第04讲 平面向量的应用（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第04讲 平面向量的应用 【人教A版】 模块一 平面几何中的向量方法 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型1 用向量证明平面几何中的平行问题】 【例1】（24-25高一下·广东佛山·月考）已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【变式1.2】（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【变式1.3】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【题型2 用向量证明线段垂直】 【例2】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【变式2.1】（24-25高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 【变式2.2】（24-25高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【变式2.3】（24-25高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【题型3 用向量解决夹角问题】 【例3】（2025·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【变式3.3】（24-25高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【题型4 用向量解决线段的长度问题】 【例4】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【变式4.1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，， . 【变式4.3】（2025高三·全国·专题练习）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 【题型5 向量与几何最值】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5.1】（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【题型6 向量在几何中的其他应用】 【例6】（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【变式6.1】（25-26高三上·山东·月考）在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【变式6.2】（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6.3】（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 模块二 向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型7 向量在物理中的应用】 【例7】（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【变式7.1】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一下·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·专题练习）已知，，若，则的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 7．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·山东聊城·期中）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 10．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 12．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 13．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 14．（24-25高一下·四川德阳·月考）设P为内一点，且，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，的合力对质点所做的功． 16．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    17．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 18．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 19．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面向量的应用 【人教A版】 模块一 平面几何中的向量方法 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型1 用向量证明平面几何中的平行问题】 【例1】（24-25高一下·广东佛山·月考）已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据相等向量的定义，结合充要条件的定义判断即可. 【解答过程】若四边形是平行四边形， 则，所以； 若，则，则四边形是平行四边形. 所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【解题思路】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【解答过程】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【解题思路】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【解答过程】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 【变式1.3】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【答案】证明见解析 【解题思路】用向量证明，从而证明四边形EFGH为平行四边形. 【解答过程】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点， 所以 所以， 又因为与不共线，所以，且， 所以四边形EFGH为平行四边形. 【题型2 用向量证明线段垂直】 【例2】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【解答过程】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【解题思路】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行. 【解答过程】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形， 故答案为：矩形. 【变式2.2】（24-25高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【解题思路】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【解答过程】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 【变式2.3】（24-25高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【解答过程】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 【题型3 用向量解决夹角问题】 【例3】（2025·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【解答过程】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：C． 【变式3.1】（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【解答过程】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【解题思路】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【解答过程】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 【变式3.3】（24-25高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【解题思路】用和表示和，根据 以及，，，可求出结果. 【解答过程】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以 ， 所以 . 故答案为：. 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 【例4】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【解答过程】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A. 【变式4.1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【解答过程】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，， . 【答案】 【解题思路】用表示出，两边同时平方，根据向量数量积即可求得答案. 【解答过程】由题意可得：， 故. 故答案为：. 【变式4.3】（2025高三·全国·专题练习）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】由平方得：，再由可得，进而利用基本不等式可得最小值． 【解答过程】由平方得：． 又，所以． 所以． 当且仅当时，取最小值． 故答案为：． 【题型5 向量与几何最值】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】取的中点，将的表达式利用极化恒等式化简，再由三点共线可求出最大值. 【解答过程】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知， 所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立． 所以的最大值为2． 故选：B． 【变式5.1】（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【解答过程】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 【变式5.2】（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C.    【变式5.3】（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 【题型6 向量在几何中的其他应用】 【例6】（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【解题思路】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【解答过程】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 【变式6.1】（25-26高三上·山东·月考）在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【解题思路】根据向量关系确定四边形的形状为梯形，再结合向量的坐标运算得梯形相关长度即可求得梯形的面积. 【解答过程】因为在四边形中，， 所以且，则四边形为梯形， 又，，所以， 则，且，则， 所以四边形的面积为. 故选：B. 【变式6.2】（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【解答过程】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A.    【变式6.3】（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【解答过程】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A. 模块二 向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型7 向量在物理中的应用】 【例7】（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【解题思路】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【解答过程】因为， 所以力对该物体做的功为. 故选：D. 【变式7.1】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【解答过程】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B. 【变式7.2】（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【解答过程】因为， 所以， 则. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高一下·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解题思路】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【解答过程】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答过程】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【解题思路】如图： 设，，则，依题意. 过作 ，垂足为，则， 即的最小值是. 故选：C. 2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【解答过程】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D. 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【解题思路】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【解答过程】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D. 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【解答过程】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 5．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解答过程】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， ， 故选：D． 6．（2025高一·全国·专题练习）已知，，若，则的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【解题思路】由向量加法的几何意义可知的最小值就是点到直线的距离 【解答过程】设，则为直线上的动点，,如图.    的最小值为点到直线的距离， 根据，，得. 故选：A． 7．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【解答过程】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D. 8．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据八边形的结构特征首先求出在方向上的投影的取值范围，然后可求得的范围. 【解答过程】因为每个三角形的顶角为的模为4，根据正八边形的特征， 所以， 所以如图所示，在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是. 故选：D．    二、多选题 9．（24-25高一下·山东聊城·期中）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 【答案】AC 【解题思路】根据速度的合成判断船速的方向与河岸垂直、船垂直到达对岸对应用时、航行距离情况，即可得. 【解答过程】根据速度的合成知， 当船速的方向与河岸垂直时，垂直河岸方向的速度最大，故用时最少， 当船垂直到达对岸时，航行的距离即为河的宽度，此时航行距离最短. 故选：AC. 10．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断 【解答过程】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD. 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【解答过程】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,    因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设 ， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，，由于， 所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 【答案】13 【解题思路】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【解答过程】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13. 13．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 【答案】垂 【解题思路】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【解答过程】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 14．（24-25高一下·四川德阳·月考）设P为内一点，且，则 ． 【答案】 【解题思路】设的中点是，连接，根据平面向量线性运算法则，得到，即可求得. 【解答过程】设的中点是，连接，由，可得， 因为，所以，所以， 所以为的三等分点（靠近点的分点），即， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，的合力对质点所做的功． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用向量加法的坐标运算及数量积的坐标表示计算即得. 【解答过程】依题意，， 则 ． 所以对质点所做的功为. 16．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    【答案】证明见解析 【解题思路】根据已知有，，结合，得，再由，即得，即得证. 【解答过程】由题设，且是的角平分线，则，， 由，所以， 由和分别是和的中点，则， ，所以， 所以，即． 17．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【解题思路】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【解答过程】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 18．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【解答过程】（1）； ， ，故， . （2）， . 19．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $