3.2.2双曲线几何性质的应用导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦双曲线标准方程及性质的应用，涵盖直线与双曲线位置关系、弦长和中点问题。通过复习回顾（多选、填空题）巩固双曲线焦点、渐近线、离心率等旧知，为新内容学习搭建支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于结合实际应用案例（如炮兵阵地问题）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过典例分析（位置关系判断、中点弦问题）培养数学思维，运用点差法、弦长公式等数学语言精确表达，习题设计有层次，助力学生提升分析解决问题能力。

双曲线的标准方程及性质的应用 【学习目标】 1. 掌握直线和双曲线的位置关系的判断． 2. 掌握直线和双曲线相交的弦长和中点问题的解决方法． 【学习重难点】 重点：双曲线的标准方程和简单几何性质的应用． 难点：分析并解决与双曲线相关的实际应用问题． 【复习回顾】 1. (多选)已知双曲线的方程为－＝1，那么下列说法中正确的是(　　) A. 焦点为(±，0) B. 渐近线方程为x±3y＝0 C. 离心率e为 D. 焦点到渐近线的距离为 2.A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形且顶角为120°，则E的离心率（ ） A． B． C． D． 3. 求过点M(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线标准方程为______________． 【典例分析】 应用1：（坐标法及双曲线的实际应用） 例1、A，B，C是我方三个炮兵阵地．A在B的正东，相距6千米；C在B的北偏西30°，相距4千米．P为敌炮兵阵地．某时刻A发现P地某种信号，4秒后B，C两地才同时发现这种信号(该信号的传播速度为1千米/秒)．若从A地炮击P地，求准确炮击的方位角． 解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)，依题意|PB|－|PA|＝4， ∴P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．其中a＝2，c＝3，b2＝5，其方程为－＝1(x≥2)，又|PB|＝|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上，作PD⊥BC于点D，则直线PD：x－y＋7＝0，由方程组结合x≥2，解得即P(8，5)．由于kAP＝，可知P在北偏东30°方向． 应用2：（直线与双曲线的位置关系） 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ＞0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ＜0⇔直线与双曲线相离，没有公共点． 例2、已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 解：联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．由得－<k<且k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点． 变式、若本例条件“直线l与双曲线有两个不同的公共点”改为“直线l与双曲线有且只有一个公共点”，确定满足条件的实数k的取值范围． 解：联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)． 由得k＝±， 此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点． 故当k＝±或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． 例3、（1）过点A(3，－1)且被点A平分的双曲线的弦所在的直线方程是__________． 点差法推导：（）若直线与双曲线交于两点，弦的中点坐标为，则 焦点在x轴上 焦点在y轴上 【解析】易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)，∴－＝6，∴k＝－(满足Δ>0)，∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0. （2）倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则_________. 弦长公式复习： 【解析】 由双曲线标准方程可知,，所以有，因此焦点的坐标为.由双曲线的对称性,不妨设直线过右焦点，所以直线方程方程为，与双曲线联立,得 ，所以，设，，则， 所以. 【当堂训练】 1. 直线与双曲线的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 【解析】由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其渐近线方程为y＝±x，因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选A. 2.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　) A．(1,2) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(2,1) 【解析】方法一：将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为(－1，－2)． 方法二：设直线y＝x－1与双曲线2x2－y2＝3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得2x－y＝3,2x－y＝3，作差整理得kAB＝＝＝＝1 ①，又M在y＝x－1上，则有y0＝x0－1 ②，联立①②解得x0＝－1，y0＝－2，所以M(－1，－2)．故选C. 3.过双曲线x2－＝1的一个焦点作直线交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有(　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选C　双曲线x2－＝1的右焦点为(，0)，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝，代入双曲线x2－＝1可得y＝±2，即|AB|＝4，满足条件；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－0＝k(x－)，代入双曲线x2－＝1可得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝(2k2)2－4(2－k2)·(－3k2－2)＝12k4＋4(2－k2)(3k2＋2)＝16k2＋16>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝4＝，两边平方可得6k2＝3，解得k＝±，所以斜率存在且满足条件的直线有2条，所以共有3条，故选C. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线的标准方程及性质的应用 【学习目标】 1. 掌握直线和双曲线的位置关系的判断． 2. 掌握直线和双曲线相交的弦长和中点问题的解决方法． 【学习重难点】 重点：双曲线的标准方程和简单几何性质的应用． 难点：分析并解决与双曲线相关的实际应用问题． 【复习回顾】 1. (多选)已知双曲线的方程为，那么下列说法中正确的是(　　) A. 焦点为 B. 渐近线方程为 C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为 2. 为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形且顶角为，则的离心率__________． 3. 求过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程为______________． 【典例分析】 应用1：（坐标法及双曲线的实际应用） 例1、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距千米；在的北偏西，相距千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，秒后，两地才同时发现这种信号(该信号的传播速度为千米/秒)．若从地炮击地，求准确炮击的方位角． 应用2：（直线与双曲线的位置关系） 一般地，设直线方程为，双曲线方程为，将代入，消去并化简，得. (1)当，即时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点． (2)当，即时，判别式直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式直线与双曲线相离，没有公共点． 例2、已知双曲线，直线，直线与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数的取值范围． 变式、若“直线与双曲线有且只有一个公共点”，确定满足条件的实数的取值范围． 例3、（1）过点且被点平分的双曲线的弦所在的直线方程是__________． 点差法推导：（）若直线与双曲线交于两点，弦的中点坐标为，则 焦点在轴上 焦点在轴上 （2）倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线交于两点，则____. 弦长公式复习： 【当堂训练】 1.直线与双曲线的交点个数是(　　) A． B． C．或 D． 2.直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是________. 3.过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有(　 ) A．条 B．条 C．条 D．条 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $