山东省青岛市城阳第一高级中学2025-2026学年高三上学期2026年1月月考数学试题

2026年1月13日月考参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 9 10 答案 B B 9 B 0 C A BCD AD 题号 11 答案 ACD 1.B 【详解】由2-i刊z=i5052=-1,则z= 1 2+i 2+i 2-i-(2-i2+-5 所以2=12 5 故选：B 2.B 【详解】x|1,∴x-1或x1,lgx≤0=lgl,0<x≤1，即B={x0<Q≤1}， RA={x-19x<1},即(RA)UB={x-18x1}. 故选：B 3.A 【详解】由l:y=kx-2,k∈R,可得直线I恒过定点M(0,-2), 由圆C的标准方程为(x-1)2+(y+)2=3,可得圆心为C(1,-1),半径r=3, 因为CM=V(0-1)2+(-2+1)2=√2<V3,所以点M在圆C内， 直线1和圆C相交. 故选：A. 4.B 【详解】因为fx)为偶函数，则f①=f-1,+a)n=(-1+an3,解得a=0, 3 当a=0时，=h22-川2+训>0，解x>或<号 2x+11 则其定义规为号现< 2, 关于原点对称 f(-x)=(-x)ln 2(-x)+1 2x--f, 2x+1 故此时f(x)为偶函数 故选：B. 答案第1页，共2页 5.D 【详解】设等比数列an}的公比为q, 根据等比数列前n项和的性质，S,-S。,S。-S,S成等比，且公比为g, 又S,+7S。=8S3,即S,-S6=-8S6-S),所以g3=-8, 解得q=-2 故选：D 6.C 【详解】由题意得，事件A的样本点为1,3,5,7，事件B的样本点为1,2,3,4，事件C的样 本点为2,3,5,7}， 对于选项A:事件B与C共有样本点2,3，所以不互斥，故A错误； 对于选项B:AUB事件样本点S,所以PAUB=6=3, 841 故B错误； 对打法医D:因为叫分PC- 且4C事件样本点3.5，，则P(AC)=8 3 可得P(AC)≠P(A)P(C),所以事件A与C不相互独立，故D错误： 对于选项C:因为4BC事件样本点{3，可得PABC)=8, 1 所以P(ABC=P(AP(B)P(C),故C正确 故选：C 7.C 【详解】由题意将函数y=sim2x+刀 6 ]的图象上所有点的横坐标缩短到原来的)，纵坐标不 变， 得到)=sm4红+爱)的图象，再将该图象向右平移爱个单位长度， 6 得到函数y=m4(-君+名1=sim4x-孕=-cos4x的图象， 66 即fx=-cos4x, 答案第1页，共2页 作出fx)=-cos4x以及y=x-二的图象，如图， V y=f(x) 2 由图象可知y=∫x)的图象与直线y=x-。的交点个数为3， 故选：C 8.A 【详解】由题意 20+1=2-4→20-2=4+1,36+1=3-b33-3=b+14c+1=4-c4-4=c+1 a a’b b’c 所以令fx=x+(x>01,g(y)=2-2,g(=3-3,8()=4-4, 所以问题等价于比较∫(x)的图象分别与g（x,82x),8,(x的图象三个交点横坐标的大小 关系， 而gx),8,x,83x均过点(1,0)， 则由指数函数单调性可知，f(x)的图象分别与g,(x),g2(x),g,x的图象三个交点横坐标如 图所示： g(x) /81) g:(x) f(x) ch a 则c<b<a 故选：A 9.BCD 答案第1页，共2页 【详解】因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，则CDI/AF, 且CDt平面PAF,AFC平面PAF,可得CDI/平面PAF,故D正确： 又因为PA⊥平面ABC,DFc平面ABC,则PA⊥DF, 且AF⊥DF,AF∩PA=A,AF,PAc平面PAF, 所以DF⊥平面PAF,故B正确： 由正六边形的性质可知：CF∥AB, 且CF平面PAB,ABC平面PAB,可得CF∥平面PAB,故C正确： 若CF⊥平面PAD,由ADc平面PAD,则CF⊥AD, 可得四边形ACDF为正方形，即AC=CD=BC=AB, 则ABC为等边三角形，则LABC=60°， 这与∠ABC=120°相矛盾，所以CF与平面PAD不垂直，故A不正确 故选：BCD 10.AD 【详解】对于选项A:因为DE=OE-OD=AF-】AD,故A正确： 对于选项C:由题意可知：CE⊥EF, 若P为EF的中点，所以CP在EC上的投影向量为-EC,故C错误； 对于选项BD:如图，建立平面直角坐标系， 答案第1页，共2页 别49行号cu6969}-w, 可得AC= 3,5D=0,所以AC-BD-,故B错误 2’2 设P(x川，可知-1≤x≤505y≤5 2 可知当x7 即点P与点D重合时，FE+FP的最大值为√万，故D正确： 故选：AD 11.ACD 【详解】由图知P-1,开口向右的抛物线方程为)2=2，焦点F公0。 所以开口向上的抛物线方程为=2，即y=分，故A正确： 又2=2xx=2 x=2y9=2'所以42,2， 根据对称性可得四叶图上两点间距离的最大值为2OA=4√2，故B错误； l4:y=x,且在第一象限的区域关OA对称，直线x+y=t与 直线OA垂直， 所以在第一象限花瓣的弦长最大时，即作与OA平行的直线分别与抛物线相切时， 设切点为M,N,开口向上的抛物线方程为y=x, 2 又y=x=1,所以切点M 由对称可得切点N 答案第1页，共2页 此时弦长最大值MN=V2 故C正确； 2 由图知第一象限花瓣的面积大于四边形OMAN的面积， 且小于以OA为长，MN为宽矩形的面积， MN LOA.MN2OaE2N2,∴Sav=MNIO4中 以04为长，MN为宽矩形的面积5=2V2x5=2, 2 所以阴影区域面积大于4且小于8，故D正确： 故选：ACD 12.52 【详解】由题意可知，a6+ag=8,由等差数列的性质可知，a+a:=a6+ag=8, 所以5.=13xa+a=52 故答案为：52 028 13.25 【详解】6cosa=tana= sina 7-sina cosa (7-sina)sina =6cos2a =6(1-sin2a), 解得sina=2或sina:-2(舍) 所以cos2a=1-2sim2a=1-2x3-7 5 1-25 故答案为：25 14.6+2 11 【详解】由题意正方体中两条平行的棱间的距离为1或√2. 正方体共12条棱中任取两条，共有12×L=66种取法， 2 共中相交的有24-24，平行且距离为、反的有号-6种， 其余的是异面或距离为1的平行线，共有36种， 67P5=0=36-6 Pg=0=2音Pg==系六 66111 分布列为： 答案第1页，共2页 0 1 2 4 6 1 P 11 11 11 4 6 E5=0× .+1× +V2xL=6+2 11 11 1111 故答案为： 6+V2 11 15.(1)0.002 器 (3)不能 【详解】(1)依题意得，50×(a+0.006+0.01+a=1, 解得a=0.002 (2)由频率分布直方图知， 4月份的空气质量达标的天数为：50×(0.002+0.006)×30=12， 则4月份的空气质量不达标的天数为：30-12=18， 94 则任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为：1- C2 0 145 (3)列联表如下： 空气质量 月份 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 零假设：空气质量是否达标与月份无关， 则x2= 60×(12×22-8×18 20×40×30×30 =1.2<2.706=X.1 所以根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分理由推断假设不成立， 故不能认为空气质量是否达标与月份有关联. 答案第1页，共2页 16.(1)证明见解析，a.=2"+3n-1 (2)Sn=n+5-3n+5 2 【详解】(1)当n≥2时，a,=a+2+3=a-1+2”-2-+3, 所以，a,-2”-(a-2"-）=3, 又a=4,所以a-2=2, 故{a。-2”是以2为首项，3为公差的等差数列， 故an-2"=2+n-1×3=3n-1,所以，a,=2"+3n-1. (2)6,=g=2”+3n-l=1+3n-1 2 2” 2” 所以.到+)+-仔多…3月 25 222+ 令T=二+ +0 .3n-1 21，② 3,333n-1 ①-②得：=1+是+定+…叶 2 202* - =1+3× 3n-3n+5,故7=5-3n+5, 1 21-22*1 2n’ 1- 2 所以，Sn=n+5-3n+5 2 17.(1)证明见解析； (225 7 【详解】(I)因为BE CD,且CD￠平面PBE,BEc平面PBE, 所以CD∥平面PBE 又CDc平面PCD,平面PCD∩平面PBE=I,所以CD∥I. (2)取PD的中点F,连接FE 因为E为AD的中点，所以PA1IFE 又PA⊥AD,所以FE⊥AD 由BE⊥平面PAD知BE⊥FE,BE⊥ED,所以BE,FE,ED两两垂直，建立如图所示的空间 答案第1页，共2页 直角坐标系： B 则C1,2,0),P(0,-2,2,B(2,0,0),E(0,0,0), 所以BC=(-1,2,0),PB=(2,2,-2,EP=(0,-2,2, m·BC=0 -a+2b=0 设平面CPB的法向量为m=(a,b,c,则 即 mPB=0' 2a+2b-2c=0' 令b=1,解得a=2,c=3,即m=2,1,3 i.Ep=0〔-2y+2z=0 设平面PBE的法向量为万=(x,,z),则 aP=0'即 ’2x+2y-2z=0' 令y=1,解得x=0,z=1,即i=(0,1,1) 所以cos(m,)= m元。42万 m14x√271 即平面CPB与平面PBE夹角的余弦值为2 7 180写+r1 ©传)引 5 详解D由题意，b1记+1，则a=2 4 :椭圆方程为：亡+y少=1. 4 (2)如图， 答案第1页，共2页 设P小，则42+2引8y=-1, 对y=h+x-1,令y=09,= 0 %+1, SPAB= sinAP IPA×PB S.PCD rqKPnsLA ,|PC×PD 所以由相似三角形可得：SA四为右专 %+11, SAPAB Xo+2 xo 6 所以x0=2+1 5%-1' 又因为+=1，所以+1 4 +y=1,%>0, 5y-1 3 解得=亏或%三】 所以对应的无分别为-或- 5 , 防剖) (3)设S(m,n), 则k5-”二业，s= n+yo m-xo m+xo 则kske n2-yo m2-x4-4n2-x64 又因为ko=2 +%3=2k阳' 3 x0-(-x)4x04 1 所以kekn=行则s3 1 设k=>0,直线PS倾斜角为a,直线P四倾斜角为B, Xo 所以∠QPS=a-B, 则tan∠QPs= tana-tanB 1+tanotanβ 因为∠0P5=a-（行，所以∠0ss径，此时k=5, 3 所以OP直线方程为y= 3t. 19.(1)y=x-1 答案第1页，共2页 高三数学月考试题 2026年 1月13 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．若复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．设全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 4．若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 5．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 6．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与互斥 B． C． D．两两相互独立 7．把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9．如图，六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 11．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若，则下列说法正确的是（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上两点间距离的最大值为 C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 D．四叶图的面积大于4且小于8 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12．设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则 ． 13．已知，则 . 14．设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望= . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15． （13）某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. (1)求； (2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； (3)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16（15）．已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 17．如图，在四棱锥中，为的中点，平面，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18（17）．已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 19．（17）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； (3)若且，有恒成立，求实数的取值范围 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $