专题3.6 导数的综合应用（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题3.6 导数的综合应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】 1 【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题】 2 【题型3 利用导数研究能成立问题】 3 【题型4 利用导数证明不等式】 3 【题型5 利用导数研究双变量问题】 4 【题型6 导数中的极值偏移问题】 5 【题型7 导数在实际问题中的应用】 6 【题型8 导数中的新定义问题】 8 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数恰有三个不同零点，求实数的取值范围. 4．（2025·广东汕头·三模）已知函数，为的导函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题】 5．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 8．（2025·四川泸州·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【题型3 利用导数研究能成立问题】 9．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西安康·模拟预测）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 12．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【题型4 利用导数证明不等式】 13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，． (1)若，证明：； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 14．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 15．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若函数恰有三个极值点，求的取值范围． 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若至多有一个零点，求实数的取值范围； (3)对于，证明：. 【题型5 利用导数研究双变量问题】 17．（2025·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·四川广安·模拟预测）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·甘肃白银·三模）已知函数，且曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值. (2)当时，证明：当时，. (3)当时，若存在，使得成立，证明：. 20．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【题型6 导数中的极值偏移问题】 21．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．个 B．个 C．个 D．个 23．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 24．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【题型7 导数在实际问题中的应用】 25．（2024·江苏连云港·模拟预测）现有一个表面积为的实心球，若将其打磨成一个圆锥，则圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 27．（2025·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 28．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 【题型8 导数中的新定义问题】 29．（2025·河南新乡·二模）曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·全国·模拟预测）定义：对于二元函数，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量，若存在，则称为在点处对的偏导数，记为；同理可定义函数在点处对的偏导数为，记为．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 31．（2025·云南·模拟预测）定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“函数”． (1)若为“函数”，求实数的取值范围； (2)已知函数有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：为“函数”． 32．（2025·河北·模拟预测）若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数．则抛物线上的各点处的曲率最大值为（    ） A． B．p C． D． 4．（2025·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·江苏南通·模拟预测）设正六棱锥的底面中心为，若该棱锥的侧棱均与以为球心，半径为1的球相切，则该棱锥体积的最小值为 . 8．（2025·全国·模拟预测）设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为 ． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（2025·山东青岛·模拟预测）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·模拟预测）如果函数在区间D上有定义，且对，，均有，则称D为的“平稳区间”.已知函数有“平稳区间”，则a的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 5．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则（   ） A． B． C． D．与无法比较大小 二、解答题 7．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 8．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 10．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，求的值. (2)设是的三个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 11．（2025·云南·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上存在唯一零点，求a的取值范围； (3)函数有两个极值点为，若，求的最大值． 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 导数的综合应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】 1 【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题】 5 【题型3 利用导数研究能成立问题】 7 【题型4 利用导数证明不等式】 11 【题型5 利用导数研究双变量问题】 17 【题型6 导数中的极值偏移问题】 23 【题型7 导数在实际问题中的应用】 29 【题型8 导数中的新定义问题】 33 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数有且只有一个零点，将其转化为函数的图象与直线有且只有一个交点，求导判断函数的单调性，求出其最小值，即得参数的值. 【解答过程】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. 2．（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】利用导数研究函数的单调性，进而得函数的极值，即可得函数的零点个数. 【解答过程】，， 令，得或；令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 所以函数的零点个数为2． 故选：C． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数恰有三个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出，根据导数的几何意义求出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可； （2）由题可得，令，利用导数求出的单调性和极值，函数恰有三个不同零点，即与有3个不同交点，结合图象分析即可求解. 【解答过程】（1）当时，，， 所以， 所以切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，可得， 令， 函数恰有三个不同零点，则函数图象的与直线有3个不同交点， ， 令，解得或， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 且，， 作出函数的大致图象， 所以.    4．（2025·广东汕头·三模）已知函数，为的导函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在单调递增； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【解题思路】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性； （2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围； （ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明. 【解答过程】（1）当时，，函数的定义域为， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，，所以. 设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以. 【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题】 5．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【解答过程】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 6．（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构可得即在上恒成立，设，利用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围. 【解答过程】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 7．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）分离参数，令，根据导数求得最小值，结合题意即可求解. 【解答过程】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 8．（2025·四川泸州·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出该点的函数值与函数在该点的导数值，再利用点斜式直线方程化简求解即可． （2）要使恒成立，只需，令，求导结合零点存在定理得的单调区间，进而求得在上的最小值即可得解． 【解答过程】（1）已知，将代入函数可得． 又， 将代入导数中，得到切线的斜率． 已知点，斜率，代入可得切线方程，即． （2）要使恒成立，只需． ，则． 令，． 因为时，，所以，即在上单调递增． 又， ， 所以存在，使得． 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增． 由上述分析可知，在处取得最小值，即． 因为，即，整理得， 两边同时除以，可得，即， 将代入中： 所以，要使对恒成立，只需． 【题型3 利用导数研究能成立问题】 9．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【解答过程】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D. 10．（2025·陕西安康·模拟预测）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将原不等式变形为，令，则，然后利用导数判断出在上递减，所以将问题转化为在上有解，即在上有解，再构造函数，利用导数求出其小大值即可. 【解答过程】由，得， 所以， 令，则可化为， ，令，则 ，令，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以在上递减， 所以在上有解， 所以在上有解， 令，则， 由，得，得， 由，得，得， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：D. 11．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (2) 【解题思路】（1）对函数求导，对参数分类讨论，根据导数判断函数单调性； （2）结合（1）进而求得函数的最大值，再结合不等式求解参数取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域， 对函数求导得， ①当时，，因为，所以，则， 函数在上单调递增. ②当时，令，即，解得（舍）或， 当，所以，则，函数单调递增. 当，所以，则，函数单调递减. ③当时，令，即，解得（舍）或， 因为，所以，则，函数在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增， 所以当，，则存在，使成立. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 所以 ， 若存在，使，即 令， 求导， 令，， 令，解得或（舍）， 当，，函数单调递增. 当，，函数单调递减. 所以有最大值， 可知，在单调递减，且，当，， 当时，. 综上，实数的取值范围. 12．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【解题思路】（1）对函数求导，由求参数，进而研究函数的单调区间； （2）问题化为在上能成立，利用导数求的最大值，即可得范围. 【解答过程】（1）由题设，且，即， 所以，当时，当时， 所以的递减区间为，递增区间为，即处取得极小值，满足， 综上，，的递减区间为，递增区间为； （2）由题设，即在上能成立， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则. 【题型4 利用导数证明不等式】 13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，． (1)若，证明：； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明详见解析. (2). 【解题思路】（1）根据导数研究函数的最值，进而得证； （2）对进行分类讨论，通过隐零点问题求解. 【解答过程】（1）因为， 所以的定义域为，且. 当时，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，由函数的单调性结论知在上单调递增. 综上，在上单调递增， 而， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以是的极小值，也是最小值，所以，即. （2）当时，由（1）知，满足题意； 当时，令， 则，由函数的单调性结论知在上单调递减. ①当时，，即在上，，单调递增，即在上单调递增， 所以，所以在上单调递减，所以，满足题意. ②当时，，当时，， 由函数零点存在定理可知存在，使得. 当时，，所以，即在上单调递增; 当时，，所以，即在上单调递减. 而当时，，， 由函数零点存在定理可知存在，使得， 且当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增，此时，不满足题意. 综上，的取值范围是. 14．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】(1)利用导数分析时，的单调性，并求得时，的最小值，即可证明不等式. (2)将存在两个零点问题转化为关于的方程有两个不同的解的问题，再转化为函数的图象与常数函数的图象有两个不同的交点问题，分析新函数的单调性及最值情况，可求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意得，要证，只需证， 令，所以. 设， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以当时,，即，所以在区间上单调递增， 故当时,. 故当时，，即. （2），. 若，则，所以在上单调递增，所以至多有1个零点，舍去； 若，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为 ，所以当时，;当时，; 由存在两个零点，得，即，所以,所以. 综上所述，的取值范围是. 解法二： 因为，所以不是的零点. 所以存在两个零点等价于关于的方程有两个不同的解， 即函数的图象与常数函数的图象有两个不同的交点. 因为， 当或时，；当时，. 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 当时，；当时，. 当时，因为在区间上单调递减， 此时与至多一个交点，舍去； 当时，要使得与有两个交点，需满足， 在的条件下， 因为及，且在区间上单调递减， 所以与在区间上恰1个交点； 由(1)知，， 又因为，且在区间上单调递增， 所以与在区间上恰1个交点. 综上所述，若在定义域内存在两个零点，则的取值范围是. 15．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若函数恰有三个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）首先对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值。 然后将证明转化为证明，接着通过构造新函数 利用导数研究其单调性和最小值，证明，从而完成不等式的证明. （2）先对函数求导，因为恰有三个极值点，所以有3个不同的解，然后构造函数，利用导数研究其单调性和最值，根据函数图象与直线 的交点情况确定a的取值范围. 【解答过程】（1）证明：的定义域为，由于，令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故为的极小值点， 所以当； 要证原不等式，只需证， 即证 ，即证在上恒成立； 令，则． 由于在上单调递增，且， 所以存在唯一，使得，即； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 所以当时，， 所以当时，． （2）由题意，， 则． 因为恰有三个极值点，故恰有三个变号零点， 当时，，因此是的一个极值点． 因此在上有两个不同的根，且，不妨设． 令，则， 因此当时，单调递减；当时，单调递增． 所以，且时，时，． ①当时，方程在上无根，不符合题意； ②当时，方程在上有且仅有一根，不符合题意； ③当时，方程在上有两个不同的根． 又，所以． 综上，实数 的取值范围为． 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若至多有一个零点，求实数的取值范围； (3)对于，证明：. 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据函数导数与函数单调性之间的关系，求出函数导数，进而判断函数单调区间即可； （2）根据函数零点的情况，判断函数最小值的正负，根据函数单调区间，求出函数最小值，列出不等式，求出参数范围； （3）对不等式进行化简，再构造函数，根据函数最值情况，构造不等式，对不等式拆分，运用累加法，进而证明原命题成立； 【解答过程】（1）函数的定义域为， 其导函数在上单调递增， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 综上所述，的单调减区间为，单调增区间为. （2）当至多有一个零点时，函数最小值， 由（1）可知的单调减区间为，单调增区间为， 则在处取得最小值，则， 化简得，解得，因为，故， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以， 要证，即证，需证； 设，则， 所以在上单调递减，且， 所以，即； 令，可得，即， 可知时，， 时，， 时，； 时，， 累加得， 化简得，即， 可得，所以原命题得证. 【题型5 利用导数研究双变量问题】 17．（2025·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用同构法与构造函数，将题设条件转化为，再利用导数研究函数的图象与性质，结合图像即可排除AD，利用特殊值计算即可排除B，再利用极值点偏移的解决方法即可判断C. 【解答过程】因为，， 所以，则，即， 令，则，， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增, 所以， 对于，总有，即在上单调递增， 故，即在上恒成立， 所以对于，对于任意，在上取， 则， 所以当且趋向于0时，趋向于无穷大， 当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于0，故趋向于无穷大， 所以的大致图像如图所示： . 对于AD，因为，，不妨设， 由图象可知，，故，故AD错误； 对于B，假设成立，取， 则，显然不满足，故B错误； 对于C，令，又， 则， 所以在上单调递增， 又，则，即， 又，则， 因为，所以，又，在上单调递增， 所以，即，故C正确. 故选：C. 18．（2025·四川广安·模拟预测）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项. 【解答过程】构造，，则恒成立， 则， 当时，，， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 因为，所以，， 又，所以，D错误， 因为，所以，， 所以，所以，A错误，B正确. 令，则， 当时，恒成立， 所以在上单调递增， 当时，，即， 因为， 所以 因为， 所以， 因为在单调递减， 所以，即 因为在上单调递减， 所以，C错误 故选：B. 19．（2025·甘肃白银·三模）已知函数，且曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值. (2)当时，证明：当时，. (3)当时，若存在，使得成立，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求导函数，由切线斜率可得的值，从而得实数的值； （2）求导函数，从而得函数的单调性与最值，即可证得结论； （3）结合函数在时的单调性将等式转换为不等式，则，设，求导确定单调性即可证得结论. 【解答过程】（1）. 曲线在点处的切线方程为. （2）当时，， 在上恒成立， 在上单调递增， 当时，. （3）当时，， 当时，存在成立， ， 得. 由（2）可知，当时，单调递增， ，即， ， 设， 则， 当时，，则， ， ， . 20．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【解题思路】（1）先对求导，得到.令为分子部分，求出零点.再根据正负，分析正负，进而确定正负，得出单调性. （2）把值代入，将不等式变形.令为变形后式子，由且，可知是最大值点，所以，求出.再验证值满足条件. （3）对已知等式取对数变形，令为变形后式子.根据单调性设.要证不等式，转化为证，令为对应式子，求导判断单调性证明. 【解答过程】（1）先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. （3）由得，两边取对数整理得， 令.则. ，在递增，递减，则 又，当， 不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即. 又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. 【题型6 导数中的极值偏移问题】 21．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据零点可将问题转化为，构造，求导即可根据函数的单调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数，结合函数的单调性即可求解B，根据可得，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D. 【解答过程】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误； 由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误； 由，两式相加整理可得， 所以，，可得，故C错误； 由图可知，则，又因为，所以，，故D正确. 故选：D. 22．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解题思路】由可得，设，其中，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数，其中，分析函数的单调性，可判断②③；分析出、，利用不等式的基本性质可判断④. 【解答过程】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，①对； 对于②，由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，②错； 对于③，由，两式相加整理可得， 所以，，可得，③对； 对于④，由图可知，则，又因为，所以，，④对. 故选；C. 23．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【解答过程】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 24．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【解题思路】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【解答过程】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 【题型7 导数在实际问题中的应用】 25．（2024·江苏连云港·模拟预测）现有一个表面积为的实心球，若将其打磨成一个圆锥，则圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设球的半径为，根据题意，求得，再设打磨成的圆锥的高为，底面半径为，在直角中，得到，结合锥体的体积公式得到，设函数，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【解答过程】如图所示，设球的半径为，球心为， 因为球的表面积为，可得，可得， 设打磨成的圆锥的高为，底面半径为，底面圆心为，如下图示， 在直角中，可得，即，可得， 则圆锥的体积为， 设其中，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也时最大值，最大值为. 故选：C.    26．（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】设圆柱的底面半径为，高为，表示出体积关于高的函数，求导分析即可； 【解答过程】设圆柱的底面半径为，高为， 由题意可得，即， 圆柱的体积，， ， 令，解得或， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 当时，取得极大值，也是最大值， 此时高为1，半径为，底面半径和高的比值为， 故选：B. 27．（2025·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 【答案】(1) (2)9千件 【解题思路】（1）分段利用“年利润年销售收入年总成本”可得所求函数的解析式. （2）分段求函数的最大值，进行比较可得结论. 【解答过程】（1）当时， ； 当时， . 综上：. （2）当时，，. 由 ；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 当时，. 因为，当且仅当即时取“”. 此时. 因为. 所以当年产量为千件时，年利润最大. 28．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 【答案】(1)选项见解析，①答案见解析；②答案见解析 (2) 【解题思路】（1）①根据所选方案，确定正四棱锥的底面边长和斜高，可得出正四棱锥的侧面积的表达式； ②根据所选方案，确定正四棱锥的底面面积和高，可得出正四棱锥体积的表达式，然后结合导数求其最大值； （2）根据（1）中的结果可得出结论. 【解答过程】（1）选择甲方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减， ∴当时，. 选择乙方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减 ∴当时，. 选择丙方案：①， ②该正四棱锥的高， ， 令，则， 当时，；当时，. 所以函数在区间上严格增，在区间上严格减， 所以当时，. （2）甲乙丙中总面积一样，由于乙的方案是不需要盖，所以相应的侧面积多了， 因此凭直觉猜想乙的体积最大，可以猜想：. 【题型8 导数中的新定义问题】 29．（2025·河南新乡·二模）曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用曲率的定义可求得，进而得曲率半径，利用向心加速度的定义计算可求向心加速度. 【解答过程】设，则，，所以，， 则曲线在点处的曲率，曲率半径， 故曲线在点处的向心加速度的大小为. 故选：B. 30．（2025·全国·模拟预测）定义：对于二元函数，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量，若存在，则称为在点处对的偏导数，记为；同理可定义函数在点处对的偏导数为，记为．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【解题思路】根据所给定义求出偏导数，即可判断A、B，由，利用导数说明的最小值，即可判断C，求出偏导函数，再由二次函数的性质判断D. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， 设，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，所以的最小值为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，， 因为，所以当时，最小值是，故D错误. 故选：C． 31．（2025·云南·模拟预测）定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“函数”． (1)若为“函数”，求实数的取值范围； (2)已知函数有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：为“函数”． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）先求出两个零点.再依据“函数”条件，列出关于零点和函数值的不等式，最后解不等式得出参数范围. （2）（i）对函数求导后令其为，再对求导找单调性和最小值.根据存在两个不同变号零点，结合其极限情况确定参数范围. （ii）构造，通过求导判断单调性，利用单调性和性质证明.接着根据单调性得到，构造，求导判断单调性，证明，从而证明函数为“函数”. 【解答过程】（1）已知，对求导得. 令，即，解得或.   因为函数为“函数”，所以. ，， . 则不等式为.   解，得.解，得，所以. 取交集得.   则实数的取值范围. （2）（i）已知，求导得， 令，得. 令，即，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 当时，；当时，.   因为函数存在两个不同的变号零点，所以，即.   (ii)令. ，由均值不等式（当且仅当时取等号）， 所以，在上单调递增. 又，当时，，即.   利用单调性证明： 因为，且在上单调递减，，， 所以，即.   构造函数并分析单调性证明： 因为时，，在上单调递减，， 所以，. 其中， 令， 则， 令，，在上单调递增. 当时，，即，在上单调递增，. 所以，即.   综上，函数为“函数”. 32．（2025·河北·模拟预测）若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 【答案】(1)和具有性质“”，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性，结合新定义，转化为证明函数在区间单调递增； （2）根据新定义，转化为函数，在区间上单调递增，利用导数，结合参变分离，转化为最值问题，即可求解； （3）首先根据新定义，转化为，再通过构造函数，，，转化为证明，转化为利用极值点偏移解决问题. 【解答过程】（1）函数和在上具有性质“”. 理由如下： 因为和在上均为偶函数，且在上单调递增， 所以只需考虑的情况， 令，则， 所以在区间上单调递增，且，所以恒成立， 则，即， 则，再根据函数是偶函数， 即，， 所以函数和在上具有性质“”. （2），在区间单调递增，在上单调递增， 设，若函数和具有性质“”， 则，整理为 设，由以上可知，在区间上单调递增， 即， 当时，恒成立， 令，，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以； （3）由题意可知，存在，， ，又， 则，即， ，，设，， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 设，，不妨设，，，且， 设， ， 所以在区间上单调递减，且，即， 即，即，则， 即，则，得，即证. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】应用导数研究函数的区间单调性，结合区间值域及零点存在性定理判断零点个数. 【解答过程】由题设且定义域为， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当或时，故在定义域上有2个零点. 故选：C. 2．（2025·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由零点存在性定理可得答案. 【解答过程】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使. 故选：C. 3．（2025·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数．则抛物线上的各点处的曲率最大值为（    ） A． B．p C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出函数的导函数及导函数的导函数，再根据公式求出各点处的曲率，并解出最大值即可. 【解答过程】由题可知抛物线方程为：，则，， 则该抛物线在各点处的曲率， 当时，取最大值. 故选：C. 4．（2025·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，求导可得函数的单调性，即可求解最值，进而即可. 【解答过程】由在上恒成立，令， 则．令，则， 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 则，所以， 故选:C． 5．（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分类讨论的值，再根据导数分析的单调性，结合函数有两个零点，即可求解范围． 【解答过程】函数的定义域为. 当时，令，在只有一个零点，不合题意； 当时，， 当时，，则在单调递增，，所以在只有一个零点，不合题意； 当时，令， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 又时，， 若有两个零点，则， 设，令，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 所以， 故选：C． 6．（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，接着求函数最值即可. 【解答过程】当时，，所以不符合题意； 当由，即， 令，， 所以在上单调递增， ，即， 在上恒成立， ，令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 即， , 故选：B. 二、填空题 7．（2025·江苏南通·模拟预测）设正六棱锥的底面中心为，若该棱锥的侧棱均与以为球心，半径为1的球相切，则该棱锥体积的最小值为 . 【答案】 【解题思路】过棱锥的一条侧棱及球心作出截面，利用棱锥的高表示出体积，构造函数并利用导数求出最小值. 【解答过程】由对称性，球的大圆与等腰的两腰相切，设正六边形外接圆半径为，正六棱锥的高为， 在中，斜边上的高为1，，， 因此，该棱锥的体积， 令，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，所以当时，， 所以该棱锥体积的最小值为. 故答案为：. 8．（2025·全国·模拟预测）设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】由题可得，构造函数，由其单调性可得，然后由单调性可得答案. 【解答过程】由题意当时，因为实数，所以成立， 当时，, ， 令0， 所以在上为增函数， 则. 即对，不等式恒成立， 则． 令， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 综上可得，的取值范围为． 故答案为：. B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，求，判断单调性,得到的值域为，令，求导，单调性，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解答过程】令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增，所以， 又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以， 又当时，恒成立， 所以， 故实数的取值范围为． 故选：B. 2．（2025·江苏常州·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解题思路】求导，结合零点存在性定理可判断函数的单调性，进而可知函数有3个零点，根据一个零点为，计算，进而可判定是函数的另一个零点，即可求解. 【解答过程】， 记，则， 当在单调递增，当在单调递减， 由于， 因此存在使得， 且当和时，，则在和单调递增， 当时，，则在单调递减， 且当，，， 因此有3个零点，其中一个零点为1， 设其中一个零点为，则， 即，进而， 此时， 因此是方程的另一个零点， 故所以的零点之和为， 故选：B. 3．（2025·山东青岛·模拟预测）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用同构得有两个不同的解，换元后考虑有两个不同的零点，利用导数可求参数的范围. 【解答过程】因为有两个零点， 故有两个不同的解， 所以有两个不同的解， 故有两个不同的解， 设，则，故为上的单调增函数， 而时，，时，，故的值域为， 故在上有两个不同的零点， 设，则， 当时，；当时，； 故在上为增函数，在上为减函数， 故即， 此时当时，，时，， 故时，确有两个不同的零点，综上. 故选：D. 4．（2025·重庆·模拟预测）如果函数在区间D上有定义，且对，，均有，则称D为的“平稳区间”.已知函数有“平稳区间”，则a的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据题意将题设问题等价转化成存在“平稳区间”D，对任意有，再利用导数工具分和两种情况结合一元二次函数性质即可求解. 【解答过程】由题可得函数有“平稳区间”，设为D， 则对，，均有，即对任意，均有， 所以函数存在“平稳区间”D，对任意有， 又，所以对任意，， 当时有，故函数有“平稳区间”，符合； 当时，函数有最值， 要使函数存在“平稳区间”，则或， 解得或. 综上，满足题意的a的取值范围是. 故选：D. 5．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】探讨给定函数的对称性及单调性，脱去法则“f”，构造函数，利用导数探讨函数的性质并作出图象，数形结合求得答案. 【解答过程】函数的定义域为R，且在R上单调递增， ，即， 方程，即，于是， 即，令，依题意，直线与函数的图象有三个不同的交点， 求导得，当时，， 当时，，函数在上递减，在上递增， 当时，取极小值；当时，取极大值为， 而当或时，恒有， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，原方程有三个不同实根，所以实数的取值范围为， 故选：A. 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则（   ） A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】C 【解题思路】将函数有两个零点问题转化为方程有两个解的问题，先对函数求导，判断单调性和的范围，然后判断并证明与-3的大小比较，最后得到答案. 【解答过程】函数有两个零点，即方程有两个不同的根． 设，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 又因为当时，，当时，，所以． 因为可以趋近于无穷小，所以猜测，下面给出证明． 先证当时，． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增． 由知，当时，，即，所以． 再证当时，． 令，则． 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即， 所以． 所以，所以． 故选：C． 二、解答题 7．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求导得，再分和两种情况讨论导数正负即可得解； （2）分离参数得对恒成立，再设，求导后对分子因式分解，再设新函数求导，最后得到右边最值即可得到答案. 【解答过程】（1）定义域为，， ①当时，恒成立，故在上单调递增； ②当时，令有，解得，又， 令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题， 所以恒成立等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 即在上单调递增，故， 令有， 当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增， 则为唯一的极小值点，也是最小值点， 故，从而， 因此实数的取值范围为. 8．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求导，分析其单调性，求出极小值点； （2）将问题转化为在时恒成立，构造函数，研究其最大值； （3）将问题转化为在上有两个不同的交点，通过求导研究的性质，画出图象即可. 【解答过程】（1）因，则， 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值点为，得； （2）在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 因，则在上单调递减， 则，， 则实数的取值范围是； （3）当时，，则， 令，则， 令，则， 因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）： 因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数的导数，按讨论单调性，借助零点存在性定理及函数最值情况分类得解. （3）由（2）可得，再利用不等式性质及累加法推理得证. 【解答过程】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，则函数存在唯一零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大， 当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，函数有2个零点； 当时，，函数存在唯一零点； 当时，，函数无零点，即零点个数为0， 所以当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. （3）由（2）知，当时，，当且仅当时取等号， 取，则， 因此， 所以. 10．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，求的值. (2)设是的三个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)或. (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）去绝对值将写成分段函数的形式，对求导，求出和根据题目信息和导数的几何意义列式即可求出的值； （2）（i）令，分离参数得到，令，通过求导得到的单调性，让与函数有三个交点，即可求出的取值范围；（ii）先证明即可证明. 【解答过程】（1），所以， 则. 因为曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，所以，解得或. （2）（i）令，则. 令，则，所以， 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 当，，当，， 又有三个零点，所以的取值范围为. （ii）证明：由（i）可知， 下面证明：， ①要证明，只需证明， 又，即证，所以原式等价于证明， 由，得，则， 所以只需证明， 即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. ②要证明，只需证明， 由（i）知，则，即, 又因为，所以， 因为在上单调递减，所以成立， 综上，. 11．（2025·云南·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上存在唯一零点，求a的取值范围； (3)函数有两个极值点为，若，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）对函数求导，讨论、研究导数的符号判断函数的单调性； （2）问题化为函数与的图象在上有唯一交点，应用导数、数形结合确定参数范围； （3）由并对其求导，问题化为是方程的两个实数根，进而得，利用导数求其最大值，即可得. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令得， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意知，在上存在唯一零点, 等价于方程在上有唯一实数根, 等价于函数与的图象在上有唯一交点， 因为直线过定点为直线的斜率， 根据题意，直线所在区间为下图中阴影部分， 由图，下临界线为函数在处的切线，， 上临界线过点，则， 所以a的取值范围为． （3）由题意得，定义域为，则． 因为是函数的两个极值点，所以是方程的两个实数根， 则． ． 令，由，可得， 令，则， 所以在上单调递减，可得， 故的最大值为. 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 【答案】(1)或． (2)且 (3) 【解题思路】（1）设切点，利用导数的几何意义和两点斜率公式列方程可求，再利用点斜式求切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，作函数的大致图象，由时，成立，可得，求函数的对称中心，利用对称性化简可得，结合图象进一步化简，由此可求结论， （3）由条件结合导数运算法则可得，令，，利用导数研究函数的单调性，结合函数性质求其零点，由此可得结论. 【解答过程】（1）因为，故可设切点为，， 所以， 整理得： 解得：或， 当时，切点为，切线斜率为，故切线方程为， 当时，切点为，切线斜率为，切线方程为， 故切线方程为：或． （2），当且仅当时，， 由（1）， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又由可得，，， 作函数的大致图象如下，    所以， 要使恒成立 当即时，恒成立， 即，且， 所以 当时，由恒成立， 得（*）， 因为，所以，， 令，所以， 当时，，当时，， 由题干可得函数的图象关于点对称， 所以， 所以不等式（*）为， 因为，结合图象可得， 所以恒成立， ，所以． 综上，且 （3）， 由于，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $