专题2.2 一元二次方程及其应用（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

该初中数学中考复习讲义聚焦“一元二次方程及其应用”专题，覆盖定义、解法、根的判别式、根与系数关系、应用五大核心考点，以11个知识点构建知识网络，通过“考点梳理-方法指导-真题训练”教学流程，帮助学生突破解法选择、实际建模等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“知识点-题型-真题”三维联动设计，如通过“配方法应用”题型培养运算能力，结合“增长率问题”建模训练发展模型意识。设置基础变式与中考真题分层练习，配合解题策略指导，确保学生高效掌握考点。教师可依托资料精准把控复习节奏，助力学生提升应试能力与数学思维。

专题2.2 一元二次方程及其应用（举一反三复习讲义） 【11个知识点+5大考点+13个题型】 【考点一 一元二次方程的定义及其解】 2 【题型1 一元二次方程的概念】 3 【题型2 一元二次方程一般式】 5 【题型3 由一元二次方程解的求值】 6 【题型4 一元二次方程解的估算】 8 【考点二 解一元二次方程】 10 【题型5 一元二次方程的一般解法】 12 【题型6 配方法的应用】 15 【题型7 换元法求一元二次方程】 19 【考点三 一元二次方程的根的判别式】 22 【题型8 利用根的判别式判断方程根的情况】 22 【题型9 由方程根的情况求参数的取值范围】 24 【考点四 一元二次方程的根与系数的关系】 26 【题型10 利用根与系数的关系求代数式的值】 27 【题型11 利用根与系数的关系构造方程】 29 【考点五 一元二次方程的应用】 31 【题型12 根据实际问题抽象出一元二次方程】 33 【题型13 一元二次方程的应用】 35 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握一元二次方程定义，熟练运用四种解法（直接开平、配方法、公式法、因式分解法）。理解根的判别式判断根的情况，了解根与系数关系（韦达定理）。能根据实际问题的数量关系列一元二次方程并求解，检验解的合理性。 直接解方程（选择解法、求根）多为基础题。考查重心在与实际应用结合，常以增长率、几何图形面积、营销利润等问题为背景，作为解答题考查建模能力。判别式与根的情况分析是常见考点，易忽略检验解的合理性。 1. 解法选择：优先考虑因式分解法，其次为公式法（通用）。当二次项系数为1且一次项系数为偶数时，可考虑配方法。 2. 判别式应用：不解方程，用判别式判断根的情况（尤其含参数时）。用韦达定理简化求值问题。 3. 解应用题：准确设元，依据“变化前、变化后”等关键词找等量关系。解方程后务必检验解是否满足实际意义（如边长、增长率不为负）。 【考点一 一元二次方程的定义及其解】 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型1 一元二次方程的概念】 【例1】（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x方程是一元二次方程， ∴，且， 解得， 故选：A． 【变式1-1】（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项． 【详解】解：A、，展开得，是一元二次方程； B、化简得，不是一元二次方程； C、 ，若，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； D、不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 【变式1-2】（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 【变式1-3】（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 【题型2 一元二次方程一般式】 【例2】（2025·四川绵阳·一模）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ． 【答案】2，， 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，明确一元二次方程的“二次项系数、一次项系数、常数项”的定义是解题关键． 一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解： 一元二次方程中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 方程中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：2，，． 【变式2-1】（2025·四川广安·一模）将一元二次方程化为二次项系数为1的一般形式后，其一次项系数是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．将方程化为一般形式后，一次项系数为． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴一次项系数为． 故选：C． 【变式2-2】（2025·河南郑州·模拟预测）方程化为一元二次方程的一般形式是，则m，n的值分别是（    ） A．12， B．1， C．，25 D．0，25 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程化为一般形式，熟练掌握知识点是解题的关键． 把方程化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程化为一元二次方程的一般形式是， ∴． 故选：A 【变式2-3】（2025·贵州黔东南·模拟预测）用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是理解一元二次方程的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ，，， 故选：． 【题型3 由一元二次方程解的求值】 【例3】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3-1】（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】（2025·吉林长春·二模）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】21 【分析】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 根据是关于的一元二次方程的解，可以得到的值，然后代入代数式，即可求得所求式子的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程的解， ， ， ， ， 故答案为：21． 【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把代入原方程，再整体代入即可； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4 一元二次方程解的估算】 【例4】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-1】（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 【变式4-2】根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 【变式4-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 【考点二 解一元二次方程】 知识点4 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点5 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点6 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点7 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型5 一元二次方程的一般解法】 【例5】（2025·山东泰安·模拟预测）法国数学家韦达在探究二次项系数为的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为），且其中一个根等于另外一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于，两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的倍，则称函数与函数互为“倍根函数”．若是“倍根方程”，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义问题，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数关系，正确理解新定义是解题的关键．先求出方程的根，再根据“倍根方程”的定义求解即可． 【详解】解：， 解得或， 是“倍根方程”， 或， 解得或． 故答案为：或． 【变式5-1】（2025·辽宁抚顺·一模）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可． 【详解】解：． ∴． ∴或． 解得，． 故答案为：， 【变式5-2】（2025·浙江·模拟预测）从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，概率公式，熟练掌握解一元二次方程的步骤和概率公式是解题的关键．先解一元二次方程，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：， 解得：，， 即和是方程的解， ∴从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为， 故答案为：． 【变式5-3】若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ． 【答案】 1425 2781 【分析】本题考查了实数的新定义运算，因式分解，解一元二次方程，根据“和方数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．设为“和方数”，可知 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据定义即可求解；由题意可知，则，由能被11整除，得能被33整除，结合定义可知，进而求得，可知 ，，由，可知当时，取得最大值，此时，即可求解． 【详解】解：设为“和方数”， 则 ，，即， 要使得越小，只需，，，越小即可， 当时， 若时，，不符合题意， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时，，则，， 即：最小的“和方数”为1425； ∵为“和方数”，则， ∴， 则， ∵能被11整除，即：能被33整除， ∴能被33整除， ∵， ∴， 令，则为33的倍数，，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）； ∴，， ∴，， 则， 当时，取得最大值，此时， 则此时“和方数”等于2781， 故答案为：1425，2781． 【题型6 配方法的应用】 【例6】（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 【变式6-1】已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 【变式6-2】已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是 . 【答案】28 【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，可以将（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解． 【详解】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4， ∴（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2=5（x2+y2+z2）-4（xy+yz+xz）=20-2[（x+y+z）2-（x2+y2+z2）]=28-2（x+y+z）2≤28 ∴当x+y+z=0时（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2的最大值是28． 故答案为 28． 【点睛】本题考查的知识点是完全平方式的性质及代数式的求值，解题关键是学会拼凑多项式进行解答． 【变式6-3】（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）根据题意可知， （2）令，，则由，即可得出答案． （3）设，根据题意可得出，即可得出当且仅当，即时，，四边形面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为： （2）解：令，，则由， 得 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6； （3）解：设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形的面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 【题型7 换元法求一元二次方程】 【例7】（2025·湖北随州·一模）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，， 方程的解是或， 解得，； 故选A． 【变式7-1】（2025·江苏南京·三模）实数，满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法．设，则方程化为：，然后根据分解因式法解一元二次方程，再判断的值即可． 【详解】解：设，则方程化为：， ， 或， 或， x、y是实数， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】（2025·广东中山·模拟预测）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 【变式7-3】阅读下面的材料： 解方程x4–7x2+12=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y，则x4=y2． ∴原方程可化为y2–7y+12=0． ∴a=1，b=–7，c=12． ∴△=b2–4ac=（–7）2–4×1×12=1． ∴y═=–． 解得y1=3，y2=4． 当y=3时，x2=3，x=±． 当y=4时，x2=4，x=±2． ∴原方程有四个根是：x1=，x2=–，x3=2，x4=–2． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2–5（x2+x）+4=0； （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2–3（a2+b2）–10=0，试求a2+b2的值． 【答案】（1）x1=，x2=，x3=，x4=；）；（2）a2+b2=5． 【分析】（1）设y=x2+x，则由已知方程得到：y2-5y+4=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程即可； （2）设x=a2+b2，则由已知方程得到：x2-3x-10=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）设y=x2+x，则y2–5y+4=0， 整理，得（y–1）（y–4）=0，解得y1=1，y2=4， 当x2+x=1即x2+x–1=0时，解得x=； 当x2+x=4即x2+x–4=0时，解得x=； 综上所述，原方程的解为：x1=，x2=，x3=，x4=； （2）设x=a2+b2，则x2–3x–10=0， 整理，得（x–5）（x+2）=0， 解得x1=5，x2=–2（舍去）， 故a2+b2=5． 【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【考点三 一元二次方程的根的判别式】 知识点8 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【题型8 利用根的判别式判断方程根的情况】 【例8】（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 【变式8-1】（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式8-2】（2025·浙江杭州·一模）命题“若，则关于x的一元二次方程必有实数根”是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查了真假命题，一元二次方程根的判别式，利用完全平方公式变形求值，以及平方的非负性，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程必有实数根， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 【变式8-3】（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，根据判断的正负，进而确定根的情况． （2）将已知根代入方程求出的值，再利用韦达定理（一元二次方程两根之和与系数的关系）求出另一个根 ． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式判断根的情况以及韦达定理求根与系数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，． 根的判别式， 则 ． ， ， ，即 ． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根， 原方程有两个不相等的实数根． （2）解：是方程的一个根， 把代入方程得 ， 即， ， 解得 ． 设方程的另一个根为， 在方程中，，， 已知一个根是，则 ， ． 【题型9 由方程根的情况求参数的取值范围】 【例9】（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 【变式9-1】（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式9-2】（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 【变式9-3】（2025·四川南充·三模）关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围． (2)求代数式的最大值或最小值． 【答案】(1)，且 (2)最小 【分析】本题考查了利用二次函数求最值，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先将原方程展开，再根据方程有2个实数根，得到求解，注意即可； （2）由根系关系，得．将其展开，代入，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：由已知，得， 即． ∵有两个实数根，， ， ， 同时，二次系数，即， 的取值范围为，且； （2）解：由根系关系，得． ∴令 ． 当时，最小． 【考点四 一元二次方程的根与系数的关系】 知识点9 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【题型10 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例10】（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为：． 【变式10-1】（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式10-2】（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 【变式10-3】（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键． （1）先解方程得出或，再由“邻根方程”的定义得出或，求解即可； （2）设的两根分别是，则，，，再由“邻根方程”的定义得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：解方程可得或， 由题意知，或， 解得或； （2）解：设的两根分别是， 则，，， 因为（，均为常数）为“邻根方程”， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以，满足的数量关系是． 【题型11 利用根与系数的关系构造方程】 【例11】（2025·福建三明·模拟预测）阅读材料：如果是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（   ） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解答本题的关键．利用根的性质确定和满足的方程，再根据根与系数的关系求出和，将代数式化简代入求值即可解答． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个实数根，， ，， ∴， ， ， ， ， 故选：D． 【变式11-1】若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式11-2】设实数s，t分别满足，并且，则的值为 ． 【答案】-5 【分析】根据题意可知s与是方程19x2+99x+1=0的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出代数式的值． 【详解】解：把方程t2+99t+19=0转化为：， ∴s与是方程19x2+99x+1=0的两个根， ∴s+=，， ， 故的值为-5． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【变式11-3】（2025·四川南充·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 【考点五 一元二次方程的应用】 知识点10 实际问题中常见的数量关系及表示方法 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 3. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 4. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 5. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 6. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 7. 存款利息问题 本息和=本金+利息；利息=本金利率存期． 8. 工程（行程）问题 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间． 9. 动点问题 解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决． 知识点11 列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【题型12 根据实际问题抽象出一元二次方程】 【例12】（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 【变式12-1】（2025·湖北宜昌·模拟预测）田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x步，列出方程 ． 【答案】x（16-x）=60 【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：矩形的长为x步，则宽为（16-x）步， ∴x（16-x）=60． 故答案为：x（16-x）=60． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式12-2】（2024·浙江嘉兴·一模）《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，设矩形门高为尺，则矩形门宽为尺，再根据勾股定理结合对角线的长为1丈列出方程即可． 【详解】解：设矩形门高为尺，则矩形门宽为尺， 由题意得，， 故选：B． 【变式12-3】（2025·山西晋城·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键．设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为，根据图形，结合矩形面积为，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为， 根据题意，可得：， 故选：C． 【题型13 一元二次方程的应用】 【例13】（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 【变式13-1】（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 【变式13-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景 教室改造采光窗户，如图（1），窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形． 建立模型 如图（2），不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长．设的长为， （1）直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的透光面积； （2）当窗户的总面积为时，求的长； 方案解决 （3）窗户的面积越大，采光效果越好，基于美观的考虑，要求，请设计一个使采光效果最佳的方案，确定的长． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要涉及矩形的面积公式以及一元二次方程的应用、二次函数的应用．由图形找准数量关系正确列式计算是解题的关键． （1）根据矩形面积公式，用含x的式子表示出相关边长，进而得到面积表达式； （2）根据窗户总面积列出方程求解； （3）先根据条件得到面积关于x的函数，再结合的条件求函数的最大值以及对应的x值． 【详解】解：（1）观察图形可知，， 因为图中所有线段总长，其中横向的线段有3条长度为的，纵向的线段有3条长度为以及3条长度为的， 所以可列出，即， 那么． 矩形的面积． 矩形的面积； （2）由题意得：， 解方程，得． 当时，．不合题意，舍去． 当时，． （3）窗户采光面积． ， ， ． ，抛物线开口向下， 当时，随的增加而增加， 在的范围内，当时，即时，采光面积最大． 【变式13-3】（2025·湖北十堰·模拟预测）小钉从某超市获得关于销售甲，乙两种品牌洗手液的信息如下： ➢甲洗手液的进价为12元/瓶，每瓶利润不得高于进价的． ➢乙洗手液每瓶的利润保持不变． ➢当甲、乙两种洗手液每瓶的利润相同时，销售甲可获利150元． ➢甲洗手液的日均销售量y瓶与每瓶售价x元的关系如表： x（元） … 13 14 … y（瓶） … 70 65 60 45 … 请根据以上信息，解决以下问题： (1)利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． (2)求乙洗手液每瓶的利润为多少元？ (3)据了解，该超市销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和不少于380元，请问该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共多少瓶？ 【答案】(1) (2)乙洗手液每瓶的利润为3元 (3)114瓶 【分析】（1）设，把时，；时，分别代入解析式，得，解答即可； （2）设甲的售价为x元，根据题意，得，解方程即可； （3）设销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和为w元，销售乙种洗手液t瓶，甲洗手液的售价为x元，根据题意，得，结合题意解答即可； 本题考查了待定系数法求解析式，解一元二次方程，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 把时，；时，分别代入解析式， 得，解得， 故，且甲洗手液的进价为12元/瓶，每瓶利润不得高于进价的， 即（元）． 故． （2）解：设甲的售价为x元，根据题意，得， 解得或（舍去）， 利润为（元）， 故乙洗手液每瓶的利润为3元． （3）解：设销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和为w元，销售乙种洗手液t瓶，甲洗手液的售价为x元，根据题意，得， 故， ∵，且， ∴时，w取得最大值，且最大值为，此时， ∵该超市销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和不少于380元， ∴， 解得， ∵t是正整数， ∴t最小值为74， ∴该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共（瓶）， 答：该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共瓶． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元二次方程及其应用（举一反三复习讲义） 【11个知识点+5大考点+13个题型】 【考点一 一元二次方程的定义及其解】 2 【题型1 一元二次方程的概念】 3 【题型2 一元二次方程一般式】 3 【题型3 由一元二次方程解的求值】 4 【题型4 一元二次方程解的估算】 4 【考点二 解一元二次方程】 5 【题型5 一元二次方程的一般解法】 7 【题型6 配方法的应用】 8 【题型7 换元法求一元二次方程】 8 【考点三 一元二次方程的根的判别式】 10 【题型8 利用根的判别式判断方程根的情况】 10 【题型9 由方程根的情况求参数的取值范围】 10 【考点四 一元二次方程的根与系数的关系】 11 【题型10 利用根与系数的关系求代数式的值】 11 【题型11 利用根与系数的关系构造方程】 12 【考点五 一元二次方程的应用】 12 【题型12 根据实际问题抽象出一元二次方程】 14 【题型13 一元二次方程的应用】 15 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握一元二次方程定义，熟练运用四种解法（直接开平、配方法、公式法、因式分解法）。理解根的判别式判断根的情况，了解根与系数关系（韦达定理）。能根据实际问题的数量关系列一元二次方程并求解，检验解的合理性。 直接解方程（选择解法、求根）多为基础题。考查重心在与实际应用结合，常以增长率、几何图形面积、营销利润等问题为背景，作为解答题考查建模能力。判别式与根的情况分析是常见考点，易忽略检验解的合理性。 1. 解法选择：优先考虑因式分解法，其次为公式法（通用）。当二次项系数为1且一次项系数为偶数时，可考虑配方法。 2. 判别式应用：不解方程，用判别式判断根的情况（尤其含参数时）。用韦达定理简化求值问题。 3. 解应用题：准确设元，依据“变化前、变化后”等关键词找等量关系。解方程后务必检验解是否满足实际意义（如边长、增长率不为负）。 【考点一 一元二次方程的定义及其解】 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型1 一元二次方程的概念】 【例1】（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 【变式1-1】（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【变式1-3】（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【题型2 一元二次方程一般式】 【例2】（2025·四川绵阳·一模）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ． 【变式2-1】（2025·四川广安·一模）将一元二次方程化为二次项系数为1的一般形式后，其一次项系数是（    ） A．1 B． C． D．4 【变式2-2】（2025·河南郑州·模拟预测）方程化为一元二次方程的一般形式是，则m，n的值分别是（    ） A．12， B．1， C．，25 D．0，25 【变式2-3】（2025·贵州黔东南·模拟预测）用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型3 由一元二次方程解的求值】 【例3】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【变式3-1】（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【变式3-2】（2025·吉林长春·二模）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ． 【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【题型4 一元二次方程解的估算】 【例4】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【变式4-1】（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 【变式4-2】根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【变式4-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【考点二 解一元二次方程】 知识点4 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点5 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点6 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点7 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型5 一元二次方程的一般解法】 【例5】（2025·山东泰安·模拟预测）法国数学家韦达在探究二次项系数为的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为），且其中一个根等于另外一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于，两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的倍，则称函数与函数互为“倍根函数”．若是“倍根方程”，则的值是 ． 【变式5-1】（2025·辽宁抚顺·一模）方程的根是 ． 【变式5-2】（2025·浙江·模拟预测）从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为 ． 【变式5-3】若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ． 【题型6 配方法的应用】 【例6】（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-1】已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【变式6-2】已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是 . 【变式6-3】（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【题型7 换元法求一元二次方程】 【例7】（2025·湖北随州·一模）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】（2025·江苏南京·三模）实数，满足，则 ． 【变式7-2】（2025·广东中山·模拟预测）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【变式7-3】阅读下面的材料： 解方程x4–7x2+12=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y，则x4=y2． ∴原方程可化为y2–7y+12=0． ∴a=1，b=–7，c=12． ∴△=b2–4ac=（–7）2–4×1×12=1． ∴y═=–． 解得y1=3，y2=4． 当y=3时，x2=3，x=±． 当y=4时，x2=4，x=±2． ∴原方程有四个根是：x1=，x2=–，x3=2，x4=–2． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2–5（x2+x）+4=0； （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2–3（a2+b2）–10=0，试求a2+b2的值． 【考点三 一元二次方程的根的判别式】 知识点8 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【题型8 利用根的判别式判断方程根的情况】 【例8】（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式8-1】（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ． 【变式8-2】（2025·浙江杭州·一模）命题“若，则关于x的一元二次方程必有实数根”是 命题（填“真”或“假”）． 【变式8-3】（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 【题型9 由方程根的情况求参数的取值范围】 【例9】（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【变式9-1】（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【变式9-3】（2025·四川南充·三模）关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围． (2)求代数式的最大值或最小值． 【考点四 一元二次方程的根与系数的关系】 知识点9 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【题型10 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例10】（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【变式10-1】（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【变式10-2】（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【变式10-3】（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【题型11 利用根与系数的关系构造方程】 【例11】（2025·福建三明·模拟预测）阅读材料：如果是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（   ） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 【变式11-1】若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 ． 【变式11-2】设实数s，t分别满足，并且，则的值为 ． 【变式11-3】（2025·四川南充·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【考点五 一元二次方程的应用】 知识点10 实际问题中常见的数量关系及表示方法 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 3. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 4. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 5. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 6. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 7. 存款利息问题 本息和=本金+利息；利息=本金利率存期． 8. 工程（行程）问题 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间． 9. 动点问题 解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决． 知识点11 列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【题型12 根据实际问题抽象出一元二次方程】 【例12】（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·湖北宜昌·模拟预测）田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x步，列出方程 ． 【变式12-2】（2024·浙江嘉兴·一模）《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2025·山西晋城·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型13 一元二次方程的应用】 【例13】（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【变式13-1】（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【变式13-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景 教室改造采光窗户，如图（1），窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形． 建立模型 如图（2），不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长．设的长为， （1）直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的透光面积； （2）当窗户的总面积为时，求的长； 方案解决 （3）窗户的面积越大，采光效果越好，基于美观的考虑，要求，请设计一个使采光效果最佳的方案，确定的长． 【变式13-3】（2025·湖北十堰·模拟预测）小钉从某超市获得关于销售甲，乙两种品牌洗手液的信息如下： ➢甲洗手液的进价为12元/瓶，每瓶利润不得高于进价的． ➢乙洗手液每瓶的利润保持不变． ➢当甲、乙两种洗手液每瓶的利润相同时，销售甲可获利150元． ➢甲洗手液的日均销售量y瓶与每瓶售价x元的关系如表： x（元） … 13 14 … y（瓶） … 70 65 60 45 … 请根据以上信息，解决以下问题： (1)利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． (2)求乙洗手液每瓶的利润为多少元？ (3)据了解，该超市销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和不少于380元，请问该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共多少瓶？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $