3.2.1 双曲线及其标准方程（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 导学案 （1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程； （2）掌握根据条件求双曲线方程的基本方法； （3）用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题． 思考：我们知道，平面内与两个定点F1，F2，的距离的和等于常数(大于F1F2;)的点的轨迹是椭圆。 一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么? 下面我们看一个拉链试验，是否会给出我们答案？ 思考：看视频的时候，请思考：为何视频中要把一半拉链剪掉一小节？看完视频请一个同学来分享你的答案. 下面我们借助信息技术探究一下 如图3.2-1，在直线上取两个定点，，是直线上的动点．在平面内，取定点，，以点为圆心、线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆． 我们知道，当点在线段上运动时，如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆． 思考：如图，在的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？ 预设：我们发现，在的条件下，点在线段外运动时，当点靠近定点时，；当点靠近定点时，． 结论：点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数()．这时，点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支． 双曲线的定义： 一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola)．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 探究：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线是它的一条对称轴，所以取经过两焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，M到两焦点的距离之差的绝对值为2a（0<2a<2c）, 思考：如何用集合语言表述双曲线的定义？ 预设：， 操作：请符号化上面的等式关系 因为 ， 所以 ① 要求：类比椭圆标准方程的化简过程，化简①式. 预设：化简得到： 同除以得 由双曲线得定义知，，即，所以， 类比椭圆标准方程得建立过程，令，其中，代入上式得 ② 双曲线的标准方程： 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点得坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上． 我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程． 它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里． 思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？ 预设：如图，双曲线的焦距为，焦点分别是，，，的意义同上，这时双曲线的方程是 这个方程也是双曲线的标准方程． 牛刀小试： 练1：双曲线的焦点为 . 预设：由题意可得：，且双曲线的焦点在x轴上， 故双曲线的焦点为. 故答案为：. 练2：双曲线的一个焦点为，则（     ） A． B． C．3 D． 预设：由题意得，所以． 故选：A. 练3：已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 预设：因, 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支. 故选：B． 练4：设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（     ）． A． B． C． D． 预设：由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为 故选：B 例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 预设：因为双曲线的焦点轴上，所以设它的标准方程为， 由，得，又，因此， 所以，双曲线的标准方程为． 方法总结：求双曲线的标准方程 第1步：设双曲线方程的标准形式（注意焦点位置） 第2步：根据已知条件结合定义，求出a,b,c的值 第3步：写出双曲线的标准方程 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 共同分析： 先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点与线段AB的中点重合．设炮弹爆炸点P的坐标为，则，即，． 又，所以，，． 因为，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此． 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为． 利用两个不同的观测点A，B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置，这是双曲线的一个重要应用． 方法总结：定义法求轨迹为双曲线的轨迹方程 第1步：识别：根据双曲线定义识别出所求轨迹为双曲线； 第2步：建系：建立合适的直角坐标系，表示出各已知量 第3步：求a,b,c：根据题意和双曲线定义求出a,b,c的值 第4步：写出双曲线的标准方程（注意根据实际意义写出x或y的范围） 题型一：双曲线相关概念辨析 例题 （多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 预设：对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 题型二：根据双曲方程求a，b，c 例题 （1）已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 预设：由双曲线的标准方程可得，由满足方程，知点在双曲线的右支上，. 故答案为：4. （2）已知双曲线的焦距为6，则为（     ） A．5 B． C． D．32 预设：因为双曲线的焦距为6，所以，即，且，，所以，故，故选：A 题型三：根据双曲线定义求双曲线标准方程 例题 已知点，，动点P满足条件.则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 预设：，由，结合双曲线定义可知 动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以，动点的轨迹方程为. 故选：A. 方法总结：当已知条件中出现，动点到两定点的距离差为定值的情况，即可联想双曲线的定义，得出该动点的轨迹很可能是双曲线，然后结合双曲线定义，求出a,b,c值，从而得出双曲线标准方程. 题型四：利用双曲线定义求点到焦点的距离 例题：双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则（     ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 预设：易知点在双曲线右支上，由双曲线的定义得，因为， 所以，即，又因为，所以 故选：B. 方法总结：根据双曲线定义：||PF1|−|PF2||=2a（注意分点在左支和右支两类讨论），建立关于|PF1|或|PF2|的方程，再结合已知条件，即可求|PF1|、|PF2| 题型五：根据方程表示双曲线求参数的范围 例题 若方程表示双曲线，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 预设：方程表示双曲线，，解得，故的取值范围为，故选：A. 方法总结：若方程：表示双曲线，等价于mn>0； 若方程：表示双曲线，等价于mn<0. 题型六：双曲线标准方程的实际应用 例题：已知A,B两地相距1000m，在A听到炮弹的爆炸声比在B早2s，假设爆炸声速约为300m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 预设：以方向为轴正方向，线段中点为原点建立直角坐标系，因为，所以A（﹣500，0）、B（500，0）、令M（x，y）为曲线上任一点，则|MA|﹣|MB|＝300×2＝600＜0． ∴M点轨迹为双曲线的左支，且a＝300，c＝300．∴b2＝c2﹣a2＝160000． ∴M点轨迹方程为： 1．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 预设：根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 预设：由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 3．（24-25高二上·河北石家庄·期中）点是曲线与的交点，点与的两焦点距离之和为，点与的两焦点距离之差为，则 . 预设：曲线是椭圆，其长半轴长，曲线是双曲线，其实半轴长， 由与联立消去，得，因此曲线相交， 点与的两焦点距离之和，点与的两焦点距离之差或， 所以或. 故答案为：2或10 4．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 预设：由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 5．（23-24高二上·河北·阶段练习）（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 预设：当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 6．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 预设：设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选： 1．双曲线的定义 平面内与两个定点，的 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 ． 集合，，其中a，c为常数，且，． 1．当 时，点P的轨迹是双曲线． 2．当 时，点P的轨迹是两条射线． 3．当 时，点P不存在． 【答案】 距离之差的绝对值 焦点 焦距 2．双曲线的标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 的关系 【答案】 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程 导学案 （1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程； （2）掌握根据条件求双曲线方程的基本方法； （3）用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题． 思考：我们知道，平面内与两个定点F1，F2，的距离的和等于常数(大于F1F2;)的点的轨迹是椭圆。 一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么? 下面我们看一个拉链试验，是否会给出我们答案？ 思考：看视频的时候，请思考：为何视频中要把一半拉链剪掉一小节？看完视频请一个同学来分享你的答案. 下面我们借助信息技术探究一下 如图3.2-1，在直线上取两个定点，，是直线上的动点．在平面内，取定点，，以点为圆心、线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆． 我们知道，当点在线段上运动时，如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是 ． 思考：如图，在的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？ 结论：点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数()．这时，点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分 ． 双曲线的定义： 一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的 等于非零常数（ ）的点的轨迹叫做 (hyperbola)．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ． 探究：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 思考：如何用集合语言表述双曲线的定义？ 操作：请符号化上面的等式关系 要求：类比椭圆标准方程的化简过程，化简①式. 双曲线的标准方程： 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点得坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上． 我们称方程②是 的方程，这个方程叫做 ． 它表示焦点在 上，焦点分别是 ， 的双曲线，这里 ． 思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？ 牛刀小试： 练1：双曲线的焦点为 . 练2：双曲线的一个焦点为，则（     ） A． B． C．3 D． 练3：已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 练4：设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（     ）． A． B． C． D． 例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 方法总结：求双曲线的标准方程 第1步： 双曲线方程的标准形式（注意焦点位置） 第2步：根据已知条件结合定义，求出 的值 第3步：写出双曲线的 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 利用两个不同的观测点A，B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置，这是双曲线的一个重要应用． 方法总结：定义法求轨迹为双曲线的轨迹方程 第1步： ：根据双曲线定义识别出所求轨迹为双曲线； 第2步： ：建立合适的直角坐标系，表示出各已知量 第3步： ：根据题意和双曲线定义求出a,b,c的值 第4步： （注意根据实际意义写出x或y的范围） 题型一：双曲线相关概念辨析 例题 （多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 题型二：根据双曲方程求a，b，c 例题 （1）已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． （2）已知双曲线的焦距为6，则为（     ） A．5 B． C． D．32 题型三：根据双曲线定义求双曲线标准方程 例题 已知点，，动点P满足条件.则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 方法总结：当已知条件中出现，动点到两定点的距离差为定值的情况，即可联想双曲线的定义，得出该动点的轨迹很可能是 ，然后结合双曲线定义，求出 值，从而得出双曲线标准方程. 题型四：利用双曲线定义求点到焦点的距离 例题：双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则（     ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 方法总结：根据双曲线定义： （注意分点在左支和右支两类讨论），建立关于|PF1|或|PF2|的方程，再结合已知条件，即可求|PF1|、|PF2| 题型五：根据方程表示双曲线求参数的范围 例题 若方程表示双曲线，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 方法总结：若方程：表示双曲线，等价于 ； 若方程：表示双曲线，等价于 题型六：双曲线标准方程的实际应用 例题：已知A,B两地相距1000m，在A听到炮弹的爆炸声比在B早2s，假设爆炸声速约为300m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 1．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 2．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高二上·河北石家庄·期中）点是曲线与的交点，点与的两焦点距离之和为，点与的两焦点距离之差为，则 . 4．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北·阶段练习）（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 6．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 1．双曲线的定义 平面内与两个定点，的 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 ． 集合，，其中a，c为常数，且，． 1．当 时，点P的轨迹是双曲线． 2．当 时，点P的轨迹是两条射线． 3．当 时，点P不存在． 2．双曲线的标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 的关系 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $