专题7.1 不等式及其基本性质（举一反三讲义）数学新教材沪科版七年级下册

本讲义聚焦不等式及其基本性质核心知识点，从不等关系与不等号入手，梳理列不等式方法，明确不等式的解与解集概念及两种表示形式，最终落脚于不等式的基本性质，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以9类典型题型为载体，例题与变式结合，融入交通限速、饮料标签等生活实例培养模型意识，通过数轴表示解集发展几何直观，证明题提升推理意识。课中助力分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题7.1 不等式及其基本性质（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 【题型1 不等式的定义】 3 【题型2 取值是否满足不等式】 3 【题型3 根据实际问题列出不等式】 4 【题型4 根据不等式的基本性质判断正误】 4 【题型5 不等式的基本性质在数轴上的应用】 5 【题型6 根据不等式的基本性质比较大小】 5 【题型7 根据不等式的解集求取值范围】 6 【题型8 根据不等式的基本性质求最值】 6 【题型9 利用不等式的基本性质证明不等式】 6 知识点1 不等式概念 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 知识点2 列不等式 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 知识点3 不等式的解与解集 1. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2. 不等式的解集 一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式． 4. 不等式的解与不等式的解集的区别 对不等式的“解”和“解集”可以从以下三个方面去理解： （1）不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． （2）不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解． （3）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个元素． 知识点4 不等式解集的两种表示方法 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式的解集 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 知识点5 不等式的基本性质1 ，，这个性质也叫作不等式的传递性. 知识点6 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或． 其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 知识点7 不等式的基本性质3 1. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 【题型1 不等式的定义】 【例1】（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）请举出一个生活中不等关系的实例： ． 【变式1-2】饮料标签上标有“脂肪含量”，该式表示的含义是 ． 【变式1-3】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 取值是否满足不等式】 【例2】（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列各数中，是不等式的解的是（   ） A．1 B．2 C． D．4 【变式2-3】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【题型3 根据实际问题列出不等式】 【例3】（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）“与5的差大于4”用不等式表示为 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件： ． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 【变式3-3】一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完”，若每次服用这种药的剂量为，则x的取值范围是 ． 【题型4 根据不等式的基本性质判断正误】 【例4】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知三个数a，b，c满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列说法中，一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式4-2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-3】已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四名同学有如下结论 甲：若，则；乙：若，则； 丙：若，则；丁：若，则． 这四位同学的结论正确的是（  ） A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．丙丁 【题型5 不等式的基本性质在数轴上的应用】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·四川达州·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则 （填“>”、“”或“”）． 【变式5-3】已知有理数a，b的和即与差即在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果为 ． 【题型6 根据不等式的基本性质比较大小】 【例6】数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）如图，三人A，B，C分别坐在质地均匀且到中心点距离相等的跷跷板上，体重分别记作a，b，c，则a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】比较大小：当实数时， （填“”或“”）． 【题型7 根据不等式的解集求取值范围】 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】若关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数． （1）a的取值范围为 ． （2）若，，则的取值范围为 ． 【题型8 根据不等式的基本性质求最值】 【例8】非负数满足，记最大值为，最小值为，则等于（       ） A．7 B．16 C．20 D．21 【变式8-1】设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 【变式8-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）若，，，则的最小值是 ． 【变式8-3】已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，则a﹣3b+c的最小值为 ． 【题型9 利用不等式的基本性质证明不等式】 【例9】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【变式9-1】求证：如果，那么． 【变式9-2】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 【变式9-3】阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 (1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． (2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 不等式及其基本性质（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 【题型1 不等式的定义】 3 【题型2 取值是否满足不等式】 4 【题型3 根据实际问题列出不等式】 5 【题型4 根据不等式的基本性质判断正误】 7 【题型5 不等式的基本性质在数轴上的应用】 10 【题型6 根据不等式的基本性质比较大小】 12 【题型7 根据不等式的解集求取值范围】 13 【题型8 根据不等式的基本性质求最值】 15 【题型9 利用不等式的基本性质证明不等式】 17 知识点1 不等式概念 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 知识点2 列不等式 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 知识点3 不等式的解与解集 1. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2. 不等式的解集 一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式． 4. 不等式的解与不等式的解集的区别 对不等式的“解”和“解集”可以从以下三个方面去理解： （1）不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． （2）不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解． （3）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个元素． 知识点4 不等式解集的两种表示方法 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式的解集 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 知识点5 不等式的基本性质1 ，，这个性质也叫作不等式的传递性. 知识点6 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或． 其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 知识点7 不等式的基本性质3 1. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 【题型1 不等式的定义】 【例1】（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）请举出一个生活中不等关系的实例： ． 【答案】太阳的质量大于地球的质量 【分析】此题考查了不等关系，根据不等关系，举例即可． 【详解】解：根据题意得， 可以举例为：太阳的质量大于地球的质量． 故答案为：太阳的质量大于地球的质量． 【变式1-2】饮料标签上标有“脂肪含量”，该式表示的含义是 ． 【答案】脂肪含量不超过 【分析】本题考查了不等式在生活中的应用；根据不等式的含义即可完成． 【详解】解：“脂肪含量”表示：脂肪含量不超过； 故答案为：脂肪含量不超过． 【变式1-3】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用不等式表示，根据图示可知车速不低于60，不超过120，再用不等号连接即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 【题型2 取值是否满足不等式】 【例2】（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得． 【详解】解：由，3均小于3可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列各数中，是不等式的解的是（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解，解题的关键是正确求出不等式的解集．先求得不等式的解集，再从选项中选择符合不等式的解，即可求解． 【详解】解： ∴ 四个选项中只有， 故选：A． 【变式2-3】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 【题型3 根据实际问题列出不等式】 【例3】（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）“与5的差大于4”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式，正确理解题意是解题关键． 直接利用减去5大于4即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件： ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． （1）a的5倍加上b表示为，小于2表示为，进而可得出； （2）m的与n的的和表示为，非负数表示为，进而可得出； （3）x的2倍减去x的表示为，不大于11表示为，进而可列出． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：； （3）解：根据题意得：． 【变式3-3】一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完”，若每次服用这种药的剂量为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的定义．确定每天服用，2次或3次每次的剂量；每天服用，2次或3次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量确定范围即可． 【详解】解：由题意，每日用量，分次服完， 则，， ，， 若每天服用2次，则所需剂量为之间， 若每天服用3次，则所需剂量为之间， 故一次服用这种药的剂量为之间． 则的取值范围是：． 故答案为：． 【题型4 根据不等式的基本性质判断正误】 【例4】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知三个数a，b，c满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的变形与不等式的推理，解题的关键是通过已知条件对式子进行合理变形，再结合不等式性质判断结论． 先由得出关于、的表达式，代入化简，再逐一分析选项． 项即可． 【详解】由，可得． 将代入： 则， 去括号得， 化简为，所以选项C错误； 虽然，但若，可能存在（例如，），与B项矛盾，故不一定成立，所以选项A错误； ，代入，得， 当时，可能不成立（例如，），故不一定成立．所以选项B错误； 由可得，将其代入： 即， 去括号得， 合并同类项得，两边同时除以， 得，所以选项D正确． 故选：D． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列说法中，一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.当时，，原说法不成立； B.当时，，原说法不成立； C..当时，，原说法不成立； D.由可知，即可得到，原说法成立； 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 【变式4-3】已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四名同学有如下结论 甲：若，则；乙：若，则； 丙：若，则；丁：若，则． 这四位同学的结论正确的是（  ） A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．丙丁 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，熟练掌握等式的性质和不等式的性质是解题的关键．等式的性质和不等式的性质进行推理，即可判断答案． 【详解】若，则， 解得， 所以甲的结论正确； 若，则， ， 解得， 所以乙的结论错误； 若，则， 则， ， 解得， 即， 所以丙的结论正确； 若时， 则， ， 解得， 所以丁的结论错误． 故选B． 【题型5 不等式的基本性质在数轴上的应用】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，，， ∴， ∴，，，， ∴A，B，C选项均错误，D选项正确， 故选：D． 【变式5-1】（24-25八年级下·四川达州·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，观察数轴判断的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各个选项的不等式进行判断即可． 【详解】解：A．因为，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．因为，，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．因为，所以，所以此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．因为，，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则 （填“>”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较大小，不等式的性质，由题意可得，，，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 【变式5-3】已知有理数a，b的和即与差即在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减运算，不等式的性质，先判断，再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【题型6 根据不等式的基本性质比较大小】 【例6】数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，判断出其余各数的大小关系． 【详解】 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键在于通过，判断出各个数的范围大小． 【变式6-1】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）如图，三人A，B，C分别坐在质地均匀且到中心点距离相等的跷跷板上，体重分别记作a，b，c，则a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质和应用，由图可得，，再结合不等式的性质即可得解，熟练掌握不等式的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：，， ∴， 故选：C． 【变式6-2】已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先在的两边同乘以，变号，再在此基础上同减去3，不变号，即可得出结果． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 【变式6-3】比较大小：当实数时， （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 利用不等式的性质求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7 根据不等式的解集求取值范围】 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变可知，即可得到的取值范围． 【详解】解：， ，即． 故选：C． 【变式7-1】若关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，不等式两边都除以同一个负数，不等号方向改变，得出a－3＜0，求出即可． 【详解】∵（a－3）x＞2的解集为x＜， ∴不等式两边同时除以（a－3）时，不等号的方向改变， ∴a－3＜0， ∴a＜3． 故选B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，要逆向思维，从不等式的变号推出a－3＜0是本题的解题关键． 【变式7-2】（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数． （1）a的取值范围为 ． （2）若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程与不等式，以及不等式的性质． ①先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， ②变形，把第一问的结果代入，即可． 【详解】解①：解关于x的方， 得 因为解为负数， 所以 解这个不等式，得 所以a的取值范围是； ② ∴， ， 故答案为：，． 【题型8 根据不等式的基本性质求最值】 【例8】非负数满足，记最大值为，最小值为，则等于（       ） A．7 B．16 C．20 D．21 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，求不等式解集，先将原式变形，代入M式子，根据不等式的性质求出范围即可求出a，b的值，得出结果． 【详解】解：将变形，得， 将分别代入，得， ， ， 当时，M可以取最大值，最大值， 当时， M可以取最小值，最小值， ． 故选：D． 【变式8-1】设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【详解】解： ，是整数， 的最大值为； ，是整数，， 的最大值为； ，为整数， 的最大值为； ，为整数，， 的最大值为， 故选：A． 【变式8-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）若，，，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题． 【详解】解：， ， ∴， ， ，即， ∵ ， ∴， 即， 时，的值最小，最小值为6． 故答案为：6． 【变式8-3】已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，则a﹣3b+c的最小值为 ． 【答案】6 【分析】首先根据6a＝3b+12＝2c，分别用b表示出a、c；然后根据b≥0，c≤9，求出a﹣3b+c的最小值为多少即可． 【详解】∵6a＝3b+12＝2c， ∴a＝0.5b+2，c＝1.5b+6， ∴a﹣3b+c ＝（0.5b+2）﹣3b+（1.5b+6） ＝﹣b+8 ∵b≥0，c≤9， ∴3b+12≤18， ∴b≤2， ∴﹣b+8≥﹣2+8＝6， ∴a﹣3b+c的最小值是6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 【题型9 利用不等式的基本性质证明不等式】 【例9】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查不等式的性质，等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的基本性质证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式9-1】求证：如果，那么． 【答案】见解析 【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【变式9-2】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②，，． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此可证明结论； （2）①同理可得，则，则可证明，则，据此可证明结论；②根据①可得或，则或或，再讨论a、m的值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵a，m均为整数，且，，， ∴或， ∴或或， 当时， ∵， ∴，即，不符合题意； 当时， ∵， ∴，即， ∵，且c、b都是整数， ∴， ∴，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，，． 【变式9-3】阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 (1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． (2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 【答案】(1)不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变 (2)见解析 【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可； （2）仿照（1）的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变）， 合并同类项可得：， 即：得证． 故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变； （2）解：，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变）， 合并同类项，得， 即：，得证． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $