专题07 导数及其应用（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以导数几何意义为基础，通过“考情-真题-模拟”三级体系，系统构建从单调性分析到综合应用的解题方法，突出逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数几何意义|3典例+2真题|切线方程两步法（求导得斜率+点斜式），区分“在某点”与“过某点”切线|从导数概念延伸至几何应用，衔接基本初等函数求导| |单调性与极值最值|4典例+5真题|含参函数分类讨论单调性，极值点判定与最值定位法|以导数符号为核心，建立函数变化趋势与极值关系| |导数综合应用|5典例+11真题|参变分离/分类讨论处理恒成立，构造函数法证明不等式，数形结合分析零点|整合切线、单调性、极值知识，形成“求导-分析-论证”完整逻辑链|

专题07 导数及其应用 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 以导数的几何意义为基础考点，重点考查函数在某点处的切线方程求解，常结合基本初等函数交汇命题。核心考查利用导数研究函数单调性、极值与最值，重点处理含参函数的单调区间讨论、极值最值求解问题。高频考查导数综合应用，涵盖函数零点、方程解的个数、不等式证明及恒成立问题。 2．素养考向 逻辑推理：通过含参函数性质探究、不等式恒成立与零点问题，考查分类讨论、转化思想，侧重参数范围的严谨推导与逻辑论证。 工具应用：以导数为核心工具精准刻画函数变化趋势，结合数形结合分析函数图像与性质，有效突破函数综合难题，重点考查数学运算、逻辑推理与数学建模核心素养。 几何意义 2026全国一卷·T4（几何意义） 2025新课标Ⅰ卷·T12（几何意义） 2024新课标Ⅰ卷·T13（几何意义） 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 2026全国一卷·T6（求最值） 2025全国一卷·T10（极值） 2025全国一卷·T13（极值点） 2024新课标Ⅰ卷·T10（极值） 2024新课标Ⅱ卷T11（极值，对称，零点） 2024新课标Ⅱ卷·T16（几何意义，极值问题） 导数的综合问题 2026全国二卷·T19（恒成立问题） 2026北京卷·T20（极值点个数，零点问题） 2026天津卷·T20（几何意义，恒成立问题。证明不等式） 2025全国一卷·T19（最值问题，恒成立问题） 2025全国二卷·T13（证明不等式，函数单调性） 2025北京卷·T20（双变量，恒成立问题） 2026天津卷·T20（几何意义，零点问题。证明不等式） 2024新课标Ⅰ卷·T11（最值，恒成立问题） 2024北京卷·T20（几何意义，零点问题） 2024天津卷·T20（几何意义，恒成立问题，证明不等式） 2026全国一卷导数综合性更强，小题依托指数函数考查切线方程，解答压轴结合新定义、不等式证明，侧重逻辑推理与分类讨论，区分尖子生。全国二卷难度更平缓，大题以指对型函数为载体，考查切线求解、恒成立求参、函数最值问题，题型贴近教材变式，侧重常规方法落实。 命题立足导数概念本质，淡化偏难怪技巧，强调运算规范与数形结合。常与基本初等函数、零点、不等式交汇，核心考点为切线方程、单调性分析、极值最值、零点与恒成立问题，仍是压轴主干，一卷重创新思维，二卷重常规解题能力。 考向一 导数的几何意义 典例1．（2026·全国一卷T4）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 微点拨：求曲线切线分两步：先求导代入切点横坐标得切线斜率，再用点斜式写直线方程。务必分清 “在某点切线” 与 “过某点切线” 的区别，计算导数与化简方程时细心避免运算失误。 考向二 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 典例2．（2026·全国一卷T6）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 微点拨：求解含参函数最值问题，先分析函数单调性，确定取得最大值的位置，列式建立参数方程求解。要注意定义域约束，分类讨论单调性情况，警惕最值取错位置导致参数求解出错。 考向三 导数的综合问题 典例3．（2026·全国二卷T19）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 【解】（1）， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. （2）由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； （3）法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则，即的最小值为. 微点拨：第一问利用切点满足曲线与切线、导数等于斜率联立求参；第二、三问为导数恒成立题型，常用参变分离或分类讨论，结合单调性、端点分析求解范围与最值，注意定义域与边界检验。 考向一 导数的几何意义 1．（2024·新课标Ⅰ卷T13）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 2．（2025·全国一卷T12）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 考向二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 3.（2025·全国二卷T10）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 4.（2024·新课标Ⅰ卷T10）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 5.（2024·新课标Ⅱ卷T11）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 6.（2025·全国二卷T13）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 7.（2024·新课标Ⅱ卷T16）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 考向三 利用导数证明不等式 8.（2024·天津卷T20）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 9.（2026·天津卷T20）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：若证明当时，，即证当时，， 设，，则， 当时，切线不等式，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以在上恒成立， 当时，设，则， 可知在上单调递增， 则， 因为，则，可得， 且，则， 可知在上单调递增，则，即在恒成立， 可知在上单调递减，则，即在成立； 综上所述：在上恒成立，所以在上恒成立. 方法三：因为，即，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，即， 可知在内单调递减，且， 当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 考向四 利用导数研究恒成立问题 10.（2025·北京卷T20）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 11.（2024·新课标Ⅰ卷T18）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 12．（2025·全国一卷T19）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 考向五 利用导数研究函数零点 13.（2026·北京卷T20）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【解】（1），则， ，又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点； 综上所述：与交点个数为. 14.（2024·北京卷T20）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 15.（2025·天津卷T20）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 16.（2025·全国二卷T18）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【解】(1)证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. (2)（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由，得， 在处，，， 所以切线方程为，即． 该切线经过点，故，解得． 2．（2026·安徽阜阳二模）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是.故选：A. 3．（2026·安徽·模拟预测）已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因时，，函数图象的对称轴为， 当时，函数在时取得极大值， 又因时，，且， 由函数的性质，可知要使还有一个极值，那就是， 所以必须使，则由，可得.故选：A. 4．（2026·重庆·三模）若函数 在上有零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，对函数求导得. 所以函数在上单调递减. 因为在上有零点，所以. 即：，.求解得：.故选：A. 5．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 二、多选题 6．（2026·吉林长春·期末）已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 【答案】AB 【解析】对于A，因为，所以， 而，则，即是增函数，故A正确， 对于B，由题意得，结合已知得是增函数， 则有且仅有1个零点，故B正确， 对于C，因为， 所以，即， 可得的图象不关于原点对称，故C错误， 对于D，因为是增函数，所以无极值，故D错误. 故选：AB 7．（2026·云南德宏一模）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A．是的极值点 B．是的极大值点 C．的单调递减区间是 D． 【答案】AD 【解析】由导函数图象可知， 当或时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为，选项C正确； 是的极大值点，选项B正确； 在的左右两边导数符号不变， 所以不是的极值点，选项A错误； 在上单调递增，所以，选项D错误. 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．对任意恒成立 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实数根 D．当时，单调递增 【答案】ABD 【解析】因为，所以， 当时，；当时，． 因此在处取得极小值，也是最小值， 所以，故AB正确． 方程即,令, 因为，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， ,，所以方程有两个实根．故C错误． 设，则． 令，则，且， 所以当时，，从而，故在上单调递增，D正确． 9．（2026·河南开封·模拟预测）(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 【答案】ABC 【解析】选项A，令，即，因为，所以，解得，所以的零点只有，A正确； 选项B，， 则，在上单调递增(因为)， 且，，所以在上先减后增. 当，；时，；时，；时，， 由零点存在定理，在有一个零点，在有一个零点，因此有两个极值点，B正确； 选项C，由B选项分析可知，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，即在处取得极小值，C正确； 选项D，由选项C分析可知，在区间先增后减，D错误. 三、填空题 10．（2026·陕西渭南·三模）设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】因为 所以 由于 ，则 恒成立，因此： 当 时，，故 ， 在 上单调递减， 当 时，，故 ， 在 上单调递增， 函数在 处取得最小值，图象关于直线 对称，且开口向上， 由函数性质可知：若，则， 令 ，，代入得：， 即：，所以， 化简得，所以. 所以 的取值范围为. 四、解答题 11．（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 【解】（1）函数的定义域为，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，. 故的最小值为. （2）方程整理为，显然是方程的一个实根. 要使方程有两个不等实根，只需有且仅有一个非零实根，即时仅有一个实根. 令，则 . 令，则，解得. ①当时，，单调递减，此时， 且时，，时，，此时值域为， 因此当时，在有唯一解； ② 当时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处取最小值， 当时，， 因此当时，在上有唯一解； 当时，在上无实数解； 当时，在上有2个解； 因此，满足条件. 综上，的取值范围是. 12．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【解】（1）函数的定义域为，求导可得， 令，解得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知， 依题意，即证，即证， 设，求导可得， 令，解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点， 因为，， 所以当时，， 故当时，． 13．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【解】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 14．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 【解】（1）（i）当时，，定义域为， 则， 令，解得， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； （ii）令， 则， 当时，，所以为减函数， 所以， 从而当时，，即． （2）令， 则． 因为，所以， 从而当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为 因为，所以，即，从而， 故的取值范围为． 15．（2026·河北沧州一模）（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【解】（1）令函数，则，， 当时，，函数在上单调递增， 则，即成立， 当时，在上单调递增，， 所以，当时，，在上单调递减， 所以对，，不成立. 综上，实数的取值范围为. （2）令，由（1）知函数在上单调递增， 因为，，所以，因此，即， 即成立； （3）对，都有成立，即对，， 令，即， 当时，，，则， 要使成立，则，即， 下面证明：当时，成立，由（2）得， 下面证明：，即证明， 令，则， 因此在上单调递增，，即成立， 因为，，所以，故， 结合已证的， 可知当时，成立， 综上所述，实数的取值范围是. 16．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，，所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 17．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，. (1)证明：； (2)设，证明在上单调递增； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有. 【解】(1)由得． 由基本不等式，，且当时等号不成立，所以． 所以函数是增函数. 又，因此对任意，． (2)设．则． 记，则， 设，则， 设，则． 当时， 因为是增函数，且， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，，所以在上单调递增. （3）法一：要使对任意，都有， 等价于对任意成立， 即对任意成立．由（2）知，在上单调递增，因此． 用洛必达法则计算极限得．因此． 法二：令函数，则． 令，则． 令，则． 时，； 时，. 因为是增函数，且， 当，即时，恒成立， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 即使得对任意，都有. 当，即时，在上有解，记为， 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 即存在，使得，不合题意. 综上所述，，所以实数的最大值为. 18．（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 【解】（1）由恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，恒成立，则恒成立， 故在上单调递减，又， 故当时，，不符合题意，故舍去； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故要使得恒成立，则有，即； （2）函数零点的个数等价于函数零点的个数， 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，故零点的个数为； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，有且仅有，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 综上所述：若或，零点的个数为； 若且，零点的个数为. 19．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在区间的最大值； (2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 【解】（1）当时， ，定义域为. ∵ 当时，，，， ∴ ，即在上单调递减， ∴ . （2）由题意得， ∵ 对任意 ，恒成立，即恒成立， ∵ ，∴ 对任意 恒成立. 令，则. 令，得 ，即. ∵ ， ∴ ，对应极值点为. 当时，， ，故，单调递减； 当时， ，，故，单调递增. ∴ 是的第一个极小值点，且. 对于其余极小值点 ，，而，故对应的. 当 时，其余区间，对应的. ∴ 在 上的最小值为，故. （3）零点个数为2，理由如下： 由题意，得，. 令，得. ①当时，，单调递增，， 所以单调递减，所以. ②当时，，，则在区间上必定存在，使得. 因为在上单调递减， 所以当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，. 因为，，所以在区间上必定存在，使得， 即当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，. ③当时，单调递减，单调递减，则单调递减. 因为，， 所以必定存在零点，使得. ④当时，因为，所以， 所以在上，不存在零点. 综上所述，在上存在两个零点. 20．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明： ① ； ②当且时，. 【解】（1）由，，得， . 若，则 ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 若时，令，得或. 因为，所以 ， 当，则，单调递减， 当，则，单调递增， 当，则，单调递减； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； （2）①由（1）得，当时，，又在上单调递增，在单调递减，所以，即，即 ； ②当时，，令（，且），得，两边同时取自然对数，得，即，，，，则，即当且时，. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 导数及其应用 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 以导数的几何意义为基础考点，重点考查函数在某点处的切线方程求解，常结合基本初等函数交汇命题。核心考查利用导数研究函数单调性、极值与最值，重点处理含参函数的单调区间讨论、极值最值求解问题。高频考查导数综合应用，涵盖函数零点、方程解的个数、不等式证明及恒成立问题。 2．素养考向 逻辑推理：通过含参函数性质探究、不等式恒成立与零点问题，考查分类讨论、转化思想，侧重参数范围的严谨推导与逻辑论证。 工具应用：以导数为核心工具精准刻画函数变化趋势，结合数形结合分析函数图像与性质，有效突破函数综合难题，重点考查数学运算、逻辑推理与数学建模核心素养。 几何意义 2026全国一卷·T4（几何意义） 2025新课标Ⅰ卷·T12（几何意义） 2024新课标Ⅰ卷·T13（几何意义） 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 2026全国一卷·T6（求最值） 2025全国一卷·T10（极值） 2025全国一卷·T13（极值点） 2024新课标Ⅰ卷·T10（极值） 2024新课标Ⅱ卷T11（极值，对称，零点） 2024新课标Ⅱ卷·T16（几何意义，极值问题） 导数的综合问题 2026全国二卷·T19（恒成立问题） 2026北京卷·T20（极值点个数，零点问题） 2026天津卷·T20（几何意义，恒成立问题。证明不等式） 2025全国一卷·T19（最值问题，恒成立问题） 2025全国二卷·T13（证明不等式，函数单调性） 2025北京卷·T20（双变量，恒成立问题） 2026天津卷·T20（几何意义，零点问题。证明不等式） 2024新课标Ⅰ卷·T11（最值，恒成立问题） 2024北京卷·T20（几何意义，零点问题） 2024天津卷·T20（几何意义，恒成立问题，证明不等式） 2026全国一卷导数综合性更强，小题依托指数函数考查切线方程，解答压轴结合新定义、不等式证明，侧重逻辑推理与分类讨论，区分尖子生。全国二卷难度更平缓，大题以指对型函数为载体，考查切线求解、恒成立求参、函数最值问题，题型贴近教材变式，侧重常规方法落实。 命题立足导数概念本质，淡化偏难怪技巧，强调运算规范与数形结合。常与基本初等函数、零点、不等式交汇，核心考点为切线方程、单调性分析、极值最值、零点与恒成立问题，仍是压轴主干，一卷重创新思维，二卷重常规解题能力。 考向一 导数的几何意义 典例1．（2026·全国一卷T4）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 微点拨：求曲线切线分两步：先求导代入切点横坐标得切线斜率，再用点斜式写直线方程。务必分清 “在某点切线” 与 “过某点切线” 的区别，计算导数与化简方程时细心避免运算失误。 考向二 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 典例2．（2026·全国一卷T6）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 微点拨：求解含参函数最值问题，先分析函数单调性，确定取得最大值的位置，列式建立参数方程求解。要注意定义域约束，分类讨论单调性情况，警惕最值取错位置导致参数求解出错。 考向三 导数的综合问题 典例3．（2026·全国二卷T19）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 微点拨：第一问利用切点满足曲线与切线、导数等于斜率联立求参；第二、三问为导数恒成立题型，常用参变分离或分类讨论，结合单调性、端点分析求解范围与最值，注意定义域与边界检验。 考向一 导数的几何意义 1．（2024·新课标Ⅰ卷T13）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 2．（2025·全国一卷T12）若直线是曲线的一条切线，则_________. 考向二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 3.（2025·全国二卷T10）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 4.（2024·新课标Ⅰ卷T10）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 5.（2024·新课标Ⅱ卷T11）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 6.（2025·全国二卷T13）若是函数的极值点，则___________ 7.（2024·新课标Ⅱ卷T16）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 考向三 利用导数证明不等式 8.（2024·天津卷T20）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 9.（2026·天津卷T20）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 考向四 利用导数研究恒成立问题 10.（2025·北京卷T20）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 11.（2024·新课标Ⅰ卷T18）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 12．（2025·全国一卷T19）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 考向五 利用导数研究函数零点 13.（2026·北京卷T20）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 14.（2024·北京卷T20）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 15.（2025·天津卷T20）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 16.（2025·全国二卷T18）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·安徽阜阳二模）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 3．（2026·安徽·模拟预测）已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·三模）若函数 在上有零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2026·吉林长春·期末）已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 7．（2026·云南德宏一模）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A．是的极值点 B．是的极大值点 C．的单调递减区间是 D． 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．对任意恒成立 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实数根 D．当时，单调递增 9．（2026·河南开封·模拟预测）(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 三、填空题 10．（2026·陕西渭南·三模）设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 四、解答题 11．（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 12．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 13．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 14．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 15．（2026·河北沧州一模）（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 16．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 17．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，. (1)证明：； (2)设，证明在上单调递增； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有. 18．（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 19．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在区间的最大值； (2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 20．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明： ① ； ②当且时，. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $