,bER),g(x)=x2+x,若这两个函数的图象在公共点A(1,2) 处有相同的切线，则a+b的值为() A.e-4 B.e+2 C.e D.e2 2a 5.已知数列a}满足a,13a,且4=2，则ag=（） 512 513 C. 256 255 A. B. D. 511 512 257 256 6.直线y=b分别与直线y=2x+1和曲线y=lnx相交于点A,B,则|AB|的最小值为() A.1-In2 B.1+In2 C.1+-ln2 D.1-2in2 2 7.已知可导函数(y的导函数为∫)，若对任意的x∈R,都有f)<(四+1，且函数 2 第1页 y=f(x+1)+2026e2+x-1为奇函数，则不等式f(x)+2026e2<1的解集为() A.(1,+o) B.(0,+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，1) 8.已知函数g(x)=e2-x-lnr,(其中e是自然对数的底数)，若g(x)≥1在x∈(0，+w)上恒成立， 则实数m的取值范围是() A.（-∞，1] B.(-∞，e]C.(-o,ln2] D.(-∞，2] 二、多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分) 椭圆T二+八三1占双曲线Σ8y-1有相同的焦点，乃，稀圆T长轴两端点分 A,A,P为椭圆T上异于A,A,的任意一点，则下列结论中正确的有() A.λ=25 B.直线P4与直线PA,的斜率之积4=) 16 c.PPF引的最大值为25 D.当△PF1F2的面积取得最大值时，APFF2的内切圆半径为 10.已知数列{a},b}均为等差数列，记数列{a},地}的前n项和分别为Sn,I,下列说法中 正确的有() A.若a42+b2=7,a+b。=11,则4+b=9 S=n+1 品若宁则%=器 C.若S,=S,=6,则S2的值为6 D.若g-=2,则杨，}的公差为2 97 11.已知函数f(x)=e-x,g(x)=x-lnx,直线y=a与两条曲线y=f(x)和y=8(x)相交，则下列 说法正确的是() A.若共有两个不同公共点(，)、（x2,y),则a=1 共2页 B.若共有有三个不同交点(5，)、(x2,2)、(x3,y,),且x1<x2<x3,则x1+x3=2x2 C.若共有三个不同交点(，片)、(：，乃)、(，)，且x1<x2<3,则x1x3=x吃 D.若共有四个不同交点(G,)、(化y)、(3,y小、（化，y),x<x,<飞<x,则+的值为1 X2+x3 三、填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图所示点F是抛物线y2=4x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=4x及圆(x-1)2+y2=4的实 线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是， 1 23 345 4567 nn+1..2n-2 2n-1 13.如上图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为1的 等差数列和一个公差为2的等差数列，每一行是一个公差为1的等差数列.我们把这个数阵的所有 数从上到下，从左到右依次构成一个数列{a}:1,2,3,3,4,5,4,5,6,7,…，则ao=一 14.己知数a列{a},b}满足a=2,b=1，a+1=4an+2bn+5,bn+1=2an+4b,neN, 且数列{a},{b}的前n项和分别是Sn,I.,则Sn-2Tn= 四、解答题（本题型共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是各项均为正数的等比数列，b,=8, b-3b,=4,4=b4,3a-a=b, (1)求Sn的表达式； 1 (2)求数列 S 的前n项和Tn 第2页 16.(15分)已知函数f(-2-(a+1)x+alnx,aeR. (1)若a=-1,求函数f(x)的极值： (2)讨论函数∫(x)的单调性： (3)若函数y=f(x)+(a+1)x的最小值为0，求a的值 只a5分)航圆8：善+芳1a>b>0过点 V25 2’2 离心率为 2 .过原点的直线l交椭圆于 A,B两点，点C,D在椭圆E上，且满足AB=2CD,设直线AC与BD交于点R (1)求椭圆E的方程： (2)求F点的轨迹方程： (3)设直线AB与F点的轨迹交于M,W两点，求证：△MNF的面积为定值， 18.(17分)已知在正项数列{a}中，a=1且VSn+VSn-1=a.≥2n∈N),其中Sn为数列{a}的 前n项和 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设cn=(1)a(2),1,求数列{cn}的前n项和T. 园若≥9r,110对于咖cN恒废立，求的取值花国 19.(17分)已知函数f(x)=e2x-2xe-1,g(x)=e-2ax(e+11(a>0) (1)证明：Vx∈[0，+o)f(x)≥0 (2)若Hx∈[0，+o),g(r)≤0，求a的取值范围. (3)证明：1.08<n3<1.12.(参考数据：取√6=2.45，√2=1.414) 共2页大庆实验中学2024级高二上学期期末考试 数学学科参考答案 一.单选题 1 2 3 4 6 7 8 B D B A C C D D 8.【详解】要使g(x)≥1在x∈(0，+∞)上恒成立， 等价于m≤e2x- nv+1在xe(0,+o)上恒成立. 令n(x)=e2-血+(x>0),则只需m≤[hx】即可。 W)= r2 令H(r)=2re2+lnx(x>0),则H'(x)=42+x)e2+1>0, 所以的作0)上单对溢游，又g分)点咖20,0)-2>0. 所以H(x)有唯一零点。，且4<x,<1,h(x)在(0,6)上单调递减，在(，+o)上单调递增. 因为2xe2o+nx,=0,所以2xe2=-nx, 两边同时取自然对数，则有2x,+ln(2x)+h6=n(-lnx), 即2x。+ln(2x)=ln(-lhnx)-nx. 构造函数s()=+l血x(x>0),则s'(x)=1+1>0, 1 所以函数s(x)在(0，+∞)上单调递增，又s(2x)=s(-hx), 即2x,=-lnx,即e2%=1 即h(N。=hak)=c血，+1-L2+1-2. Xoxo xo 于是实数m的取值范围是(-0,2]， 二.多选题 9 10 11 ACD ABD ABD 11.【详解】由函数f(x)=e-x,可得f'(x)=e-1, 当x∈(-w,0)时，可得f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(0，+w)时，可得∫'(x)>0,∫(x)单调递增； 又由8()=x-lnxx>0,可得g(y)=1-1-x-1 当x∈(0,1)时，可得g(x)<0,g(x)单调递减： 当x∈1，+w)时，可得g'(x)>0,g(x)单调递增， 画出函数y=f(x),y=g(x)和y=a的图象，如图所示， y=f(x) y=g(x) y=a x Ox龙 X4 由图像可知A正确，对于B,C选项，可得 e"=e':x=xx=chx:n-In=efs)nx 则有名=血，=血，X十名=e+n飞=名+元=2X,放B正确，C错误。 对于D,可得e-x=e:-x2=x,-x3=x4-hx4或e5-x=e-x3=x2-lnx2=x4-lnx4, 可得x+x4=e+hx, -Inx =eh:-In2,-In ehs -n:-n=e"s-Inx, ①当e-x,=e-x2=x,-lnx,=x,-hx,时， 即e-x=e-X=e9-n5=e-nx,可得x=lh,,=h,即e=x, 所以+x=e+x=x+,所以十立=1 X3+x2 ②又由e1-x=e-x=e-nX=e4-lnx,可得x1=hnx2,x3=lnx4,即e=x2, 所以x+x,=c+血x=X+,所以=1，综上可得：高十=1，D正确 X3+X2 X3+X2 故选：ABD. 三.填空题 12.(4,6) 13.1414.S-27=9.2-26-7m43 5 5 14.解：因为数列{a},{b}满足a=2,b=1，am+1=4an+2bm+5,bn+1=2a+4bm: 所以两式相加得a4+b=6(a+b)+5即ah+b4+1=6a+b.+1)）:所以数列 {a,+b,+1}是以4为首项，以6为公比的等比数列， 所以a.+6+1=4×6,即a+h=46-1 两式相减得a1-b1=2a-b,)+5即a4b+5=2a,-b+5)所以a-b+5}是以 6为首项，以2为公比的等比数列，所以a-b+7=6×21,即a-b=621-5 所以a=261+32-3’b=2.61-321+2' 则 双-号682-胃 5 工-6-3x-x9双-x-92名6-m发 13,则 5 四、解答题 15.(13分)己知等差数列{a}的前n项和为Sn,b}是各项均为正数的等比数列，b2=8, b-3b=4,4=b,34-4=b2, (1)求S的表达式： (2)求数列 S 的前n项和Tn 【答案18a+Z号》 84n+1n+2 【详解】(1)设等比数列b}的公比为9，等差数列{a}的公差为d, 由6=8-动4，则的-=则号34，解得g片或=号<合， 则4-哥16，所以a=16日”，则4=6=2 1 由3a-a=b,可得3(a+2d-(a+3d=8,化简得2m+3d=8,代入a=2得d= 3 所以8=2+-》x42+3: 233 a安da =传品品） 时点) 16.(15分)已知函数f6)=子-(a+1)r+alx.acR.. (1)若a=-1,求函数f(x)的极值： (2)讨论函数∫(x)的单调性： (3)若函数y=(x)+(a+1)x的最小值为0，求a的值. 【答案】af()有极小值10)-无极大值：（②答案见详解：）-e 【详解】1)当a=-1时，x)--xx>0,则f)=x-1-+, xx 当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0, 所以，∫(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以，当x=1时，f(y有极小值f)号，无极大值。 (2)rw)=x-a+l+g-a+1r+a--a长>0) 若a≤0，则x∈(0,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1，+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增； 若0<a<1,则xe(0,a)时f'(x)>0,f(x)单调递增， x∈(a,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1，+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增： 若a=1,则x∈(0，+∞)时f'(x)≥0，f(x)单调递增： 若a>1,则x∈(0,1)时f'(x)>0,f(x)单调递增，x∈(1，a)时f'(x)<0,f(x)单调递减， x∈(a,+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增 (3))-f()+(a+1)-+dm. i(y)=x++,(x>0), 当a≥0时，1(x)≥0，函数h(x)在(0，+o)上单调递增，故无最小值 所以a<0,由h(x)=0得x=√-a, 所以x∈(0，√-a时h'(x)<0,h(x)单调递减，xe(N-a,+∞)时'(x)>0,h(x)单调递增， 所以=ha)=a+da=0, 所以n(-a)=l,a=-e, 5分)前网：手+若=a>办>0过点 2’2 离心率为2过原点的直线1交 椭圆于A,B两点，点C,D在椭圆E上，且满足AB=2CD,设直线AC与BD交于点F (1)求椭圆E的方程： (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线AB与F点的轨迹交于M,N两点，求证：△MNF的面积为定值。 【答案】a子+y-12后+号-1B证明见解析 V2 3 2 2 2 【详解】(1)由题意得 a b2 =1,解得 a=√5 b=1 √-b √2 2 所以椭圆B的方程为号+y广=1， 2 (2》由愿意设45，），B(-5,y),则号+=10 2 ,AB=2CD,直线AC与BD交于点F .C,D分别是AF、BF的中点，设F(,) 则，兰 :C,D在椭圆B:+y=1上， 2 +。 -1+x。 2 学 +x。 整理得兰+苦++=4 22 将①代入，得三+好=3，即兰+兰=1 63 所以P点的轨迹方程为。+兰=1. 63 （3)若直线的斜率不存在.则MQ,,.vQ-rE60则=25， s-2Mw0s-x25x6-35 若直线l的斜率存在，设：y=x 设M(x2,2),A(5,),F(x,),则y=x, + 12 由(2)知 2 2 ②国整理，得5=-2y,“k=1=-高 x2,y 由。得19·-2042后g-2G-=20+8 -=1 y=- F(化，6)到直线1：y=的距离d=。- V1+k2 .s臣货2到年 6 6 :丝+5=1，x+2=6 63 S FMN 12x+2 V号+22y, 所以△MNF的面积Sw=32为定值. 解法二：若直线1的斜率不存在，则MQ),NO-PN6.0则-25， ao-25x6=35 S FAN= 若直线l的斜率存在，设：y=x x+y 设Mg,g).A5,y).由。+51得5=6 y=hx 1+2,所以 6 =20M=2+g=2号+k写=21+k\1+2E 设直线CD的方程为y=+b y=kx 联立方程组 2 +y=1 得x2= 1+2k2 2 y=kx+b 联立方程组 2+y= 得x2+2(+b)2=2即1+2k2)x2+4x+(2b-2)=0 △=16k2b2-41+2k2)(2b2-2)>0即4k2-2b2+2>0 由IAB1=2ICDL,|xA4曰x2-xD|,AB与CD间的距离为b V1+2 142F=(化+x)P-4,-442-262间 2 462=3(1+2k2),符合△>0 1+2k2)2 6 2bL=32 sw-w1d-++22 18.(17分)已知在正项数列{a,}中，a=1且√S,+S1=a,m≥2neN),其中S为数 列{a}的前n项和. (1)求数列{a}的通项公式： (2)设cn=(-1)a(2)1,求数列{c}的前n项和T· B若≥S7,+10对于V咖∈N恒成立，求入的取值范围. 【答案】aa=2-1g=9g(g3层+回) 【详解】(1)在数列{a}中，Sn-Sn1=a（n≥2，neN)①， 又因为VS。+VS-1=a≥2neN)②，a.>0, 所以①÷②，得VSn-VSn-1=11≥2,1∈N), 又因为VS=√a=1,所以数列{S}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以VSn=1+(n-1)=n,所以Sn=n2 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2-(0n-1)2=2n-1, 当n=1时，4=1，也满足上式，所以数列{a}的通项公式为a.=2n-1, (2)由(1)知a,=21-1,所以c.=(-1)a1(W2):1=(-1)(2+10(2)2=(2n+1(-2)”. 所以T=3×(-2)+5×(-2)2+7×(-2)3+…+(2n+1)(2).③ -2T,=3×(-2)2+5×(2)3+7×(2)4+…+(2n+10(-2)+1.④ ③-④，得3Tn=3×(-2)+2×(2)+2×(←2)3+.+2×(-2)”-(2n+1)(-2)+ =-2+2× -2×[1-(-2y] -0+1-2-106+5（-2y* 1-(←-2) 3 3 所以T=10_6m+5(-2》1 99 (3)电2≥197.+10悔兴≥(6n+5)2 n 原式可化为)≥6+5n恒成立，令gn)6m2+5n 2n+1 2n+1, 则g(m)-g(+1）=6m245m-6u+2+56+D.6n2-7m-1 2n+1 2n+2 2n+2 可知g(1)<g(2)<g3)>g(4>g(5)>.… 故入≥93)=器即的取值范围是[铝，+). 19.(17分)已知函数f(x)=e2x-2xe-1,g(x)=e-2cx(e+11(a>0) (1)证明：∈[0，+o),f(x)≥0. (2)若x∈[0，+∞)，g(x)≤0，求a的取值范围 (3)证明：1.08<n3<1.12:(参考数据：取V6=2.45,5=1.414) 1 【答案】1)证明见解析(24+∞3)证明见解析 【详解】(1)证明：f'(x)=2e2-2e*-2xe=2e(e-x-1) 设p)=e-1-xk之0）则p)=e-1≥0，所以p(9在R上单调递增， 所以m(y≥p(0)=0,x[0,+0）所以f(x)在[0，+o)上单调递增，所以f(四之f(0)=0. 2》解：xe0+g()s0等价于Vx∈0+j),g2ms0. ’e+1 设(x)=e12a:则)=2 -2a= 2 e*+e+2 2a, e+1 (e+12 令m(x)=e+ex+2,则m(x)=e*-ex,又m'(0)=0, 在区间(0，+o)上m(x)>0,则函数(x)单调递增，进而m(x)≥m(0)=4, 所以h(x)在[O,+o)上单调递减. 当2a即≥}时，皮o)-}2a≤0，则a()在[0+o)上单调递减， 又因为h(0)=0,所以h(x)≤0恒成立. 所以0加日儿(=0，则（在@）上单调造指， 则当x∈(05)时，h(y)≥(0)=0，这与x∈[0，+o),hy)s0矛盾，则0<a<不符合题意. 综上，a的取位充目为[子 (3)证明：对于f(x)=e2-2e-1,令=血√ 0:5-10 222 36 所以n三< ≈0.4083<0.41. 26 令x=nV2>0得2-2in2-1>0,所以n2< 2 =0.707<0.71. 由(2)知，当a=子时，x[0+oj.e-e+-1s0, 令x=m>0,得 三n1<0,所以号<h3: 3 41 2 他可以取x=层可得出bn号20-ANG=04到 令x=ln√2>0：得lnW2>23-2W2),所以ln2>12-8W2=0.688. 所以0.4<h<04L,0688<n2<071 3 所以0.4+0.688<1n-+1n2<0.41+0.71, 2 所以1.08<n3<1.12