河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一上学期1月期末冲刺模拟（一）数学试题

2025-2026学年高一年级期末冲刺模拟（一） 数学学科试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题 1．已知集合，则A∩B=( ) A. (-1,1) B. (0,1) C. (0,+∞) D. Ø 2．现某校组织学生进行踏青活动，该校共有高一学生600人、高二学生400人、高三学生800人．现以分层随机抽样的方式抽取72人参加活动，则共应抽取高一和高二学生的总人数为 ( ) A.32 B.36 C. 40 D. 44 3．运动员甲、乙进行射击训练，若甲、乙中靶的概率分别为0.7,0.8，则两人都脱靶的概率为 ( ) A. 0.56 B. 0.5 C. 0.06 D. 0.44 4．若“ ”是“|x-a|<2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ( ) A.[1,3] B.(1,3] C. [-1,3] D. (-1,3] 5．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001,002,003...899，900．若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数字开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．则样本编号的75％分位数为 ( ) 05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 A.680 B. 585 C. 467 D.15 6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3，5,8,13,21，从第三个数起，每个数等于它前面两个数之和．从该列数第三个数起，取出相邻的两个数，分别作为对数的底数和真数，则前三个数是log23，它们的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 7．函数在(1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围 ( ) A.(-∞,2] B. (-1,2] C. [-1,2] D.[2,+∞) 8．已知函数，若不等式对任意x∈R均成立，则实数t的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩．首金是由中国两名运动员（记为甲、乙）组成的组合在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则 ( ) A．运动员甲的平均射击环数低于10.6 B．运动员乙射击环数的80％分位数和众数均为10.4 C.运动员甲射击环数的标准差小于运动员乙射击环数的标准差 D.运动员乙射击环数的极差小于运动员甲射击环数的极差 10．连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果．设事件M表示“n 次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N表示“n次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有 ( ) A.若n=2，则M与N互斥 B.若n=2，则M与N不相互独立 C.若n=3，则M与N不互斥 D.若n=3，则M与N相互独立 11．已知函数函数g(x)=f(f(x))-m，则下列结论正确的是 ( ) A.若m=4，则g(x）有3个零点 B.若m=3，则g(x)有6个零点 C.若g(x)有5个零点，则m的取值范围为（0,3） D.存在m∈R，使得g(x）没有零点 三、填空题 12．若命题p:3x∈R，为假命题，则a的取值范围为 13．某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差s2的值是 . 14．已知实数x,y满足，则 四、解答题 15．某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩．将成绩分为［30,50),[50,70),[70,90),[90,110)，［110,130),[130,150]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［70,130）内的学生中抽取15名，则成绩在［70,90）的同学有几个？ （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 16．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型：①②可供选择. （1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式； （2）若水域中此生物的面积是当初投放的100倍时，当地环保部门必须及时干预，问约经过几个月，当地环保部门需要及时干预？（结果精确到整数）（参考数据： 17．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个． （1）从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率； （2）从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率； （3）若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率． 18．已知函数为偶函数. （1）求实数k的值； （2）解关于m的不等式f(2m+1)>f(m-1); （3）设，若函数f(x)与g(x)图象有2个公共点，求实数a的取值范围. 19．若函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且满足，则称f(x)为“德函数”. （1）分别判断下列函数是否为“德函数”，并说明理由； ①②③ （2）若“德函数”f(x)在（0,1］上单调递增，求证：f(x)在(0,+∞)上单调递增； （3）已知f(x)为“德函数”，且当x∈(1,+∞)时， (a>0a≠1)，若f(x)在(0,+∞)上的值域为R，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一年级期末 数学学科参考答案 题号 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A A A c D AC BCD AB 1.【详解】因为) <22 ,所以x>-1,又因为log2x<0=log21,所以0<x<1所以 A∩B={x|0<x< 72 2.【详解】由题意，抽取高一和高二学生的总人数为 ×(600+400)=40, 600+400+800 3.【详解】：甲、乙两人射击是相互独立事件，甲、乙中靶的概率分别为0.7,0.8， ∴.甲、乙脱靶的概率为1-0.7=0.3,1-0.8=0.2，.甲、乙都脱靶的概率P=0.3×0.2=0.06, 故C正确. 4.【详解】不等式 <0→(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3,不等式k-d<2→-2<x-a<2, x-3 解得a-2<<a+2,因为号0是小<2的充分不必要条件，所以日等号不能 同时成立，解得1≤a≤3， 5.【详解】由题意可知：抽取的样本容量为8，故抽取的八个数据分别为： 060,223,585,151,035,159,775,780,将其从小到大排列为035,060,151,159,223,585,775,780， 8×759%=6,故样本编号的75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即585+775 =680, 2 6.【详解】易知y=1og2x与y=1ogx,y=nx在定义域(0，+w)上单调递增，且22<3,3√5>5 所以1og,3>o8,25-lo8,5<l1og,3V3=,则1g:3>lg,5, og,5-1g,8=h5-n8-5-h3x血8①，显然h8>0h3>0,h5>0,所以 h3n5h5×h3 3+h8>h3xn8,仙s-5+h5_2,血24（血3+血9>n3×h6所以①式 4 4 4 4 4 大于0，即log5>log,8,所以1og,8<log5<log23,故A正确， 7.【详解】函数由y=-log2t,t=x2-a+2a构成，外层函数y=-log2t在(0，+o)是减函数， 则由函数y=-log2(x2-ax+2a)在(1，+o)上单调递减，则内层函数t=x2-ax+2a在 高一数学参考答案第1页（共9页) (1,+o)上单调递增，且函数值大于0，所以2 ,得-1≤a≤2，所以a取值范 2-a+2a20 围是[-1,2]. 8.【详解】 )=h(M++e子2=h+x218间=-1=hiF+品 由解析式可知：y=++)在R上单调递增，y=e-1-e+1-2=1- e'tj 由解析 e*+1 e*+1 式可知，其在R上单调递增，所以()=+F+在R上单调递增，又 g(=(+-+司=专， 所以g(x)是在R的奇函数，且g(x)在R的单调递增，所以f(e-e2)+f(te-2)<2 即f(e-e2）-1<-[fte-2-1 g(e*-e2）<-g(te-2),g(e*-e2x)<g(-te*+2),所以e*-e2<-t.e*+2, t.e<e2-e+2,所以1<e=e+2在R的恒成立，所以令 e a)=ee2-e+21,A6)=+号1225-1 当e是.即x=hv万，等号成立，所以1<25-1 9.【详解】对于A,由题知，运动员甲的射击环数有2次是10.8,5次是10.6，其余都是10.6 以下，所以运动员甲的平均射击环数低于10.6，所以A正确： 对于B,由于14x0.8=11.2,故80%分位数是从小到大排列的第12个数10.7，运动员乙 射击环数最多的为10.4，所以众数为10.4，所以B错误； 对于C,由于运动员乙的射击环数更分散，故标准差更大，所以C正确： 运动员乙射击环数的极差为10.8-9.7=1.1，运动员甲射击环数的极差为10.8-10.3=0.5， D错误 10.【详解】记抛掷一枚硬币正面向上为1，反面向上为0，则连续抛掷一枚硬币两次的样本 空间为2=11,10,01,00}，此时事件M的样本空间为10,01}，事件N的样本空间为 {10,01,00},积事件N的样本空间为10,01}，所以事件M,N交集不空，不互斥，且 高一数学参考答案第2页（共9页) P()-P()P(M)- 所以P(MW)≠P(MP(N),故M与N不相互独立，故A错误，B正确： 连续抛掷一枚硬币3次的样本空间为22={111,110,101,011,100,010,001,000}共8个样本 点，此时事件M的样本空间为110,101,011,100,010,001}共6个样本点，事件N的样本 空间为100,010,001,000}共4个样本点，积事件MN的样本空间为100,010,001}，所以 事件M,N的交集不空，不互斥，且P(M)=子P(W)=号PN)8所以 P(N)=P(M)P(N),故M与N相互独立，故CD正确； 11.【详解】作出函数f(x)的图象如下：令f(x)=t,则由 =f(x) g(x)=f(f(x)-=0可得f(t)-=0, ①当m>4时，方程f(t)=m有1个根，且t<1-e,此时方 1-e Ol 程∫(x)=t只有1解，所以g(x)只有1个零点： ②当m=4,则方程f(t)=4有两个根t=1-e或t=2,由图知f(x)=1-e仅有一解， f(x)=2有2解，所以可知g(x)有3个零点： ③当m∈(3,4)时，则方程f()=m有三个根，2，，且1∈(1-e,0),t2∈(1,2)，t3∈(2,3)， 当∈(1-e,0)时，此时方程f(x)=t只有1解，当t2∈(1,2)时，此时方程f(x)=t,有2 解， 当t,∈(2,3)时，此时方程∫(x)=t,有2解，所以此时g(x)有5个零点： ④当m=3时，则方程f()=3有三个根分别为0,1,3，易知方程f(x)=0有1解，方程 f(x)=1有2解，方程f(x)=3有3解，所以此时g(x)有6个零点： ⑤当m∈(0,3)时，方程f(t)=m有两个根t,t,且t4∈(0,1)，t∈(3,4)， 高一数学参考答案第3页（共9页） 当t∈(0,1)时，此时方程f(x)=t4有2解，当t∈(3,4)时，此时方程f(x)=t有3解， ∴g(x)有5个零点，⑥当=0时，则方程f(t)=0有1个根为4，此时方程f(x)=4有 2解，所以g(x)有2个零点， ⑦当<0时，方程f(t)=m有1个根且t>4,由t>4可得方程f(x)=t仅有1解，所 以g(x)有1个零点，综上所述，若m=4,则g(x)有3个零点，即A正确；若=3， 则g(x)有6个零点，可知B正确；若g(x)有5个零点，则实数m的取值范围为 (0,3)U(3,4),因此C错误；结合已有分析可知，对任意实数m∈R,g(x)都有零点， 因此D错误 12.【答案】[0,4) 【详解】由题意p:Vx∈R,ar2->-1是真命题，即ax2-x+1>0 a=a:-4a<0'解得0<a<4,综上a的范围是[0,4. [a>0 a=0时显然满足，a≠0时， 13.【答案】3 【详解】由题知，全体学生周末在家学习时长的平均数为30x8+20×105=9, 30+20 所以0”2+8-9j门+0”200s4o5-9j门-号3. 14.【答案】e 【详解】由e+r=6,得e+-15,即e+ne-5=0,由分+y ,得 y2+2ny=5,即y2+lny2-5=0,因此e1,y2是方程t+nt-5=0的解，而函数 y=t-5,y=ht都是增函数， 则函数f0=t+血t-5是增函数，于是e1=y,所以 v2=e. 15.【答案】 (1)由频率分布直方图性质得(0.0025+0.005+0.01+0.015+a+0.005)×20=1,解得 a=0.0125, 0.01 所以[70,90)的人数有0.01+0019+00125x15=4个 (2)本次考试的平均分 高一数学参考答案第4页（共9页） x=40x0.0025×20+60x0.005×20+80x0.01x20 +100×0.015×20+120×0.0125×20+140×0.005×20=98, 由频率分布直方图得：众数为100 (3)130,150]的频率为0.005×20=0.1>0.06，所以获得表彰的同学的最低分数位于[130,150] 内，且设为x,则150-x)×0.005≤0.06，解得x≥138，即最低分数为138. 16.【答案】 (1)①的函数y=ka(k>0,a>1)中，y随x的增长而增长的速度越来越快， 而②的函数y=p√+q(p>0)中，y随x的增长而增长的速度越来越慢， 枚依愿意应进泽y=去a任>0a>),剥有仁解得：所以y=)e: k=8 (2)当x=0时，y=8,设经过x个月，该水域中此生物的面积是当初投放的100倍， 则s( =8x100,解得x=1og,100=g100 2 g3-g2 -≈11.11 故经过12个月后该水域中此生物的面积是当初投放的100倍，此时环保部门必须及时 干预. 17.【答案】 (1)记三个红球编号为1,2,3，两个白球分别为4,5，则在有放回情况下， 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有5种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，组成25种等可能的结 果.如表1所示. 第<次 第 2 3 5 1 1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 4,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) 3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 表1 第一次摸到白球的可能结果有10种，见表中后两行. 记A=“第一次摸到白球， 高一数学参考答案第5页（共9页） 则4)-9=名 255· (2)在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结 果， 第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结 果，如表2所示 第次 第 二次 1,2) 4,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) + (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) 表2 第二次摸到白球的可能结果有8种，见表中后两列. 记B=“第二次摸到白球，则 P®品 (3)“同时摸出两个球的样本点有1,2)，1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10个样本点， 其中至少摸到一个白球的样本点有1,4)，1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共7个样本 点， 记C=“至少摸到一个白球”，则PC)= 10 18.【详解】 (1)函数的定义域为R,因为函数f(x)=log,(4+1)+x为偶函数.所以f(-x)=f(x), 即1og2（4+1)-ax=log2（4+1)+x,所以 4+1 h=bsa4-o8:4:o=-2,所以1 3图为eg-=e华)s分》 高一数学参考答案第6页（共9页） 当x之0时，221，y=2+单调递增，所以/)在[0+m)上单调递描，又函数J() 为偶函数， 所以函数f(x)在(-∞，0上单调递减： 因为f(2m+1)>f(m-1),所以2m+1>-1,解得m<-2或>0，所以不等式的解集 为(-∞，-2)U(0,+∞) (3)因为函数f(x)与g(x)图象有2个公共点，所以方程f(x)=g(x)有两个不同的根， 方程即为log:(4+1)-x=log,(a2+a,可化为a-2+a=4+1-2+ 1 2 则有a-2+a>0,a>0,设t=2>0,则at+a=t+,即(a-1)r2+m-1=0, 又t=2*在R上单调递增，所以方程(a-1)t2+at-1=0有两个不等的正根： 「a-1≠0 △=a2-4(a-1)x(-1)>0 0 所以{-a ,解得2√2-2<a<1,所以a的取值范围为(2√2-21). 1 >0 a-1 19.【详解】1)h)+h=1ogx+1og, =log。1=0,所以为“德函数”； ②f()+日)x+++0，所以不为德函数： 11=0 @当x>1时，则上0，从而8(+8日-x+nx+ x I 当*Q时，则片1从而g+)xh0:当x1时，g0-0, 所以为“德函数； (2)任取x,2∈(0，+o),且<x2 ①若0<x<x2≤1，由于f(x)在(0，上单调递增，则∫(x)<f(x), 高一数学参考答案第7页（共9页） ②若1s5<,则0<<≤1，由于jx)在o1上单调递增， 则) 结合“德函数的定义，有∫(：)<∫(x)即f(x)在[1，+o)上单调递增； 若0<x<1<x,由①②，则有f()<f(1)=0<f(x,),故f(x)在(0，+o)上单调递增： (3)令x∈(1，+o)时，f(x)=log。(x2-m+4)-2的值域为A, 根据“德函数”的定义，要使若f(x)在(0，+o)上的值域为R, 只需A三(0，+o)或者A2(-∞，0)即可， 4 因为x2-m+4>0在(1，+∞)恒成立.∴x2+4>ax台 X+ >a台a<4, ∴.0<a<4且a≠1； ①0<a<1,令t=x2-ax+4= +4-在)单调指。 4 从而t>5-a,则y=g(t)=l0g。t-2单调递减，从而f(x)=log（x2-ax+4)-2在 (1,+∞)单调递减， ∴.f(x)e-o,log。(5-a)-2)2(-o,0), 1s.5-a≥2=lg.a2s0<5-a≤d一as1或5>a≥l+(舍去) 2 2 ②1<a<4, i)1<a≤2，则分g1,则1=r-m+4=(-g ”+4-￠在(L+)单调递增， 22 2 而y=g(t)=log。t-2单调递增，从而f(x)=log2（x2-+4)-2在(1，+o)单调递增， f(x)e(1oga(5-ad）-2,+o)2(0,+o), 18,5-m)≤2=1ogaa0<5-asd分as1-或5>a2-1+ 2 2 高一数学参考答案第8页（共9页） (i)2<a<4,则1<分2，则=-a+4=(-+4-号在1单调递减，（号 在单调递增，而y=g)=log,1-2单调递增，从而f()=1og.(-am+4)-2在1号 单调递减， 在单调递增， .()e(os.(-2) abg4月s2=-s,ae0<4-sa-9≤a<l6且2<a<4,∴ae24到：综 5 上生 高一数学参考答案第9页（共9页)