专题3.5 导数的综合应用（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数综合应用专题，涵盖函数零点、不等式恒成立与能成立、证明不等式、双变量问题等高考核心考点，按解题策略分层梳理知识点，通过考点系统梳理、方法分步指导、真题变式训练的教学流程，帮助学生构建导数问题的解题框架。 讲义以高考真题为导向，设计8类典型题型及分层变式练习，如双变量问题通过整体代换转化单变量培养数学思维，证明不等式时构造辅助函数发展推理能力，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题3.5 导数的综合应用（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、导数的综合应用 导数是高中数学的重要内容，导数的综合应用是高考必考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有：导数中的不等式恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、导数中的函数零点（方程根）问题等，这些问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，但主要以解答题为主，而在解答题中进行考查时试题综合性强，难度较大，需要灵活求解，二轮复习时要加强对这方面内容的训练. 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 导数的综合应用 新课标I卷：第19题，12分 新课标Ⅱ卷：第22题，12分 全国甲卷（文数）：第20题，12分 全国甲卷（理数）：第21题，12分 全国乙卷（文数）：第8题，4分 新课标I卷：第18题，17分 新课标Ⅱ卷：第11题，6分 全国甲卷（文数）：第20题，12分 全国甲卷（理数）：第21题，12分 全国一卷：第19题，17分 全国二卷：第18题，17分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，导数的综合应用的相关问题的考情将继续维持稳定态势。预测在选择题、填空题中考查概率较低，主要考查函数零点、不等式恒（能）成立问题，难度中档。大概率在解答题中考查，不等式恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、函数零点（方程根）问题依旧是考查核心，都有可能考查，此时试题综合性较强，试题难度较大。 知识点1 导数中的函数零点问题的解题策略 1．函数零点（个数）问题的的求解方法 (1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数. (2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点. (3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解. 2．导数中的含参函数零点（个数）问题 利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g(x)图象的交点问题. 3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 知识点2 不等式恒（能）成立问题的解题策略 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 2．双变量的恒（能）成立问题的求解方法 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有： 对于某一区间I， (1). (2). (3). 知识点3 导数中的不等式证明的解题策略 1．导数中的不等式证明的解题策略 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．移项构造函数证明不等式 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式. 3．分拆函数法证明不等式 (1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立. (2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，与lnx要分离，常构造与lnx，与的积、商形式.便于求导后找到极值点. 4．放缩后构造函数证明不等式 某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式， 等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明. 知识点4 导数中的双变量问题的解题策略 1．转化为同源函数解决双变量问题 此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解. 2．整体代换解决双变量问题 (1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子. (2)与极值点x1，x2有关的双变量问题：一般是根据x1，x2是方程f'(x)=0的两个根，确定x1，x2的关系,再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题. 3．构造函数解决双变量问题的答题模板 第一步：分析题意，探究两变量的关系； 第二步：合二为一，变为单变量不等式； 第三步：构造函数； 第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题； 第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤. 知识点5 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】 【例1】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)函数有两个零点，求实数的取值范围. 【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例2】（2025·全国·模拟预测）若对任意，满足 恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·广东汕尾·一模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【变式2-3】（2025·青海·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【题型3 利用导数研究能成立问题】 【例3】（2025·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【变式3-3】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调区间； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【题型4 利用导数证明不等式】 【例4】（2025·广东·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)当时，证明：. 【变式4-1】（2025·陕西汉中·一模）（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 【变式4-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：； (3)若，求实数的取值范围. 【变式4-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数，且曲线在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求的极值； (3)若，且，证明：. 【题型5 利用导数研究双变量问题】 【例5】（2025·湖南·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数，． (1)若存在零点，求a的取值范围； (2)若，为的零点，且，证明：． 【变式5-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【变式5-3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，记． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； (3)已知，且，求证：． 【题型6 导数中的极值偏移问题】 【例6】（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【变式6-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【变式6-2】（2025·上海杨浦·模拟预测）设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由； (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【变式6-3】（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【题型7 导数在实际问题中的应用】 【例7】（2025·陕西·模拟预测）将一个体积为的铁球切割成一个正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·辽宁辽阳·一模）已知球的半径为，则在球的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 【变式7-3】（2025·上海·模拟预测）如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省？ 【题型8 导数中的新定义问题】 【例8】（2025·江苏·三模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 【变式8-3】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 考点一 导数的综合应用 一、单选题 1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、解答题 3．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 10．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 导数的综合应用（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、导数的综合应用 导数是高中数学的重要内容，导数的综合应用是高考必考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有：导数中的不等式恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、导数中的函数零点（方程根）问题等，这些问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，但主要以解答题为主，而在解答题中进行考查时试题综合性强，难度较大，需要灵活求解，二轮复习时要加强对这方面内容的训练. 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 导数的综合应用 新课标I卷：第19题，12分 新课标Ⅱ卷：第22题，12分 全国甲卷（文数）：第20题，12分 全国甲卷（理数）：第21题，12分 全国乙卷（文数）：第8题，4分 新课标I卷：第18题，17分 新课标Ⅱ卷：第11题，6分 全国甲卷（文数）：第20题，12分 全国甲卷（理数）：第21题，12分 全国一卷：第19题，17分 全国二卷：第18题，17分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，导数的综合应用的相关问题的考情将继续维持稳定态势。预测在选择题、填空题中考查概率较低，主要考查函数零点、不等式恒（能）成立问题，难度中档。大概率在解答题中考查，不等式恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、函数零点（方程根）问题依旧是考查核心，都有可能考查，此时试题综合性较强，试题难度较大。 知识点1 导数中的函数零点问题的解题策略 1．函数零点（个数）问题的的求解方法 (1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数. (2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点. (3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解. 2．导数中的含参函数零点（个数）问题 利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g(x)图象的交点问题. 3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 知识点2 不等式恒（能）成立问题的解题策略 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 2．双变量的恒（能）成立问题的求解方法 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有： 对于某一区间I， (1). (2). (3). 知识点3 导数中的不等式证明的解题策略 1．导数中的不等式证明的解题策略 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．移项构造函数证明不等式 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式. 3．分拆函数法证明不等式 (1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立. (2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，与lnx要分离，常构造与lnx，与的积、商形式.便于求导后找到极值点. 4．放缩后构造函数证明不等式 某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式， 等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明. 知识点4 导数中的双变量问题的解题策略 1．转化为同源函数解决双变量问题 此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解. 2．整体代换解决双变量问题 (1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子. (2)与极值点x1，x2有关的双变量问题：一般是根据x1，x2是方程f'(x)=0的两个根，确定x1，x2的关系,再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题. 3．构造函数解决双变量问题的答题模板 第一步：分析题意，探究两变量的关系； 第二步：合二为一，变为单变量不等式； 第三步：构造函数； 第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题； 第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤. 知识点5 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】 【例1】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可 【解答过程】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A. 【变式1-1】（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用导数求出函数的单调区间，再由零点存在性定理判定零点个数即可. 【解答过程】, 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，所以当时，，无零点； 而，，且函数在上单调递增，故有一个零点. 故选：B. 【变式1-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）利用导数判断函数的单调性后可得函数极值，再结合函数性质计算即可得. 【解答过程】（1）， 则，又， 则函数在处的切线方程为， 即； （2），定义域为， 当时，，当时，， 则在、上单调递增，在、上单调递减， 当时，若时，则，若，则； 且； 当时，若时，则，若，则； 且； 若函数有两个零点，则有两解， 即有或. 【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）先求导函数，因为是函数的一个极值点，所以，解得，所以，再利用导数求解函数的单调区间； （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是分别验证函数有三个零点时，必有，反之验证当时，函数有三个零点，故函数有三个零点的充要条件为，进而得到的范围；②先利用极值点偏移证明，又由，故． 【解答过程】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得， 故，令，解得或， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 所以是函数的极大值点， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是而，，函数有三个零点时，必有解得． 当时，，又因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递增，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得． 所以满足题意． 所以实数的取值范围为． ②先证：． 要证，只需证，因为且在区间 上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证． 设，则，当时，，故，故在区间上单调递减，故.因此成立． 又因为，故． 【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例2】（2025·全国·模拟预测）若对任意，满足 恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先证明时，对任意，满足 恒成立，当时，将不等式变形为，设，，利用导数判断函数的单调性，由条件结合单调性可得恒成立，设，利用导数求函数的最小值，由此可得结论. 【解答过程】若，则对任意，，，， 所以对任意，不等式 恒成立， 若，则， 不等式可化为， 故，即， 由已知在恒成立， 令，，则，恒成立， 因为时，， 所以函数在上单调递增，又，， 所以恒成立，其中，， 即恒成立． 令，， 所以在上单调递增，则， 所以． 综上可得， 故选：B． 【变式2-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据与0关系分三种情况讨论，其中当时，再根据的最小值与0的关系分和两种情况讨论，当时，把在上恒成立，转化成在上恒成立，借助导数，求出在上的最大值，且即可求出m的取值范围. 【解答过程】函数的定义域为， ①当时，， 当时，，不符合题意； ②当时，取，则，不符合题意； ③当时，设， ， 则，当且仅当时取等号. （i）若，即，取， ，，不满足题意； （ii）若，即， 若在上恒成立，则需在上恒成立， 又 ， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故，解得，所以. 综上可知，. 故选：D. 【变式2-2】（2025·广东汕尾·一模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）求出函数的导函数，由求出的值，再检验即可； （2）由题意在上恒成立，则 ，结合（1）中函数的单调性求出，即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当或时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极小值，所以符合题意. （2）由题意在上恒成立，所以只需 ， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 【变式2-3】（2025·青海·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【解题思路】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【解答过程】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 【题型3 利用导数研究能成立问题】 【例3】（2025·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把问题转化为：存在，使得成立，再设，，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【解答过程】由 ， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由 ， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则 ， 由 ；由 ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过同构，令得到，通过确定单调性，得到，问题转化成，在有解，进而可求解. 【解答过程】由题意可得： ，即， 令，即存在使得， 构造，， 由，可得，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 所以，即存在，使得， 参变分离得到， 令， 易得当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为，当时，， 所以的值域为：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【变式3-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 【变式3-3】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调区间； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)或. 【解题思路】（1）求出的导函数，研究单调性，即可得到函数的最小值； （2）对参数a分类讨论，明确函数的单调区间； （3）原问题等价于在区间上存在一点，使得，即求函数的最小值即可. 【解答过程】（1）的定义域为， 当时，，， 令得，令得，令得， 所以的单调递增区间为，递减区间为， 所以在处取得最小值. （2）， 则， ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增. 综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，不存在减区间. （3）在区间上存在一点，使得成立， 即在区间上存在一点，使得， 即函数在上的最小值小于等于零. 由（2）可知 当，即时，在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，满足， 所以； 当，即时，在上单调递增. 所以最小值为，由可得，满足， 所以； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可得最小值为，因为，所以， 故，此时不成立. 综上讨论可得所求的范围是：或. 【题型4 利用导数证明不等式】 【例4】（2025·广东·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导数得切线斜率，点斜式可求切线方程； （2）移项构造新函数，求导判断单调性可求最值，进而可证不等式； （3）移项作差，构造新函数，利用导数判断单调性，求出最值可证结论. 【解答过程】（1）依题意，，则， 而， 故， 故所求切线方程为. （2）证明：要证，即证， 设，则， 令，则， 因为，所以，因此单调递减， 又，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故， 即，即得证. （3）证明：依题意，,即， 即，即. 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故， 令，则， 令，则， 令，解得，， 所以当和时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 且，， 因此当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即； 故当时，，即得证. 【变式4-1】（2025·陕西汉中·一模）（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 【答案】（1）递增区间为，无递减区间；（2）证明见解析 【解题思路】（1）求导，再根据导数的符号即可得解； （2）由，得，则要证，只需证明，令，构造函数，求出函数的最小值即可得证. 【解答过程】（1）， 求导得， 由，得， 令函数，则， 函数在上单调递增， 则当时，，即， 因此函数在上单调递增， 所以函数在上的递增区间为，无递减区间； （2）由，得， 则要证，只需证明， 令，即证， 令，求导得， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 又， 则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则， 所以当时，. 【变式4-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由并对其求导，根据其区间符号确定函数的区间单调性，进而求其最小值； （2）应用放缩及分析法，将问题化为证明上即可； （3）由题设恒成立，构造，应用导数及分类讨论研究其在的单调性，判断函数的符号，即可得参数范围. 【解答过程】（1）因为， 所以， 因为，所以，故在上单调递增， 所以的最小值为； （2）因为，所以，所以，即， 要证，而，只需证，即证， 设，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以，得证. （3）由，即， 令，且、在上单调递减， 所以在上单调递减，， 当，即时，在上单调递减，，满足； 当，即时，，又时， 当时，，则存在，使得， 当时，，所以在上单调递增，则，不满足， 当时，，在上，在上单调递增，则，不满足， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式4-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数，且曲线在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求的极值； (3)若，且，证明：. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据极值的定义即可求解； （3）构造函数，，证明，构造，，证明，最后根据不等式的基本性质即可求解. 【解答过程】（1）由题意可得.         因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以，解得. （2）由（1）得，，     令，解得或， 当时，，则在和上单调递增；     当时，，则在上单调递减.         故的极大值为，极小值为. （3）由（2）知. 设函数，，，     则在上恒成立，即在上单调递增， 故，即在上恒成立，         因为，所以.         因为，，且在上单调递减， 所以，即.             设函数，，，     则在上恒成立，即在上单调递增， 故，即在上恒成立，         因为，所以，         因为，，且在上单调递增， 所以，即.   又，所以， 则，即. 【题型5 利用导数研究双变量问题】 【例5】（2025·湖南·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）根据方程根的情况，结合导数的性质、函数的定义域分类讨论进行求解即可； （2）根据极值点的定义，结合（1）的结论，通过构造新函数，利用导数判断新函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】（1）由函数的解析式可知， ， ①若，则恒成立，在上单调递增， ②若，则由，得或； 由，得． 在上单调递减，在和上单调递增， ③若，则由，得； 由，得． 在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）是方程的两个根，， ，且，所以， ， 令，则． 在上单调递减， ， 的最小值为. 【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数，． (1)若存在零点，求a的取值范围； (2)若，为的零点，且，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）利用导数求出函数的最小值，解不等式即可求解； （2）由零点的定义可得，只需证，令，利用导数证明不等式即可. 【解答过程】（1）的定义域为， 令，即，等价于， 设，则（）， 令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则的最小值为，， 要使得存在零点，则， 即，得． （2）由为的零点，得， 即，即 两式相减得，即. 要证当时，， 只需证，只需证，， ，． 令，，只需证， ，则在上单调递增， ∴，即可得证. 【变式5-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导，分类讨论函数的单调性. （2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解. 【解答过程】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 【变式5-3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，记． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； (3)已知，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1），对其求导，对实数进行分类讨论进行求解； （2）令，由对任意，存在，使得，得，进行求解； （3）由（1）知，，由，得，要证，即证，即证，即证，令，即证，令，利用导数判断单调性进行证明． 【解答过程】（1）， 则， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 综上知， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，， 令，则， 则， 由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 得， 由对任意，存在，使得， 得， 即， 得， 因为，所以， 故实数的取值范围为： （3）已知，且，由（1）知，， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 得， 得， 得， 要证，即证， 即证， 即证， 因为，所以， 即证， 即证， 即证， 令， 即证， 令， 得， 则函数在上单调递增， 得， 即得证， 故命题得证． 【题型6 导数中的极值偏移问题】 【例6】（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）令，根据的单调性以及，得出，然后令，， 通过二次求导证明出，结合即可得证. 【解答过程】（1）依题意，，，则， 而，故所求切线方程为. （2）依题意，的定义域为， 令，得， 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 若，则当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）（3）证明：令，则， 令，故， 令，解得． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即在区间上单调递减，且． 又，所以， 令，， 则，， 令，， 则， 所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即 所以函数在区间上单调递减，且时，，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，即． 【变式6-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1)的零点为0；在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数分析的单调性，可得到在上有唯一零点.利用的单调性得到及的解，从而得到判断的单调性； （2）（i）构造新函数，通过分析新函数的单调性，结合的单调性证得，即； （ii）构造新函数，根据新函数的单调性分析，结合的单调性证得，即． 【解答过程】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 【变式6-2】（2025·上海杨浦·模拟预测）设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由； (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)既不左偏移，也不右偏移，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用二次函数求解零点和极值点，即可得出判断； （2）利用三次函数求解零点和极值点，再用作差法比较大小，也可得出判断； （3）利用分析法，再借助，可转化证明，然后构造，证明其单调性，从而问题得证； 方法二：利用分析法，把要证明的不等式，利用零点性质转化证明，从而问题得证. 【解答过程】（1）由零点为极值点为， 由于，所以极值点既不左偏移，也不右偏移． （2）因为，其中且， 因此在内的零点为1和． 而，， 因此在内的极值点为． 此时， 而，由于， 因为，所以，即， 则函数在上的极值点右偏移得证． （3）先考虑有两个零点，此时． 设，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 而当时，时， 所以结合图像， 有两解时，的取值范围是，此时的两个零点． 再考虑极值点，， 当时，有解， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 因此有唯一极值点，并且． 要证明，即证明，因为，所以， 又因为在上单调递减， 所以只需要证明， 又因为，所以只需要证明， 构造 ，由于， 则， 即在区间上单调递减，且，即在上恒有， 则， 所以原不等式得证， 因此函数在上的极值点左偏移． 解法二：由， 可得． 欲证，即证，即证． ， 不妨设，令， 于是， 此时即证：当时，． 令，求导并整理，得， 因此函数在区间上单调递增， 其值域为，而， 因此当时，，即， 从而得证，即函数在上的极值点左偏移． 【变式6-3】（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增． (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）求导，由导数符号即可求解； （2）（i）由题意知，问题转换成有两根，通过取对数，同构，构造函数，通过其单调性即可求解；（ii）构造函数，通过求导，确定单调性，确定最值，即可求解； 【解答过程】（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 【题型7 导数在实际问题中的应用】 【例7】（2025·陕西·模拟预测）将一个体积为的铁球切割成一个正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，由球体积求得球半径，根据边长、高、外接球半径关系及棱锥体积公式得到零件体积关于的函数，利用导数求体积最大值. 【解答过程】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为， 由球的体积为，则，解得， ，即，故， 正三棱锥的体积为：， ， 由得：，此时函数单调递增， 由得：，此时函数单调递减， 当时，取得最大值，且最大值为. 故选：B. 【变式7-1】（2025·辽宁辽阳·一模）已知球的半径为，则在球的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设球的内接圆锥的底面半径为，取圆锥的轴截面，取线段的中点，连接，设，则，可得出，，设圆锥的体积为，求出函数的解析式，利用导数求出函数取最大值时对应的值，即可求得对应的值，即为所求. 【解答过程】如下图所示，设球的内接圆锥的底面半径为， 显然当球心在圆锥的内部时，圆锥的体积才会最大， 取圆锥的轴截面，取线段的中点，连接，则，且在线段上， 设，则，且，， 设圆锥的体积为， 则， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，函数在时取最大值，此时，. 故选：A. 【变式7-2】（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 【答案】 【解题思路】根据条件确定函数关系式，由函数的最值与函数的导数的关系，求出该函数的最大值即可. 【解答过程】分公司一年的利润 (万元)与售价的函数关系式为， 所以， 令，即，解得或（舍）， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在单调递减， 又因为结果精确到1元，且当时，，且当时，， 于是：当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大. 故答案为：9. 【变式7-3】（2025·上海·模拟预测）如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省？ 【答案】 【解题思路】设点距点， 得到，且，再设总的水管费用为元，求得，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【解答过程】据题意知， 只有点在线段上某一适当位置，才能使总运费最省， 设点距点， 如图所示， 则， 所以， 再设总的水管费用为元，则， 可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，也是最小值， 所以函数在处取得最小值，此时， 故供水站建立在之间距甲厂处，可使水管费用最省. 故答案为：20. 【题型8 导数中的新定义问题】 【例8】（2025·江苏·三模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导，解方程，即可得出结论. 【解答过程】因为，则，且，， 由题意可得，可得，解得， 因此，函数在区间上的“中值点”的个数为. 故选：C. 【变式8-1】（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用导数求出函数的极值点，再逐一判断各个选项即可. 【解答过程】，则， 令，则， 如图，作出函数的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 即函数有两个零点，且， 令，则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为. 对于A，函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符； 对于B，函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符； 对于C，， 当或时，，当时，， 所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意； 对于D，， 则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符. 故选：C. 【变式8-2】（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）令，依题意知，对任意的恒成立，利用分离参数法求解即可； （2）分和两种情况讨论，求出函数的单调区间及极值，进而可得出答案. 【解答过程】（1）， 则， 依题意知，对任意的恒成立，则恒成立， 令， 则， 故在上单调递增，故， 则实数的取值范围为； （2）依题意得，， 若，当时，， 所以在上无零点，舍去； 若，则，令， 则，则在上单调递减，且， ①若，即，此时， 则存在，使得，即， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且， 所以存在唯一的，使得，满足条件； ②若，即，此时在上单调递减， 又，所以，不合题意，舍去， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式8-3】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1），，利用导数判断其单调性后可证函数，与“具有性质”. （2）根据函数具有性质得，令，，利用极值点偏移的方法可证，故可得原不等式成立； （3）令， ，利用导数可证在前者为减函数，后者为增函数，再结合不等式的性质可证函数与“具有性质”. 【解答过程】（1）令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 考点一 导数的综合应用 一、单选题 1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【解答过程】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 上单调递增， 在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 二、多选题 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解题思路】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【解答过程】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD. 三、解答题 3．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【解答过程】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 ， ， ， 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解题思路】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【解答过程】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意 ， 所以. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【解答过程】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解题思路】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【解答过程】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见详解（2） 【解题思路】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果； （2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解. 【解答过程】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【解答过程】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 10．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析. (2) 【解题思路】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【解答过程】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减； （2）设， 设， ， 所以. 若,， 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若， 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $