5.4 角平分线的性质（1） 教学设计 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

分课时教学设计 《5.4.1角平分线的性质》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《角平分线的性质》是湘教版八年级上册第5章《直角三角形》的第四节第一课时的内容。“角平分线的性质”是初中几何中“图形性质与判定”逻辑体系的关键课例，承接全等三角形的判定方法，既是对全等知识的实践应用，也为后续线段垂直平分线、轴对称图形等内容奠定思维基础——它以“性质+逆定理”的结构，呈现了几何中“从图形特征抽象性质、以性质推导判定”的核心逻辑，同时为后续几何证明、距离相关计算提供了实用工具，是连接直观图形与抽象推理的重要纽带。 学习者分析 学生已掌握全等三角形的判定方法，能识别角平分线的图形特征，但对 “性质（点在角平分线上→到两边距离相等）”与“逆定理（到两边距离相等→点在角平分线上）” 的互逆逻辑易混淆，且常忽略“距离需垂直”的细节；同时初中生更易接受直观操作类学习，抽象逻辑推理需借助具体活动逐步引导，需在教学中兼顾直观感知与逻辑严谨性的平衡。 教学目标 1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。 3.感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。 教学重点 角平分线的性质定理及逆定理的内容、证明与初步应用。 教学难点 理解性质与逆定理的互逆关系，准确运用定理时把握 “距离是垂直距离”的条件。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 【回顾】什么是角平分线？ 角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线, ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB. 学生活动1： 复习回顾 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：角平分线的性质定理 【探究】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 教师提问：你有什么方法进行比较？ 教师讲授：1.若将∠AOB沿角平分线OC折叠，则可以发现点D与点E重合，因而 PD与PE重合，即PD=PE. 2.利用圆规，比较它们的长度，也可以发现PD=PE. 猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB . 求证：PD=PE. 证明：因为OC是∠AOB的角平分线，所以. 因为PD⊥OA，PE⊥OB ，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO ≌ △PEO（AAS）. 因此PD=PE. 【归纳】角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴PD=PE. 探究二：角平分线的性质定理的逆定理 【思考】角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 教师提问：判断命题的真假应该用什么方法？ 教师提问：几何题没有图案应该怎么办？ 【作图】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC. 【证明】已知：点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. 求证：OC是∠AOB的角平分线. 证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）， 从而∠AOC=∠BOC. 因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 【归纳】角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言 ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴ 点P在∠AOB的角平分线上. 学生活动2： 认真思考，举手回答问题 认真听讲，提出猜测 运用已学知识进行证明 认真听讲 认真听讲，了解角平分线的性质定理 写出逆命题 回顾判断命题真假的方法 认真思考，尝试作图 运用已学知识进行证明 认真听讲 学生认真听讲，了解角平分线的性质定理的逆定理 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。 环节三：例题精讲 教师活动3： 例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. 求证：（1）点B在∠ADC的平分线上； （2）BD平分∠ABC. 证明：（1） 在△ABC中， 因为∠1=∠2， 所以BA=BC. 又BA⊥AD，BC⊥CD， 所以点B在∠ADC的平分线上. （2）在Rt△BAD和Rt△BCD中， 所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）. 因此∠ABD=∠CBD， 从而BD平分∠ABC. 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是(　　) A．12　　　　B．15　　　　C．18　　　　D．24 2.如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A．　　　　B．2　　　　C．3　　　　D． 3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为(　　) A．3　　　　B．2　　　　C．　　　　D． 选做题： 4.如图，中，平分，则的面积是　 　. 5.如图，点P是平分线上一点，，垂足分别是E和F，若，则　 　． 6.如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为　 　． 【综合拓展类作业】 7.如图所示，在中，平分，是高线，，，求的度数． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点,过点O作OD⊥BC,垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　） A．8.5　　　　B．15　　　　C．17　　　　D．34 2.如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A．①②③　　　　B．①②　　　　C．②③　　　　D．①③ 3.如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为　 　． 【综合拓展类作业】 4.如图，在中，是它的角平分线，，，． （1）求与的面积之比； （2）求的长． 教学反思 本节教学中，通过实例引导学生观察角平分线上点的距离特征，帮助学生较快理解了性质定理的核心，同时对比性质与逆定理的题设和结论，让学生初步理清了两者的逻辑关系，但仍有不足：部分学生应用定理时依旧遗漏 “垂直” 这一关键条件，后续需增加辨析类题目强化细节；逆定理的应用场景拓展不足，可补充 “确定角内到两边距离相等的点” 的实际问题，让知识更贴近生活，提升学生的应用意识。 学科网（北京）股份有限公司 $