专题3.4 导数的应用：单调性、极值与最值（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题3.4 导数的应用：单调性、极值与最值（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数与导函数图象问题】 1 【题型2 利用导数判断单调性、求单调区间】 4 【题型3 由函数的单调性求参数】 6 【题型4 导数中函数单调性的应用】 9 【题型5 利用导数求函数的极值】 11 【题型6 根据极值（点）求参数】 14 【题型7 利用导数求函数的最值】 16 【题型8 已知函数最值求参数】 19 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 函数与导函数图象问题】 1．（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【解答过程】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 2．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【解题思路】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【解答过程】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D. 3．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 【答案】C 【解题思路】根据的图象，可得的正负情况，得的单调性，结合极值点的概念判断各个选项. 【解答过程】根据的图象，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，仅， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对A，左右两侧导函数符号不变，故A错误； 对B，在内有增有减，故B错误； 对C，的单调递减区间是，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】D 【解题思路】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【解答过程】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值.故ABC错误，D正确. 故选：D. 【题型2 利用导数判断单调性、求单调区间】 5．（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由奇函数的性质和导数逐一判断即可. 【解答过程】对于A，由题意可得，解得，所以定义域为， 又，所以为减函数，故A错误； 对于B，，， 二者不相等，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，定义域需满足，即，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，定义域为， ，为奇函数； ，为增函数，故D正确. 故选：D. 6．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，根据导数为负即可求解. 【解答过程】的定义域为， ， 令，解得， 故的单调递减区间为， 故选：B. 7．（2025·河南鹤壁·模拟预测）设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)，； (2)的单调递增区间为,；单调递减区间为. 【解题思路】（1）求得，根据二次函数对称性，以及，即可求得； （2）根据（1）中所求解析式，判断的正负，即可判断原函数单调性，从而求得单调区间. 【解答过程】（1）因，故 ． 因为的图象关于直线对称，即，解得． 又由于，即，解得； 故. （2）由知， ． 令，即，解得． 当时，，故在上为增函数； 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数． 综上所述，的单调递增区间为,；单调递减区间为. 8．（2025·江苏南京·二模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导数，按，，，分类讨论即得函数的单调性. 【解答过程】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 【题型3 由函数的单调性求参数】 9．（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 10．（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二次函数的性质，求得函数在上不单调时，求得的取值范围，再由导数求得函数在上不单调时，求得的取值范围，进而得到答案. 【解答过程】由函数的对称轴为， 若在上不单调，则满足，解得； 又由函数，可得， 若在上不单调，则满足，解得， 所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 11．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先对函数求导，令导数等于0，求出增减区间，进而得到或，即可求得结果. 【解答过程】由已知得，当时，令，得， 令，解得；令，解得； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以若在区间上单调，则需满足或，即或， 所以的取值范围是 故选：B. 12．（2025·陕西西安·一模）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】函数在上不单调，意味着其导数在该区间内有正有负，即在内有零点，将分离参数为，通过构造函数，求与0的大小，得到的单调性，从而求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【解答过程】，，在上不单调， 在上有变号零点， 即存在， 使得， 在上有解，在上有解， ，，， ，即，解得，在上是增函数； ，即，解得，在上是减函数. 又，，，， 在上有解，， 当时，，设，， 当，解得，得在上是增函数； 当，解得，得在上是减函数. 则在处取最小值为，在上恒成立，即在上恒成立，得到在是增函数，不满足题意，说明不满足题意，同理也不满足题意，综上可得. 故选：B. 【题型4 导数中函数单调性的应用】 13．（2025·广东肇庆·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，利用导数研究单调性得，进而判断大小，令，利用导数研究单调性得，即可比较大小，进而求解. 【解答过程】令，所以，令有， 当，所以在单调递增，在单调递减， 所以，即，所以，即； 令，所以，当， 所以在单调递增，在单调递减，所以， 所以，即； 综上所述，. 故选：B. 14．（2025·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，利用导数得到在各区间的符号，再分类讨论即可解出不等式. 【解答过程】构造，则， 因为当时，，则此时，单调递增， 则的正负符号由决定， 又因为，则，因为在上单调递增， 则当时，，所以此时， 当时，，所以此时， 又因为为上的奇函数，则当时，，则， 当时，，则， 且， 则若，则或 即或，解得或， 综上，的解集为. 故选：D. 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系. 【解答过程】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 16．（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，根据条件得在区间上单调递减，从而可得，即可求解. 【解答过程】令，则， 因为，则，所以， 则在区间上单调递减， 又，由，得到，所以， 解得， 故选：D. 【题型5 利用导数求函数的极值】 17．（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【答案】C 【解题思路】求导，根据极值点可得或，即可代入导数中，确定函数单调性，得函数的极值点求解. 【解答过程】由题意可得， 由于是极小值点，故，或    , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C. 18．（2025·江苏·三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（   ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】C 【解题思路】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【解答过程】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C. 19．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 【答案】(1)，. (2)递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 【解题思路】（1）先根据导数的运算法则求出；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求解. （2）令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值. 【解答过程】（1）由可得： ，， 则. 由直线方程可得：直线斜率为：. 因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以，解得：. 故，. （2）由（1）可得，. 令，得； 令，得； 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有极小值. 故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 20．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 【答案】(1)极小值为1，无极大值 (2) 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据函数的极值与导数的关系，即可求得答案； （2）先判断出，即可将方程有两个不等实根，转化为与有2个交点的问题，结合函数的导数判断函数单调性，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，定义域为R，， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为，无极大值． （2）方程，当时，显然方程不成立， 所以，则，方程有两个不等实根， 即与的图象有2个交点， ，当或时，， 在区间和上单调递减，且时，， 当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得极小值也即最小值，， 所以与有2个交点时，， 故a的取值范围为． 【题型6 根据极值（点）求参数】 21．（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解题思路】由已知得，令，得，判断单调性，根据极小值求出参数的值. 【解答过程】由已知得，令，得， 当时，单调递减， 当或时，单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：A. 22．（2025·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导后分的取值范围讨论函数的单调性，当，求出函数的隐零点，即可求出极大值点从而得到，再次构造函数，利用导数分析单调性可得. 【解答过程】， 当时，，在定义域上单调递减，无极值点， 当时，，在定义域上单调递增，无极值点， 当时，因为，， 而在单调递减，所以存在，使， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 于是是在上的极大值点， 此时，即， 由题意，，即， 设，则， 于是在上单调递增，又， 所以，. 故选：C． 23．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由极值点的定义，将问题等价于导函数求零点，利用导数与函数单调性的关系，可得答案. 【解答过程】由，求导可得， 由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解， 即方程存在唯一解， 令，求导可得，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，则，当时，， 易知当，即时，方程存在唯一解， 当时，，易知方程的解为， 由当时，，，则，同理可得当时，， 所以此时函数无极值点，不符合题意； 当时，，易知函数在上单调递增，符合题意. 故选：B. 24．（2025·浙江台州·二模）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求得，分析可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以， 因为函数既有极大值，又有极小值， 则关于的方程有两个不等的正根、， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【题型7 利用导数求函数的最值】 25．（2025·陕西渭南·二模）函数的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分，，三种情况结合导数分析函数单调性求解即可. 【解答过程】当时，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，， 函数在上单调递增，则； 当时，， 则，函数在上单调递增， 则. 综上所述，函数的最小值为6. 故选：A. 26．（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先对原函数求导，根据已知条件求出的值，进而求出原函数的表达式，再利用基本不等式或二次函数的性质求导函数的最小值. 【解答过程】因为在时取极小值， 所以在处成立. 即：，所以. 当时，， 当时，，当时，， 所以在时取得极小值，故. 所以原函数表达式为：. 导函数的表达式为： 因为，所以根据基本不等式. 所以的最小值为：. 故选：C. 27．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【解答过程】（1）依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 28．（2025·新疆·模拟预测）已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为17，最小值为1； (2) 【解题思路】（1）求导，得到函数单调性，进而得到极值和端点值，比较后得到最值； （2）求导，参变分离得到在上恒成立，由基本不等式求出最值，得到答案. 【解答过程】（1）时，，， ， 在区间上，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 所以在上的最大值为17，最小值为1； （2）， 在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立 故，从而实数的取值范围为. 【题型8 已知函数最值求参数】 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析可知函数在取极小值，可得出，则，利用导数分析函数的单调性，结合可求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【解答过程】函数的定义域为，且， 由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则， 所以， 即， 当时，对任意的恒成立，，不合乎题意； 当时，由可得，由可得, 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意. 所以，由题意可得，则，解得， 因此，. 故选：C. 30．（2025·全国·模拟预测）已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】利用导数分析得的单调性，则得到不等式组，解出的范围，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【解答过程】， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且. 若在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点， 且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即， 由得，即，分解因式得，解得， 联立，解得， 又因为是的真子集， 是的必要不充分条件. 故选：C. 31．（2025·广东河源·模拟预测）已知函数的最小值为0，则 ． 【答案】 【解题思路】根据给定的条件，利用同构变形并构造函数，借助函数的单调性转化成求函数的最小值. 【解答过程】依题意，对于恒成立，且能取得等号， 即对于恒成立，且能取得等号， 函数在上单调递增，不等式为， 则，即，因此在上恒成立，且能取得等号， 设，于是是函数在上的最小值， 求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，且， 所以. 故答案为：. 32．（2025·贵州贵阳·三模）已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 . 【答案】 【解题思路】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得的最值. 【解答过程】令，则，所以， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故当时，取得最小值， 故当，即时，函数的最小值恰好为0， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以的最小值为. 故答案为：. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·河南·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数在上单调递减可知在上恒成立，进而利用二次函数的性质求解即可. 【解答过程】由题知在上恒成立，所以，得. 故选：D. 2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导函数图象和极值点关系即可得到答案. 【解答过程】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 3．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】令，构造，应用导数及分类讨论研究函数的最值，结合已知最小值求参数即可. 【解答过程】令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减，显然无最小值，不符； 当时，令，则， 若，时，，则在上单调递增，故，不符； 若，时， 在上，即在上单调递减， 在上，即在上单调递增， 所以，则， 可得，又，可得； 综上，. 故选：A. 4．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【解答过程】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 5．（2025·辽宁葫芦岛·二模）函数的极小值点为（   ） A．0 B． C．5 D． 【答案】B 【解题思路】求得，得到函数的单调性，结合极小值点的定义，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，即为函数的极小值点. 故选：B. 6．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得恒成立，进而分，两种情况讨论求解即可. 【解答过程】由， 得， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则. 故选：C. 7．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，即可得出、、的大小关系. 【解答过程】构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 因为，且，，， 因此. 故选：C. 8．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 【答案】D 【解题思路】利用导数分析函数的单调性即可判断AB；结合零点存在性定理及函数的单调性判断C；由，进而结合函数的单调性判断D. 【解答过程】由，则， 令，得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故A错误； 而，故B错误； 由，且时，， 根据零点存在性定理及函数的单调性可知，只有一个零点，故C错误； 由， 因为函数在上单调递减，且， 所以，故D正确. 故选：D. 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，并得到恒成立，再令，求出，分，和三种情况进行分析，得到时，满足0是的极小值点，求出的取值范围. 【解答过程】， 因为是函数的极小值点，所以恒成立， 令，则， ， 当时，，即在附近单调递增， 又，所以当时，在附近， 当时，在附近，满足0是的极小值点； 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减，又， 所以当时，在附近， 当时，在附近， 此时0是的极大值点，不符合题意． 综上所述：的取值范围为． 故选：D. 10．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，整理可得，解得或. 故选：D. 二、填空题 11．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数有两个极值点，若，则实数k的值为 . 【答案】 【解题思路】由题意得，结合，依次求得即可. 【解答过程】对求导，得， 因为函数有两个极值点，则， 即，所以，解得，， 所以. 故答案为：. 12．（2025·吉林长春·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且对都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】根据题意，构造新函数，分析新函数的单调性，从而得到不等式的解集. 【解答过程】令，，则. 因为对都有，所以，所以函数在上单调递增. 因为，所以不等式，即的解集为. 故不等式的解集为. 故答案为：. B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的形式构造新函数，根据的形式构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，利用单调性进行运算判断即可. 【解答过程】构造新函数， 当时，，函数单调递减， 于是由， 所以有， 所以， 构造新函数， 当时，，函数单调递增， 由， 故，所以，故， 故选：D. 2．（2025·四川达州·一模）已知定义在上的函数满足，当时，，则当时，的极大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由对称条件，设，则，代入已知表达式得到，再根据反推出时的解析式，接着对该函数求导，找驻点并判断单调性，确定极大值点，最后代入计算极大值. 【解答过程】当时，，由及时， 可得：， 则，故， 对求导得：， 令，解得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 故为极大值点，极大值为， 综上，极大值为. 故选：C. 3．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，然后判断的单调性和奇偶性，然后将不等式变形并求出不等式的解集即可. 【解答过程】令，则. 所以，所以是偶函数. 当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 即. 因为是偶函数，所以. 又在上单调递增，所以. 两边平方得，解得. 故选：A. 4．（2025·云南·三模）设函数，，若存在，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，得到，又由，得到在上单调递增，得到，令，求得，令 ，求得，得到在上单调递减，且，进而得到的单调性和极值（最值），即可求解. 【解答过程】由，可得，所以，又由，所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 令，则， 令 ，则，可得， 所以在上单调递减，且， 当时，，，则在上单调递增； 当时，，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，所以. 故选：A． 二、解答题 5．（2025·黑龙江·一模）设函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为增函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）法一：参变分离得到在上恒成立，构造函数求最值即可；法二：构造函数，通过分类讨论求最值即可求解； 【解答过程】（1）当时，， 所以，，， ∴曲线在处的切线方程为， 整理得，， ∴曲线在处的切线方程为. （2），， 是增函数，即在上恒成立， 方法一：即在上恒成立，所以， 设，，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴当时，取得极大值，也是最大值， ∵，∴的取值范围是. 方法二：即在上恒成立，所以， 设，，则，， ①若，则，在上单调递增， 当趋近于0时，趋近于，即不恒成立， 所以在上不单调递增，与题意不符，舍去. ②若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则当时，取得极小值，也是最小值， ∴，解得， ∴的取值范围是. 6．（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式求出切线方程； （2）分，，，四种情况讨论，结合导函数正负得出函数单调性. 【解答过程】（1），， ，， 切线方程为，即. （2），. ①当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. ②当时， 当时，，， 当时，，，时等号成立， 所以在上单调递增. ③当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. ④当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在上单调递减. 7．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围： (3)若存在两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可； （3）设，则，将所证不等式转化为，令，利用导数可求得，由此可证得结论. 【解答过程】（1）由，则， 而，则， 则曲线在处的切线方程为. （2），又在区间上单调递减， 在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数在上单调递增，则， ，即实数的取值范围是. （3）由，， 因为存在两个极值点， 则满足，即， 不妨设，则. ， 则要证，即证， 又，，则， 即证，即证成立. 设函数，， 则， 在单调递减，又，则， ，即. 8．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）利用导数法求单调性，利用单调性得到极大值也是最大值，利用最大值小于0得到所求； （2）通过构造函数，利用单调性得到证明； （3）由在时有最小值，通过构造函数，利用单调性，通过分类讨论求出的范围. 【解答过程】（1）由题可得的定义域为，， 当时，恒成立，单调递增，且，故不符题意， 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取到极大值也是最大值为， 由可得即可，解得， 故实数的取值范围为. （2）设，其中. 则， 故在上均为增函数，故， 故在上恒成立， 而当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数，故， 故，故， 所以. （3）函数， 令，， 若即，在上存在零点， 故在上有最小值0. 若，则， 设，则 ， 当即时，即在单调性递减， 而，在上恒成立，故在在上为减函数， 故， 故在上无最小值. 若，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，而， 若，则，故在上恒成立， 故在上为增函数，而，， 故此时在上无最小值. 若，则， 故在上存在零点，当时，， 当时，，故在上为增函数，在为减函数， 故. 若，则，此时，符合题意； 若，则，故在存在零点，故，符合题意. 综上，或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 导数的应用：单调性、极值与最值（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数与导函数图象问题】 1 【题型2 利用导数判断单调性、求单调区间】 3 【题型3 由函数的单调性求参数】 3 【题型4 导数中函数单调性的应用】 4 【题型5 利用导数求函数的极值】 4 【题型6 根据极值（点）求参数】 5 【题型7 利用导数求函数的最值】 6 【题型8 已知函数最值求参数】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 函数与导函数图象问题】 1．（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 2．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 3．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 4．（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【题型2 利用导数判断单调性、求单调区间】 5．（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南鹤壁·模拟预测）设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 8．（2025·江苏南京·二模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 【题型3 由函数的单调性求参数】 9．（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 10．（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·陕西西安·一模）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 导数中函数单调性的应用】 13．（2025·广东肇庆·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用导数求函数的极值】 17．（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 18．（2025·江苏·三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（   ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 19．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 20．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 【题型6 根据极值（点）求参数】 21．（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 22．（2025·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·浙江台州·二模）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型7 利用导数求函数的最值】 25．（2025·陕西渭南·二模）函数的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 26．（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值． 28．（2025·新疆·模拟预测）已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【题型8 已知函数最值求参数】 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·全国·模拟预测）已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 31．（2025·广东河源·模拟预测）已知函数的最小值为0，则 ． 32．（2025·贵州贵阳·三模）已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 . A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·河南·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 4．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁葫芦岛·二模）函数的极小值点为（   ） A．0 B． C．5 D． 6．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数有两个极值点，若，则实数k的值为 . 12．（2025·吉林长春·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且对都有，则不等式的解集为 . B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川达州·一模）已知定义在上的函数满足，当时，，则当时，的极大值是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·三模）设函数，，若存在，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2025·黑龙江·一模）设函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为增函数，求的取值范围. 6．（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 7．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围： (3)若存在两个极值点，证明：． 8．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $