专题23.1 多边形（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

本讲义聚焦多边形核心知识点，从多边形、凸多边形、对角线等概念辨析切入，逐步探究内角和公式（n-2）×180°、外角和360°的推导过程，构建“概念理解—性质推导—应用拓展”的学习支架，系统衔接从基础认知到综合解题的知识脉络。 资料通过引导学生将多边形分割为三角形推导内角和，培养几何直观与推理意识，体现数学思维；设计“即学即练”及生活情境题（如小明走路回到出发点问题），强化应用意识，展现数学语言表达现实世界的价值。课中助力教师分层授课，课后学生可通过变式训练与综合题型回顾强化，有效弥补知识盲点。

专题23.1 多边形 教学目标 1.理解多边形、凸多边形、及多边形的对角线、内角、外角等概念，能准确识别和表述。 2.掌握 n 边形内角和公式（n-2）×180°（n≥3），会用公式计算求多边形的内角和、边数。 3.理解多边形外角和为 360°，能结合内角和解决简单计算、推理问题。 教学重难点 1.重点 （1）多边形、凸多边形、对角线等核心概念的理解与辨析。 （2）多边形内角和公式的推导过程与应用（已知边数求内角和、已知内角和求边数）。 （3）多边形外角和定理的理解与初步应用。 2.难点 如何引导学生将多边形合理分割为三角形，从而理解推导出内角和的逻辑，突破从特殊到一般的归纳难点。 知识点01 多边形的内角和 1. 多边形的概念 在平面内，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫作多边形.多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形等；三角形是最简单的多边形；如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫作“n边形”（n为正整数，n） 组成多边形的各条线段叫作多边形的边，相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点。相邻两边所成的角叫作多边形的内角。连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 多边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如图1中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”。 2. 凸多边形 如果画出多边形的任意一条边所在直线，其余各边（如图1）都在这条直线的同一侧。这样的多边形叫作凸多边形。如图1是凸多边形，图2-4不是凸多边形。 3. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出__________条对角线，将n边形分成__________个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出__________条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 4. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为__________ 5. 四边形的内角和为__________. 【即学即练】 1. 下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2. 如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 知识点02 多边形的外角和 1. 多边形的外角 多边形的内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角，如下图中的∠1、∠2、∠3、∠4都是四边形ABCD的外角。 2. 多边形的外角和 多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 多边形的每一个内角与和它相邻的外角都互补，因此n边形的内角和加外角和等于n×180°，外角和等于n×180°-(n-2)×180°=__________. 3. 多边形的外角和定理: 多边形的外角和为__________. 4. 四边形的外角和： 多边形的外角和不随着边数的变化而变化，是个常数。所以四边形的外角和也是__________. 【即学即练】 1. 一个多边形的每一个内角是，则这个多边形的对角线的总数是多少？ 题型01 多边形相关概念与分类 【典例1】下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 题型02 多边形的对角线 【典例1】若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 【变式1】从多边形的一个顶点出发，可以作出5条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．八 B．七 C．六 D．五 【变式2】从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 题型03多边形的内角和 【典例1】如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】一个四边形有一组对角互补，另外一组对角的关系是_______ 【变式2】如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【变式3】已知四边形中，与互补，，则的度数是 ． 【变式4】如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 题型04多边形的外角和 【典例1】一个边形的每个外角都相等且等于，那么 ． 【变式1】一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，则的值是 ． 【变式3】已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【变式4】如图所示，小明从点出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程是多少？ 题型05多边形的截角问题 【典例1】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【变式1】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式2】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【变式3】．如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4】一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 题型06算错角的问题 【典例1】小马计算一个多边形的内角和为，老师看后说：错了，他自己检查了一下，原来把一个内角多加了一次，这个多边形的边数为（    ） 【变式1】小虎同学在计算某个凸多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是 度． 【变式2】某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 题型07多边形内角和、外角和的综合应用 【典例1】已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是 ． 【变式1】已知一个多边形每个内角都相等，且一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是 ． 【变式2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【变式3】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 1.下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A．B．C． D． 2．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 3．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4.将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5. 若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 6．四边形中，，则 ． 7．一个四边形的一个外角为，与它不相邻的三个内角的和是 （用含的式子表示）． 8. 如果一个多边形的各个外角都是，那么这个多边形的内角和是 度． 9．求出下列图形中的值． 10．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 11．如图，四边形中，，分别平分，．已知，求的度数． 12．如图，求的度数． 13．小明和小红在一起探讨有关“多边形内角和”的问题，两人各出一道题考对方，小明给小红出了这样一道题：一个四边形各内角的度数比为，求各内角的度数．小红想了想，说：“这道题目有问题．” (1)请你指出问题在哪里； (2)他们经过研究后，改变了题目中的一个数字，使这道题没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数字，使这道题没有问题，并进行解答． 14．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 15．如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 16一个多边形的内角和比它的外角和的5倍多，求这个多边形的边数． 17.一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． 18.小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 19．已知一个n边形的每一个内角都等于． (1)求n的值； (2)求这个n边形的内角和； (3)这个n边形共有多少条对角线？ 20.小梦同学想到了方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出多边形的内角和与多边形边数n之间的关系吗？ 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.1 多边形 教学目标 1.理解多边形、凸多边形、及多边形的对角线、内角、外角等概念，能准确识别和表述。 2.掌握 n 边形内角和公式（n-2）×180°（n≥3），会用公式计算求多边形的内角和、边数。 3.理解多边形外角和为 360°，能结合内角和解决简单计算、推理问题。 教学重难点 1.重点 （1）多边形、凸多边形、对角线等核心概念的理解与辨析。 （2）多边形内角和公式的推导过程与应用（已知边数求内角和、已知内角和求边数）。 （3）多边形外角和定理的理解与初步应用。 2.难点 如何引导学生将多边形合理分割为三角形，从而理解推导出内角和的逻辑，突破从特殊到一般的归纳难点。 知识点01 多边形的内角和 1. 多边形的概念 在平面内，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫作多边形.多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形等；三角形是最简单的多边形；如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫作“n边形”（n为正整数，n） 组成多边形的各条线段叫作多边形的边，相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点。相邻两边所成的角叫作多边形的内角。连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 多边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如图1中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”。 2. 凸多边形 如果画出多边形的任意一条边所在直线，其余各边（如图1）都在这条直线的同一侧。这样的多边形叫作凸多边形。如图1是凸多边形，图2-4不是凸多边形。 3. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出（n-3）条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 4. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180 5. 四边形的内角和为360. 【即学即练】 1. 下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键。根据多边形的概念逐个判断即可； 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫作多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 2. 如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 知识点02 多边形的外角和 1. 多边形的外角 多边形的内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角，如下图中的∠1、∠2、∠3、∠4都是四边形ABCD的外角。 2. 多边形的外角和 多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 多边形的每一个内角与和它相邻的外角都互补，因此n边形的内角和加外角和等于n×180°，外角和等于n×180°-(n-2)×180°=360°. 3. 多边形的外角和定理: 多边形的外角和为360°. 4. 四边形的外角和： 多边形的外角和不随着边数的变化而变化，是个常数。所以四边形的外角和也是360°. 【即学即练】 1. 一个多边形的每一个内角是，则这个多边形的对角线的总数是多少？ 【答案】20 【分析】本题主要考查了多边形的外角和、内角和以及对角线的条数，解题关键是掌握任意多边形的外角和都等于． 先求出多边形的一个外角度数，再根据多边形的外角和等于求出这个多边形的边数，最后求出对角线总数 【详解】解：∵多边形的每一个内角是， ∴多边形的每一个外角是， ∵多边形的外角和等于， ∴这个多边形的边数是， ∴对角线总数为 故答案为：20． 题型01 多边形相关概念与分类 【典例1】下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查凸多边形的定义，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形。根据凸多边形的定义进行判断即可； 【详解】解：选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形， 只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形； 故选：B． 【变式1】如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 【变式2】在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 题型02 多边形的对角线（条数以及分割多边形的个数） 【典例1】若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形对角线与边数关系得出具体是几边形，然后利用多边形内角和公式求出结果 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴这个多边形是八边形， ∴这个多边形的内角和为， 故选C． 【点睛】本题主要考查多边形边数与对角线数量及内角和的关系，熟练掌握相关公式是关键． 【变式1】从多边形的一个顶点出发，可以作出5条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．八 B．七 C．六 D．五 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线性质，掌握从n边形的一个顶点可以作条对角线是解题关键．从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，据此求解． 【详解】解：∵从多边形的一个顶点出发可以作5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数是8. 故选：A． 【变式2】从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选： 题型03多边形的内角和 【典例1】如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 【变式1】一个四边形有一组对角互补，另外一组对角的关系是_______ 【答案】互补 【分析】本题主要考查了四边形内角和，根据四边形内角和为360，减去已知的两个角即可得到答案． 【详解】四边形的内角和为360，代入计算即可得到另一组角互补 【变式2】如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为，根据多边形内角和计算公式分别表示出变化前后多边形内角和，二者相减即可得到答案． 【详解】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为， ∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为， ∵， ∴内角和将增加， 故选：C． 【变式3】已知四边形中，与互补，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理与互补角的性质，掌握四边形内角和为、互补角的和为是解题的关键． 利用四边形内角和定理及互补角性质计算的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴ ∵ 四边形的内角和为，且， ∴ 故答案为：． 【变式4】如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理； 【详解】解：连接，可得， ∴， ∵，， ∴， ∵在四边形中，， ∴. 故选：D. 题型04多边形的外角和 【典例1】一个边形的每个外角都相等且等于，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形的外角和，解题关键是明确多边形的外角和等于． 根据多边形的外角和等于，用除以即可得的值． 【详解】解：∵边形的每个外角都相等且等于， ∴， 故答案为：5． 【变式1】一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形外角和为，根据定义正多边形的每个内角相等，则其每个外角也相等，再由多边形外角和为即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴正八边形的每个内角相等， ∵正八边形的每个内角与其外角互补， ∴正八边形的每个外角相等， ∵多边形外角和为， ∴； 故选：D． 【变式2】如图，，则的值是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了四边形外角和定理与邻补角的性质，掌握四边形外角和为、邻补角的和为是解题的关键． 先利用四边形外角和为，求出第四个外角的度数，再根据邻补角的和为，计算出的值． 【详解】解：∵四边形的外角和为，且， ∴ 第四个外角的度数为， ∵ 与这个外角互为邻补角， ∴． 故答案为： ． 【变式3】已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 【变式4】如图所示，小明从点出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，及其周长计算，根据题意可知，他需要转次才会回到原点，所以一共走了． 【详解】解：设边数为n，多边形外角和为360°， ∴， ∴正八边形的周长为， 答：一共走64米． 题型05多边形的截角问题 【典例1】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【答案】8或9或10 【分析】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变．根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解． 【详解】解：设截去一个角后，多边形的边数为， 由题意得， 解得． 因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1， 原多边形可能为8或9或10. 故答案为：8或9或10. 【变式1】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 【变式2】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【变式3】．如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 【变式4】一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 题型06算错角的问题 【典例1】小马计算一个多边形的内角和为，老师看后说：错了，他自己检查了一下，原来把一个内角多加了一次，这个多边形的边数为（    ） A．9 B．11 C．12 D．11或12 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和定理，关键是掌握多边形内角和计算公式（且n为整数）．设这个多边形的边数为n，列不等式组即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 解得 ∴， 故选：B． 【变式1】小虎同学在计算某个凸多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是 度． 【答案】140 【分析】设这个内角是x度，这个多边形是n边形，然后根据多边形的内角和公式列出方程，再根据0＜x＜180°，n是正整数求解． 【详解】解：设这个内角是x度，这个多边形是n边形，则0＜x＜180°， 由题意得，（n-2）•180°-x=1840°， ∵n为正整数， ∴1840°+x必为180的倍数， 又∵0＜x＜180， ∴n=13，x=140°． 故答案为：140． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，涉及到整式方程，难点在于考虑多边形的边数是正整数． 【变式2】某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 【答案】 /45度 八 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键，首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：解：由题意可知：多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 故答案为：，八． 题型07多边形内角和、外角和的综合应用 【典例1】已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，根据多边形的内角和的计算公式，以及任意多边形的外角和为360度，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个凸多边形为边形， 由题意，得：， 解得：； 故这个凸多边形为六边形； 故答案为：6． 【变式1】已知一个多边形每个内角都相等，且一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多边形外角和内角和的综合应用，多边形一个外角的度数和一个内角的度数之和为180度，再结合题意建立方程组求出一个外角的度数，再根据外角和为360度即可求出边数． 【详解】解：设这个多边形的一个内角度数为x，一个外角度数为y， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的一个外角的度数为， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：9． 【变式2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14 【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式​是解题的关键． 先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得，即这个多边形的边数为． 总对角线条数为． 【变式3】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线的定义，三角形的内角和，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理． 先通过邻补角的定义，四边形的内角和为，得到；再通过角平分线的定义结合三角形内角和为即可求出． 【详解】解：如图， ,， ． 又， ． 与的外角平分线交于点， ，． ． ． 故选：A． 【变式4】如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形外角和公式和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， 又， ， ， 又， ． 1.下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解： 选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有选项A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：A． 2．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求多边形的内角和，根据多边形的内角和公式，，进行求解即可． 【详解】解：八边形的内角和为； 故选A． 3．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和问题，利用多边形内角和公式求解，设边数为n，则，解方程即可． 【详解】解：∵ 多边形内角和公式为 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 4.将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的与截面，理解多边形边与角的关系，图形结合分析是解题的关键． 根据题意作图分析，即可求解． 【详解】解：A、如图所示，四边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； B、如图所示，五边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； C、如图所示，六边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； D、如图所示，七边形纸片按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个六边形，不可能得到五边形，故该项符合题意； 故选：D ． 5. 若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 解得， 多边形的对角线条数公式为：， 代入： 故答案为：54． 6．四边形中，，则 ． 【答案】 【分析】根据四边形内角和定理，四边形的内角和为，结合角度比例设未知数列方程求解． 本题主要考查了四边形内角和为，熟练掌握并运用是解题的关键． 【详解】解：设，，，， 则， 解得， 故． 故答案为：． 7．一个四边形的一个外角为，与它不相邻的三个内角的和是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】利用四边形内角和为，以及外角与相邻内角互补的关系，通过代数运算求解． 本题考查了多边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设与这个外角相邻的内角为 因为四边形的内角和为 ， 所以与这个外角不相邻的三个内角的和为： ． 故答案为： 8. 如果一个多边形的各个外角都是，那么这个多边形的内角和是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形内角与外角综合，根据正多边形外角和为360度，一个内角的度数与一个外角的度数之和为180度求出正多边形的边数和一个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个多边形的各个外角都是， ∴这个多边形的边数为，每个内角的度数为， ∴这个多边形的内角和是， 故答案为：． 9．求出下列图形中的值． 【答案】36；40 【分析】本题考查了四边形内角和，解题的关键是结合四边形的内角和寻求等量关系，构建方程． 先根据四边形内角和为，用建立方程，对每个逐一求解即可． 【详解】解：图①：四边形的内角和等于， ， 解得． 图②：四边形的内角和等于， ， 解得． 10．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 11．如图，四边形中，，分别平分，．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据四边形和三角形内角和定理以及角平分线的性质求解即可． 【详解】解：，分别平分，， ，， ． ， ， ． 12．如图，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理以及多边形内角和定理，作出辅助线，把六个角的和转化为三角形的内角和以及四边形的内角和是解题的关键． 连接，则，，根据内角和定理计算即可； 【详解】如图，连接， 则，， ， ． 13．小明和小红在一起探讨有关“多边形内角和”的问题，两人各出一道题考对方，小明给小红出了这样一道题：一个四边形各内角的度数比为，求各内角的度数．小红想了想，说：“这道题目有问题．” (1)请你指出问题在哪里； (2)他们经过研究后，改变了题目中的一个数字，使这道题没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数字，使这道题没有问题，并进行解答． 【答案】(1)四边形中最大内角不能等于 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了多边形内角和，利用多边形内角和定理得出是解题关键． （1）根据多边形的每一个内角都小于，计算即可判断； （2）将度数比改为．利用四边形内角和为，计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题中条件可知，四边形中最大内角的度数为， 多边形的每一个内角都小于， ∴这个角不能是四边形的内角， ∴四边形中最大内角不能等于； （2）解：将度数比改为， 四边形的内角和为， ∴四个内角的度数分别为，，，． 14．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 15．如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 【答案】转过的角度为360° 【分析】该题主要考查了多边形的外角和的应用，解题的关键是掌握多边形的外角和为． 根据五边形的外角和为即可求解； 【详解】解：根据图象可得运动员转过的角度是五边形的外角和， ∵五边形的外角和为， ∴他转过的角度为． 16.一个多边形的内角和比它的外角和的5倍多，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是13 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和．n边形的内角和为，外角和为．根据“内角和比它的外角和的5倍多”列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， ， 解得， 答：这个多边形的边数是13． 17.一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． 【答案】13或14或15； 【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题： 先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可； 【详解】解：设新的多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，      故：原多边形的边数为13或14或15； 18.小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【答案】边数为14，内角为 【分析】根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可． 【详解】解：设多边形的边数为， ∵， ∴， ∴， ∴少算的内角的度数为， 故多边形的边数为14，少算的内角度数为． 19．已知一个n边形的每一个内角都等于． (1)求n的值； (2)求这个n边形的内角和； (3)这个n边形共有多少条对角线？ 【答案】(1)12； (2)； (3)54． 【分析】（1）首先求出外角度数，再由外角和为，即可得出结论； （2）利用内角度数内角的个数即可； （3）代入边形共有对角线的公式计算即可． 【详解】（1）解： 一个边形的每一个内角都等于， 每一个外角都等于， ， ； （2）解：这个边形的内角和； （3）解：这个边形共有对角线为：(条）． 【点睛】本题考查了多边形的内角和、外角和以及对角线，求出多边形的边数是解题的关键． 20.小梦同学想到了方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出多边形的内角和与多边形边数n之间的关系吗？ 【答案】（1）5，6；（2）(n-2)180 【分析】本题考查多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 【详解】（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2） 由（1）可得，三角形的个数等于多边形边数n． 所以，n边形的内角和等于180n-360=(n-2)180 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $