第07讲 平面向量在几何及物理中的简单应用（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）讲义（寒假衔接课堂）-2026年高一数学寒假衔接讲义（人教A版必修第二册）

第07讲 平面向量在几何及物理中的简单应用 （2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用向量证明线段垂直 典型例题二 用向量解决夹角问题 典型例题三 用向量解决线段的长度问题 典型例题四 向量与几何最值 典型例题五 向量在几何中的其他应用 典型例题六 解析法在向量中的应用 典型例题七 力的合成 典型例题八 速度、位移的合成 典型例题九 功、动量的计算 知识点一：平面几何中证明问题的具体转化方法 1、证明线段，可转化为证明； 2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； 3、证明两线段，只需证明数量积； 4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 2．（24-25高三上·北京海淀·月考）已知，，能说明“存在、，使得对任意恒成立”是真命题的一组，的值为 ， ． 【答案】 0 （答案不唯一） 【分析】若，则，则，可取，检验即可得出结论. 【详解】解：若，则， 又，， 则， 可取， 则 ， 所以当时，对任意恒成立. 故答案为：；（答案不唯一） 知识点二：向量在物理中的应用 1、向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 （1）速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （2）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （3）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 四、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 【即时训练】 1．（25-26高三上·广东·月考）某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸即可，分析这种情况下速度的夹角即得到答案． 【详解】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸，如图所示， 所以，其中，所以． 故选：C． 2．（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 【答案】－5 【分析】根据题意，先求其合力和位移，再根据功的计算公式计算即可. 【详解】两个力，作用于同一个质点， 其合力大小为， 从点移到点，其位移， 则这两个力的合力对质点所做的功为． 故答案为：. 【典型例题一 用向量证明线段垂直】 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】用表示出，，然后求数量积即可证明. 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即. 1．（24-25高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，同理证明即可求解. 【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即，点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，故是的内心. 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 【答案】垂 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【详解】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 【典型例题二 用向量解决夹角问题】 1．（24-25高二·全国·课后作业）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】由，可得，分析即得解 【详解】由题意， ，又 为钝角 则的形状是钝角三角形 故选：B 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点，.试求的度数. 【答案】 【分析】求出，根据数量积的定义可求解. 【详解】由， 得，. 其中， 故. 所以. 故答案为：. 1．（24-25高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案. 【详解】由题意作图如下，设，    故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 故选：C. 2．（2025·陕西·模拟预测）已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，， ∴，，则， 故选：D. 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查了学生的计算能力. 3．（2025·广东·模拟预测）已知向量满足，则 . 【答案】/ 【分析】数形结合，利用向量的几何意义求解. 【详解】如图： 设，，作平行四边形，则，， 因为，即，所以平行四边形为矩形. 又，所以. 所以. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 【典型例题三 用向量解决线段的长度问题】 1．（2025·上海杨浦·二模）在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且是的平分线，从而易得对角线的长． 【详解】，则四边形为平行四边形， 设都是单位向量，，则，，，则，所以， 因此由知，且是的平分线， 因此四边形是菱形，而， ∴， 故选：D. 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用、表示，再根据、的长度和夹角可求出结果； （2）根据夹角公式可求出结果. 【详解】（1）设，， 则． ．故． （2）因为 ． 所以 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.    则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是6. 故选：D 2．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积去求长度即可. 【详解】中，点D在边上且， 则 又，，， 则 ，即长度为 故选：D 3．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 【答案】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 【典型例题四 向量与几何最值】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可设出向量的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当与同向时， 有最大值，求解即可. 【详解】因为向量共面，且均为单位向量，， 可设，，，如图，    所以，当与同向时，此时有最大值，为. 故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点. (1)求向量与向量的夹角； (2)若O是线段上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的夹角公式计算可得结果； （2）将表示为的函数，再根据二次函数知识可求出结果. 【详解】（1）由题意可得，， ， . 因为， 故向量与向量的夹角为. （2） . 当时，取得最小值，且最小值为. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先由向量线性运算法则得、、所在有向线段构成等边三角形，再作图数形结合即可求解. 【详解】因为， 由向量线性运算法则可得、、所在有向线段构成等边三角形，如图， 设，，，则为等边三角形， 取D为AB的中点，则方向为的方向或反向，且， 因为，以C为起点，方向或反向作， 结合图象可知的最小值为． 故选：C 2．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 3．（24-25高一下·辽宁·期中）设向量，，满足，，，则的最大值为 ． 【答案】； 【分析】如图，设，由题可得终点C所在图形，据此可得答案. 【详解】如图，设，由题可得，， 取AB中点为D，过D做AB垂线，在垂线上取点E，F，使， 从而可使，再以E，F为圆心，为半径作圆， 则当一点G分别在两圆优弧上时，. 注意到，则，即终点C在两圆优弧上. 由图可得，当C在圆E优弧上，且C，E，O三点共线时最大. 则. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，对给定的向量，设的最大值为，最小值为，对任意的向量，求的最小值. 【答案】 【分析】由题可知，构造图形知点在以为直径的圆上，然后分别求得，，最后计算即可. 【详解】由于，设, 所以向量构成底边长为1的等腰，即，如图.      由，可得，即知点在以为直径的圆上， 对任意给定的向量，，， 所以， 故所求最小值为. 【典型例题五 向量在几何中的其他应用】 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    【答案】证明见解析 【分析】利用平面向量的线性运算，选择用表示，结合向量的共线定理证明即可. 【详解】分别为中点，，， ； ，可设， ，又，， . 1．（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，确定点位置，将面积问题转化成边长之比，进而可求解. 【详解】如图，，， 设，则，故点，，三点共线， ，．    故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知点O是内一点，，则 . 【答案】 【分析】通过已知的向量关系得出三角形重心，再利用重心性质得到不同三角形面积的比例关系，最后根据向量倍数与三角形面积的关系，求出目标三角形面积的比例. 【详解】令，，，所以O为的重心，则. 因为，，，所以. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，，，点是的外心．设，，试将向量用，表示． 【答案】 【分析】设，通过两边分别点乘，，通过数量积运算得到， ，求解即可； 【详解】由题目可知，，，． 设，即，两边点乘， 设,的中点为, 由圆的性质易知，， 所以 可得  ①， 同理两边点乘，可得  ②， 联立①②解得，，所以． 【典型例题六 解析法在向量中的应用】 1．（2025·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断. 【详解】不妨设，，，，， ① ，，若，∴， ∴，满足条件的明显存在，∴①成立； ② F为AB中点，，与交点即重心， ∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立； 故选：B 2．（24-25高一下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 【答案】(1)， (2)四边形为等腰梯形，周长为8 【分析】（1）根据点的坐标及可求的坐标，根据可求的坐标； （2）根据向量坐标关系及长度关系，得出四边形为等腰梯形，根据各边长可求周长. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，由，知， 又，， 设，则，， 点． 又， ， 点． （2）由（1）可得，，，． ，． 又，， 四边形为等腰梯形． ，，，， 四边形的周长为8． 1．（24-25高一下·重庆·期末）在四边形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点、所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，求出所需各点坐标，利用向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】     以为原点、所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，设与轴交于点， 因为，，，，，分别为，的中点， 可得，， ，， 所以，，，，，， 所以，， ， 故选：D. 2．（24-25高一下·浙江·期末）已知是平面内的三个单位向量，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件在直角坐标系中可取，然后可算出，然后利用三角函数的知识求解即可. 【详解】因为是平面内的三个单位向量，且， 所以在直角坐标系中可取 所以 所以 故选：D 3．（24-25高一·全国·单元测试）已知正方形ABCD中，E是CD的中点，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】向量坐标化，以A为原点，分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算处理. 【详解】   如图示，以A为原点，分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系. 不妨设正方形ABCD的边长为2，则，，，，. 则所以向量与的夹角的余弦值为： . 故答案为： 4．（24-25高一·上海·课堂例题）已知均为正数，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，将正数看成位于直线上的点的横纵坐标，得到的坐标，所以解转化为两点间的距离的平方，当时，两点间的距离最小，然后由向量的数量积为零求解最小值证明即可. 【详解】证明：如图，取，， 将正数看成位于线段AB上的点的横纵坐标， 故，所以，设， 所以转化为两点间的距离的平方， 当时，两点间的距离最小， 所以，，， 所以，即，，所以， 所以，时，. 【典型例题七 力的合成】 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取）    A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【答案】D 【分析】设每根绳子上的拉力大小为，根据平衡条件列式求解即可． 【详解】设每根绳子上的拉力大小为， 则根据平衡条件可得，, 解得． 所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：D. 2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 【答案】答案见解析 【分析】设小球为点，甲、乙、丙三人的拉力为，，，根据向量的加法求出，再研究是否为零向量即可得解. 【详解】设小球为点，甲、乙、丙三人的拉力为， ，，如图所示，    若，则， 且，， 所以只要，， 即丙的力量与甲、乙相同即可使小球静止； 若，则与不在一条直线上，则小球不能静止. 1．（2024高一下·全国·专题练习）一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为 N，则两个力的合力的大小为（    ） A．5 N B． N C． N D． N 【答案】D 【分析】根据合力与分力的关系，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为一物体受到相互垂直的两个力的作用， 所以有， 所以两个力的合力的大小为： ， 故选：D 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．    【答案】 【分析】设三条绳受的力分别为，则，根据向量加法法则和直角三角形三边关系得到，得到答案. 【详解】设三条绳受的力分别为，则， 合力为，， 如图，在平行四边形中， ∵，    ∴， 即，故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高． 故答案为： 4．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【答案】(1)约1.41N (2)不能 【分析】（1）根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果； （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，由题意知，代入数据即可求得结果. 【详解】（1）如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力． 又因为降落伞匀速下落，所以，所以， 所以． （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故，当时，， 解得：． 因为超过最大承受拉力，有安全隐患，故此降落伞不能安全使用． 【典型例题八 速度、位移的合成】 1．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 2．（24-25高一下·全国·课前预习）已知河水自西向东流动的速度为，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为，求小船的实际航行速度． 【答案】小船的实际航行速度大小为 【分析】依题意作图，小船在河水中的速度和方向是由小船的速度和流水的速度向量合成的. 【详解】设，分别表示水流的速度和小船在静水中的速度， 过平面内一点作，，以，为邻边作矩形，连接，如图， 则，且即为小船的实际航行速度． ，， ， 小船的实际航行速度大小为，按北偏东的方向航行． 1．（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出船的实际速度，用向量表示水流速度，实际船速与船的静水速度的关系，利用向量的数量积的有关运算法则可求水流速度. 【详解】如图： 船的实际过河速度为：.即. 又，即. 所以， 所以， 所以. 即水流速度为：. 故选：B 2．（24-25高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间. 【详解】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 【答案】路程为180千米，位移的和为“西南方向，千米” 【分析】根据题意画出示意图，再由向量的加减运算，即可得出结论． 【详解】如图，飞机从点向南飞行到达点，然后向西飞行到达点， 则，， 所以飞机飞行的路程为：， 由勾股定理得，飞机飞行的位移为：，方向为西南. 故答案为：路程，位移的和为“西南方向，”. 4．（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量的运算与分解，利用坐标法计算向量的长度，进而求得；（2）货船要垂直到达正对岸B，需使合速度的东向分量为0，进而计算求解. 【详解】（1）以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示. 货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向. 设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即, 合速度为水流速度与船速的矢量和： 由题意，合速度方向与向量同向，且大小为. 设合速度为，则： 因此，合速度为 . 联立方程： 货船速度大小为：    （2）货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0. 设船速为，则： 由（1）知船速大小为 ，故： 合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为： 【典型例题九 功、动量的计算】 1．（24-25高一下·宁夏银川·月考）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【答案】A 【分析】根据数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为. 故选：A 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，分别对质点所做的功．（力的单位：牛顿，位移单位：米） 【答案】焦，焦 【分析】先利用向量的坐标运算求得，然后利用数量积的坐标运算求解功即可. 【详解】设物体在力作用下的位移为，则所做的功为． 因为． 所以（焦）， （焦）． 1．（24-25高一下·江苏淮安·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（    ） A． B．23 C． D．19 【答案】D 【分析】根据力对物体所做的功是平面向量的数量积，计算即可. 【详解】由题意知，，， 所以对物体所做的功为， 故选：D. 2．（24-25高一下·广西·期中）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的物理意义直接求解即可. 【详解】，，， 即两个力的合力对物体所作的功等于. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，作用于同一质点，由移动到点，合力对质点所做的功为 . 【答案】111 【分析】由合力对质点所做的功为：求解即可． 【详解】解：合力， ， 合力对质点所做的功为：． 故答案为：111 4．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．    (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功； (2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和； (3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？ 【答案】(1)拉力，支持力不做功，重力； (2)； (3)物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等. 【分析】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力做的功； （2）将（1）中各值累加即可; （3）计算物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和比较即可. 【详解】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.    拉力与位移方向相同， 所以拉力对木块所做的功为. 支持力与位移方向垂直，不做功，所以. 重力对物体所做的功为. （2）物体所受各力对物体做功的代数和为. （3）设物体所受合外力的大小为， 则, 故合外力做功为. 故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等. 1．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 2．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知在直角梯形中，，，，，设是的中点，是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】求出，故只要看在上投影的最大值，可知当点在点处时投影最大，由相似比得投影的长度最大为，所以， 【详解】在直角中，，所以， 只要看在上投影的最大值，可知当点在点处时投影最大， 过作交延长线于， 可得，所以，所以，所以 即投影的长度最大为，所以， 故选：B． 4．（24-25高一下·福建泉州·月考）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用向量分解及直角三角形的性质得，根据余弦函数性质即可判断A；举反例判断B；将角的值代入计算判断CD. 【详解】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误. 故选：C 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【分析】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间. 【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 6．（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的值可能为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得出且不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以且不共线， 又，所以，解得且， 因此，实数的取值范围是且， 故选：BD 7．（24-25高一下·山东聊城·期中）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 【答案】AC 【分析】根据速度的合成判断船速的方向与河岸垂直、船垂直到达对岸对应用时、航行距离情况，即可得. 【详解】根据速度的合成知， 当船速的方向与河岸垂直时，垂直河岸方向的速度最大，故用时最少， 当船垂直到达对岸时，航行的距离即为河的宽度，此时航行距离最短. 故选：AC 8．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（    ） A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 【答案】BD 【分析】根据船的静水速度、水流速度和实际速度的关系，结合两岸间的垂直距离可求得航行时间，进而判断出结果. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际速度为，两岸间的垂直距离为； 对于ABC，船垂直到达对岸时，，则所用时间； 当船速的方向与河岸垂直时，所用时间； ，当船速的方向与河岸垂直时，用时最少，且沿不同直线航行到达对岸的事件不相同，A错误，B正确，C错误； 对于D，船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，此时距离最短，D正确. 故选：BD. 9．（24-25高三下·云南·月考）已知平面向量，，满足，，，则的取值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BCD 【分析】作，，，由已知得A，B在以点C为圆心，为半径的圆上，根据矩形性质得点D在以点C为圆心，8为半径的圆上，从而得，根据选项逐项判断即可. 【详解】如图，作，，， 由，可知A，B在以点C为圆心，为半径的圆上， 以，为邻边作矩形，由矩形的性质可知，， 可得，即点D在以点C为圆心，8为半径的圆上， 所以，即，所以. 故选：BCD 10．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．与不可能垂直 D． 【答案】BCD 【分析】因为是平面上夹角为的两个单位向量，所以设，建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算数形结合逐项分析即可. 【详解】因为是平面上夹角为的两个单位向量，所以设，建立如图所示直角坐标系： ，由，即， 所以点在以为直径的圆上， 所以，故A错误； ，故B正确； 由图可知，与的夹角为锐角，所以与不可能垂直，故C正确； 的最大值为：，故D正确， 故选：BCD 11．（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 12．（2025高一·全国·专题练习）已知向量满足，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据题意点在以为圆心，半径为2的圆上运动，点在以为圆心，半径为1的圆上运动，设的中点为，利用极化恒等式：在三角形中，两边向量的数量积等于第三边中线长的平方与第三边一半长的平方之差可得，即点在以为直径的圆上，根据两圆的位置关系列不等式求解即可. 【详解】如图，设，，， 由，，点在以为圆心，半径为2的圆上运动，点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 设的中点为，因为，即， 所以由极化恒等式可得，证明如下： 令，，则，， 所以，解得，即， 即点在以为直径的圆上，要求，即求直径的取值范围， 不妨设圆的半径为，因为点所在的圆与圆存在公共点， 所以圆心距满足：，且， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为： 13．（24-25高一下·四川德阳·月考）设P为内一点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】设的中点是，连接，根据平面向量线性运算法则，得到，即可求得. 【详解】设的中点是，连接，由，可得， 因为，所以，所以， 所以为的三等分点（靠近点的分点），即， 所以． 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 【答案】 【分析】作，，，以、为邻边作平行四边形，则，利用平面向量数量积的运算性质求出，可得出的大小，由此可得出与夹角的大小. 【详解】作，，，以、为邻边作平行四边形， 则，    由题意可得，，， ， ， ， 所以，， 因为，故，则， 因此，与夹角的大小为. 故答案为：. 15．（2024高一下·全国·专题练习）如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    【答案】 【分析】根据功的公式，结合平面向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为， 所以作用力与斜面之间所成的角度θ满足， 所以， 记沿斜面向上方向的单位向量为， 则位移，， 故答案为：. 16．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 17．（2025高三·全国·专题练习）若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】根据向量三角形不等式的关系及数量积的应用进行计算即可得到结果。 【详解】先求最大值． 解法1：由题意知， 则，从而，所以． 平方得，所以． 解法2：如图，易知， 在中，有，得． 再求最小值． 易得， 则，从而，所以． 平方得，所以． 综上知的最大值为，最小值为． 18．（25-26高一·全国·单元测试）如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，，依题意可求出点的坐标，再根据点A，P，D共线可得，由点B，P，C共线，可得，由点O，P，E共线，可得，即可解出，从而证出． 【详解】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，，则. 因为点C分为，所以 因为点D为的中点，所以. 因为点A，P，D共线，所以. 又，，所以. 同理由点B，P，C共线，可得， 由点O，P，E共线，可得.解得.所以. 19．（24-25高一·全国·课后作业）如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    【答案】 【分析】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，根据力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解． 【详解】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，令球心为，与球的切点为， 则，， 依题意，，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有， 又，，（）， 所以绳的拉力为.    20．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【答案】（1）处受力的大小为，处受力的大小为；（2）位移，功 【分析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则，以点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，再由锐角三角函数计算可得； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，再求出其合力，则位移，所做的功为. 【详解】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 平面向量在几何及物理中的简单应用 （2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用向量证明线段垂直 典型例题二 用向量解决夹角问题 典型例题三 用向量解决线段的长度问题 典型例题四 向量与几何最值 典型例题五 向量在几何中的其他应用 典型例题六 解析法在向量中的应用 典型例题七 力的合成 典型例题八 速度、位移的合成 典型例题九 功、动量的计算 知识点一：平面几何中证明问题的具体转化方法 1、证明线段，可转化为证明； 2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； 3、证明两线段，只需证明数量积； 4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高三上·北京海淀·月考）已知，，能说明“存在、，使得对任意恒成立”是真命题的一组，的值为 ， ． 知识点二：向量在物理中的应用 1、向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 （1）速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （2）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （3）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 四、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 【即时训练】 1．（25-26高三上·广东·月考）某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 【典型例题一 用向量证明线段垂直】 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 1．（24-25高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 2．（2025高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 3．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【典型例题二 用向量解决夹角问题】 1．（24-25高二·全国·课后作业）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点，.试求的度数. 1．（24-25高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·模拟预测）已知向量满足，则 . 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【典型例题三 用向量解决线段的长度问题】 1．（2025·上海杨浦·二模）在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 2．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 4．（24-25高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【典型例题四 向量与几何最值】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点. (1)求向量与向量的夹角； (2)若O是线段上任意一点，求的最小值. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁·期中）设向量，，满足，，，则的最大值为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，对给定的向量，设的最大值为，最小值为，对任意的向量，求的最小值. 【典型例题五 向量在几何中的其他应用】 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    1．（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 2．（2025高三·全国·专题练习）设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知点O是内一点，，则 . 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，，，点是的外心．设，，试将向量用，表示． 【典型例题六 解析法在向量中的应用】 1．（2025·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 2．（24-25高一下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 1．（24-25高一下·重庆·期末）在四边形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江·期末）已知是平面内的三个单位向量，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·单元测试）已知正方形ABCD中，E是CD的中点，则向量与的夹角的余弦值为 . 4．（24-25高一·上海·课堂例题）已知均为正数，且．求证：． 【典型例题七 力的合成】 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取）    A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 1．（2024高一下·全国·专题练习）一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为 N，则两个力的合力的大小为（    ） A．5 N B． N C． N D． N 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．    4．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【典型例题八 速度、位移的合成】 1．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）已知河水自西向东流动的速度为，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为，求小船的实际航行速度． 1．（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 4．（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【典型例题九 功、动量的计算】 1．（24-25高一下·宁夏银川·月考）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，分别对质点所做的功．（力的单位：牛顿，位移单位：米） 1．（24-25高一下·江苏淮安·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（    ） A． B．23 C． D．19 2．（24-25高一下·广西·期中）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，作用于同一质点，由移动到点，合力对质点所做的功为 . 4．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．    (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功； (2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和； (3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？ 1．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2025高三·全国·专题练习）已知在直角梯形中，，，，，设是的中点，是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 4．（24-25高一下·福建泉州·月考）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 6．（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的值可能为（    ） A．6 B．3 C． D． 7．（24-25高一下·山东聊城·期中）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 8．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（    ） A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 9．（24-25高三下·云南·月考）已知平面向量，，满足，，，则的取值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．与不可能垂直 D． 11．（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 12．（2025高一·全国·专题练习）已知向量满足，，，则的取值范围为 ． 13．（24-25高一下·四川德阳·月考）设P为内一点，且，则 ． 14．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 15．（2024高一下·全国·专题练习）如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    16．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    17．（2025高三·全国·专题练习）若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值． 18．（25-26高一·全国·单元测试）如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：. 19．（24-25高一·全国·课后作业）如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    20．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 学科网（北京）股份有限公司 $