精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

2025-2026年度上学期方城一高高三年级期末考试 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为 A. 或5 B. 或5 C. D. 4. 已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，且其图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，每题有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.） 9. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 一组数据，，，，，，，，的分位数为 B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为 D. 若随机变量，且，则 11. 已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，下列结论中正确的有（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为16 三、填空题 12. 的展开式中项的系数是______． 13. 已知棱长为的正四面体的外接球球心为，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角的正弦值为___________. 14. 在中，内角所对的边分别为，若，则 （1）___________； （2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________． 四、解答题（本题共5小题.77分） 15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字） （1）请求出加工时间关于零件数的经验回归方程； （2）该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断： （ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟） （ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？ 附：参考数据：，，，. 对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 16. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）求证：四边形的面积为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度上学期方城一高高三年级期末考试 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数对应点得出复数，再应用复数除法计算化简求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为，则复数， 复数，则复数的虚部为. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 3. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为 A. 或5 B. 或5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为q, ∵9S3=S6, ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,即q=2, ∴an=2n-1, ∴=, ∴数列是首项为1,公比为的等比数列, 故数列的前5项和为=. 故选C. 4. 已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系. 设动点，由可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.根据三角形面积公式可知当面积最大时，点的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系如图所示. 则由题可知，，则圆的方程为：. 设动点，则根据可得， 化简可得：，即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为，所以当面积最大时，点坐标， 当点的坐标为时，，， 所以. 当点的坐标为时，，， 所以. 故选：D. 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 6. 已知函数上单调递增，且其图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称轴得出，结合单调性得出，代入数值可得答案. 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即， 因为在上，即上单调递增， 显然，则，可得，故 综上，，则，故. 故选：D 7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由互斥事件和事件概率公式、条件概率计算公式即可求解；法二：确定事件与事件相互独立，得到即可求解. 【详解】法1：因为，所以， 所以， 所以． 法2：因为，所以， 所以， 所以，所以事件与事件相互独立， 所以事件与事件独立，所以. 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用内心的性质得出相应线段比例关系，进而求出，利用斜率推出相应角的余弦值，再利用余弦定理构造方程求出的关系，最后利用离心率公式计算求解． 【详解】 为的内心， 为角平分线交点， 又，故， ， ， 又， ， 直线的斜率为，， 在中，由余弦定理得， 整理得，故D正确． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，每题有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.） 9. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 一组数据，，，，，，，，的分位数为 B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为 D. 若随机变量，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求样本的分位数，判断A，由条件结合相关系数的定义确定相关系数判断B，根据分层抽样的方差公式求这名学生物理成绩的方差判断C，结合正态密度曲线的对称性可求结论判断D. 【详解】对于A：该组数据已从小到大排序，又， 故分位数为第位，即，故A错误； 对于B：因为样本点都在直线上，说明是负相关且相关系数为，故B错误； 对于C：这名同学物理成绩的平均数为：， 所以这名同学物理成绩的方差为：，故C正确； 对于D：因为，且，所以， 所以，故D正确. 故选：CD. 11. 已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，下列结论中正确的有（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】当有，，共线，结合抛物线通径的性质判断A；令，设直线的方程为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义确定弦长，进而计算可判断B；当有，，三点共线，，，三点共线，令，直线的方程为，直线的方程为，结合焦半径公式计算可判断C，利用焦半径公式与基本不等式计算可判断D. 【详解】当时，有，故，，三点共线， 所以是一条焦点弦，其最小值为通径长度为，故A正确； 令，而，可设直线的方程为， 联立，消去得，所以， 则， ， 所以，故B错误； 当时，有， 所以，，三点共线，，，三点共线，如下图所示， 令， 直线的方程为，直线的方程为， 可得， 同B分析得，，，， 所以 ，故C正确； ， 当，即时取等号， 所以的最小值为16，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 的展开式中项的系数是______． 【答案】60 【解析】 【分析】将看作个因式相乘，由分步乘法计数原理求解. 【详解】将看作个因式相乘， 则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法； 再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同取法， 最后从剩下的因式中取，有种不同的取法， 根据分步乘法计数原理，可得的系数为， 故答案为：. 13. 已知棱长为的正四面体的外接球球心为，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】以在底面内的射影为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量表示求出点坐标，再利用截面面积求出截面圆半径以及球心到截面的距离，结合线面角定义即可求得直线与该截面所成的角的正弦值为. 【详解】取的中点为，连接，则点在底面内的射影在上，且， 以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为正四面体的棱长为，所以，因此； 所以， 由可得； 易知正四面体的外接球球心在上，设正四面体的外接球半径为，即； 在中，，即，解得； 因此，所以； 过点作球的截面，若截面面积为， 则截面圆半径满足，因此； 因此球心到截面距离； 又，所以； 设直线与该截面所成的角为， 则直线与该截面所成的角的正弦值为. 故答案为： 14. 在中，内角所对的边分别为，若，则 （1）___________； （2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由两角和差的余弦公式及正弦定理化简即可； （2）令，利用正弦定理与余弦定理可得，，再根据三角形面积公式得到，由正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由得 即， . 又，所以， 由正弦定理得. 又，所以. 因为，所以. （2）令， 则由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得， ， 线段，不可能为钝角， 所以， 所以 （时取等号）， 所以面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题.77分） 15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字） （1）请求出加工时间关于零件数的经验回归方程； （2）该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断： （ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟） （ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？ 附：参考数据：，，，. 对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】（1） （2）（ⅰ）低于现行标准时间；（ⅱ）应考虑调低标准时间， 【解析】 【分析】（1）求出并根据参考数据求出的值，可得经验回归方程； （2）（ⅰ）根据回归方程可预测120个零件任务的回归预测时间小于标准时间， （ⅱ）利用预测值将标准时间调整为分/个比较合适. 【详解】（1）易知，， 所以， 可得， 所以加工时间关于零件个数的经验回归方程是， （2）（ⅰ）当时， 所以120个零件任务的回归预测时间，因此低于现行标准时间. （ⅱ）由于回归预测显示实际所需时间（约135.25分）比标准时间少9分钟，说明按照现行标准，工人很容易拿到奖励（实际效率更高）. 如果车间希望控制奖励发放比例或更符合实际效率，应考虑调低标准时间，如调整到接近预测的分/个，使标准更贴近真实加工能力. 16. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得； （2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得. 【小问1详解】 设的公差为，由题意知，即， 即有，因为，可得，， 所以； 【小问2详解】 设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以． 17. 如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1) 要证明 平面 ，需根据线面垂直判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线.由正方形性质可得 ，再结合面面垂直的性质证明 平面 ，得到 ，即可满足判定条件. (2) 以 为原点建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标，根据 将点 、 的坐标用参数 表示，通过向量模长公式即可求出 的长度表达式. (3) 先对 长度的表达式配方，求出 最短时对应的 值，确定此时 、 的坐标，再分别求出平面 与平面 的法向量，利用空间向量夹角公式计算两法向量夹角的余弦值，取绝对值即为两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在矩形中，，点分别是的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 ， ， ， 因为， 所以 ， ， 则 ， 所以 ， 所以线段的长为 ； 【小问3详解】 因为， 所以当时，线段最短， 此时分别为线段的中点， ， ， 则 ， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知， 为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）求证：四边形的面积为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （ⅰ）由（1）可得：，，设，，， 且，即 则，令， 则，令，， 则， . 故求证四边形面积为定值2. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义可得值，结合值即可得出； （2）（ⅰ）设，，，写出直线的方程表示出的长，最后化简即可； （ⅱ）先求出的面积，再利用上一问求出，转化成求面积的最大值就是求出的面积最大值即可. 【小问1详解】 由题意可得，又，解得， 故椭圆的标准方程为 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）直线，到直线的距离为 且 当且仅当时等号成立. 所以的面积 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由： 由于，所以与的零点个数相同. 依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点. 不妨设的两个零点为，，的两个零点为，， 则有， 因为，得，① 所以，② 又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况： （1）当时，即，，，成等差数列，则有，③ 由②③得， 代入①得，，④ 又，⑤ 将④代入⑤式可得， 由等差数列性质及，可得，从而有， 可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在； （2）当时，即，，，成等差数列，则，③ 由②③得，同理得，，④ 又，⑥ 将④代入⑥式可得， 代入③可得，解得，， 这与④矛盾，故实数不存在. 综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得答案； （2）求导，判断的单调性，求出极值，列式运算得解； （3）由，得与的零点个数相同，所以与各有两个零点，设的两个零点为，，的两个零点为，，可得，分和讨论即可. 【小问1详解】 由， 当时，，， 故的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由， 当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符； 当时，令，则，则当，；当，， 所以在单调递增，在上单调递减， 故，且，. 故有两个零点，即，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $