8.题型八 新定义问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

题型八 类型1数与式的新定义问题 例1(2025嘉兴平湖市二模)已知a,b均为实数， 定义一种新运算：a※b= 「a-b2(a≥b) 若 1b2-a-1(a<b) a1=1※2,02=3※2，a3=3※4，a4=5※4，则a1+ a2+a3+au的值为 变式1-1(2025杭州临平区模拟)对于实数a,b, 1-6例如：1*3= 定义一种新运算“☆”为：a☆b=a+b 权3=-2则方(-2)x=1的解是（) 1+3 A.x=1 B.x=3 C.x=-3 D.x=-1 变式1-2我们规定：一个四位数M=abcd,若满足 a+b=c+d=10,则称这个四位数为“十全数”.例 如：四位数1928，因为1+9=2+8=10，所以1928 是“十全数”.按照这个规定，最小的“十全数”是 ；一个“十全数”M=abcd,将其千位数字 与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换 位置，得到一个新的数M'=dcba,记F(M)= %,ca0-"以若w±8》±5与 13 ab+d均是整数，则满足条件的M的值 17 起 类型2方程（组）与不等式（组）的新定义问题 例2对x,y定义新运算H:规定H(x,y）= 若关于正数*的不等式组 rH(x,1)>4 lH(-1,x)≤ 恰有2个整数解，则a的取值范围 是 变式2对于任意实数a,b,定义新运算：a※b= 哈用下列结色： ①8※2=8；②若x※3=6，则x=6; ③a※b=(-a)※(-b); ④若(2x-4)※2<5x,则x的取值范围为x>4 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 浙江新中考数学 行定义问题 类型3函数的新定义问题 例3(2025温州龙港市二模)新定义：我们把抛物 线y=-ax2-bx+c(其中a≠0)与抛物线y= ax2+bx+c称为“孪生抛物线”.例如：抛物线 y=-x2-5x+3的“李生抛物线”为y=x2+5x+ 3.已知抛物线C1:y=-ax2-2ax+a+4(a为常 数，且a<0)的“孪生抛物线”为C2.抛物线C2的 顶点为A,与x轴交于B,C两点，若△ABC为直角 三角形，则抛物线C,的表达式为 变式3(2025湖州一模)在平面直角坐标系中，点 A(x,y)的纵坐标y与横坐标x的差“y-x”称为点 A的“纵横差”.某范围内函数图象上所有点的“纵 横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵 横极差” 例如：点A(-8,1)的“纵横差”为1-(-8)=9； 函数y=2x+1图象上所有点的“纵横差”可以表 示为y-x=2x+1-x=x+1,当3≤x≤6时，x+1 的最大值为6+1=7，所以函数y=2x+1(3≤x≤ 6)的“纵横极差”为7. 根据定义，解答下列问题： (1)求点B(4,9)的“纵横差”； (2)求函数y=4+x(-5≤x≤-1)的“纵 横极差”； (3)若函数y=-x2+(2h+1)x(-1≤x≤3)的 “纵横极差”为4，求h的值。 二轮重难题型培优 53 类型4几何新定义问题 例4(2025杭州上城区一模)定义：将一组对角线 相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”， 内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组 合比，用k表示. 如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中 BD与EF共线，且满足BD:EF= 3 (1)组合比k= (2)若BE=2,AB=3,求AC的长； (3)若∠BAD=∠AEC,求证：∠AEB=30°. ( 例4题图 54 浙江新中考数学 变式4(2025杭州滨江区三模)我们定义：若一条 直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周 长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线” (1)如图1，已知△ABC,AB=AC,AC≠BC,过点C 能作出△ABC的“紫金线”吗？若能，用尺规作图 作出；若不能，请说明理由； (2)如图2，若MW是矩形ABCD的“紫金线”，则 依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将∠ACD用 含α的代数式表示为 (3)如图3，已知四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB=3,BC=8,CD=5.作出四边形ABCD的 “紫金线”PQ(保留作图痕迹，并说明理由). 图1 图2 B 图3 变式4题图 二轮重难题型培优 针对 1.对多项式A,B,定义新运算“⊕”：A⊕B=2A+B;对 正整数k和多项式A,定义新运算“⑧”：k⑧A= A①A①A①⊕A(按从左到右的顺序依次做“⊕” k个A 运算).已知正整数m,n为常数，记M=m⑧(x2+ 31xy),N=n⑧(y2-14xy),若M⊕N不含y项， 则mn= 2.定义：点A(x,y)为平面直角坐标系内的点，若满 足-x=y,则把点A叫作“和谐点”.例如：M(1, -1),N(-2,2)都是“和谐点”.若-1≤x≤3时， 直线y=2x+m上有“和谐点”，则m的取值范围 是 () A.0≤m≤3 B.-9≤m≤3 C.-3≤m≤9 D.-9≤m≤0 3.定义：对于一组关于x的多项式x+a,x+b,x+c, x+d,当其中两个多项式的乘积与另外两个多项 式乘积的差为常数p时（不含字母x),称这样的四 个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是 这组黄金多项式的黄金因子.若多项式x+,x+ √5，x+√5-1，x+√5+1是一组黄金多项式，黄金 因子为2，则n的值为 4.对于正整数n,根据n除以3的余数，分以下三种 情况得到另一个正整数m:若余数为0，则m=了： 若余数为1，则m=2n;若余数为2，则m=n+1.这 种得到m的过程称为对n进行一次“变换”.对所 得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变 换，依此类推.例如，正整数n=4,根据4除以3的 余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到 的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1=9 知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3 的余数为0，由9÷3=3知，对4进行三次变换得 到的数为3. (1)对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； (2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则 所有满足条件的n的值之和为 浙江新中考数学 训练 5.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3)，且对 称轴为直线x=1. (1)求这个二次函数的解析式； (2)若一个点的坐标满足(k,2k),我们将这样的点 定义为“倍值点” ①求这个函数“倍值点”的坐标； ②若P(m,n)是该二次函数图象上“倍值点”之间 的点（包括端点），求n的最大值与最小值的差 二轮重难题型培优 55 6.（2025宁波校级模拟)数学学习小组成员在阅读 课外书中，学习了一种特殊的四边形：筝形，其定 义为：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.因 此大家以“筝形”为主题开展了实践探究活动. 【素材】如图1，学习小组成员将一张长方形卡纸 对折后压平，按图中的方法剪出一个三角形，把纸 展平，得到四边形ABCD. 【探究】 (1)判断四边形ABCD是否为筝形.若是筝形，请 指出哪两组邻边相等；若不是筝形，请说明理由； (2)如图2，在探究筝形MNPQ性质的过程中，猜 想：NQ垂直平分MP.你认为该猜想是否成立？请 说明理由； (3)在第(2)题基础上，若QM⊥MN,sin∠QMO= 专，M0=3,求筝形MPQ的面积 图1 图2 第6题图 56 浙江新中考数学 7.(2023宁波中考)定义：有两个相邻的内角是直 角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边 形，相等两邻边的夹角称为邻等角. (1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A= 90°，对角线DB平分∠ADC.求证：四边形ABCD 为邻等四边形； (2)如图2，在6×5的方格纸中，A,B,C三点均在 格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所 有符合条件的格点D; (3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB= ∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC,过B作 BE∥AC交DA的延长线于点E.若AC=8,DE= 10,求四边形EBCD的周长. 图1 图2 E 图3 第7题图 二轮重难题型培优在等腰直角三角形ECF中，CE=CF,∠ECF=90°， ∴.∠BCE=∠DCF=90°-∠ECD. BC=DC 在△BCE和△DCF中，{∠BCE=∠DCF, LCE=CF .∴△BCE≌△DCF(SAS),∴.BE=DF: (2)①如题图1，当点E在线段AD上， AE=2ED,正方形ABCD的边长为3， .AE +ED AD =3,.'.AE=2,ED =1. 在正方形ABCD中，AB=3,∠BAE=90°， .BE=√AB+AE=√32+2=√13， 由(1)知，BE=DF,.DF=13; ②如解图1，当点E在AD延长线上， D 轮重难 型培优 第3题解图1 四边形ABCD是正方形，.BC=CD,∠BCD=∠90 在等腰直角三角形ECF中，CE=CF,∠ECF=90°， ∴.∠BCE=∠DCF, BC=DC 在△BCE和△DCF中，{∠BCE=∠DCF, LCE=CF ∴.△BCE≌△DCF(SAS),∴.BE=DF AE AD ED =2ED =2AD =6. 在正方形ABCD中，AB=3,∠BAE=90°， .BE=√AB2+AE=√32+6=3V5, .DF=BE=35综上，DF的长为13或3√5； (3)3√10 4.(1)证明略. (2)解：当DF=BF时，即DF2=BF2时，四边形 BEDF是菱形 DF2=t2,BF2=AB2+AF2=62+(10-t)2=t2- 20t+136,.2=2-20t+136, 4=兰当4-普时，四边形BEDP为菱形， (3)解：①5，内角不为90°的菱形； ②S△ABc+SAD的值不变化. 由①知△DcF△EcC88-8e. 8器cm9器-96 SAADE DE 10 SE=克，S△4e+SAE=l, 同理可得30 SAADE SAur+Sus=Sam=2Sem=7x6x10= 30(cm2) 题型八新定义问题 例12变式1-1C变式1-21919；3782 44 浙江新中考 例28≤a<9变式2B 115 例3y=40+2x+4 变式3（1)点B(4,9)的“纵横差”为5； (2)函数y=4+x(-5≤x≤-1)的“纵横极差”为 x -5,解答过程略； 4 (3)h=-2.5或h=2,解答过程略. 例4(1)3 (2)AC=4√2，解答过程略； (3)证明略. 变式4(1)过点C不能作出△ABC的“紫金线”.理 由略； （2)2a-90°；（3)略. 针对训练 1.152.B3.W5±24.(1)2；(2)11 5.(1)二次函数的解析式为y=x2-2x-5; (2)①这个函数“倍值点”的坐标为(5,10)或(-1， -2),解答过程略； ②n的最大值与最小值的差为10-（-6)=16，解 答过程略. 6.(1)四边形ABCD是筝形，两组相等的邻边分别是 AD=CD,BA=BC: (2)猜想成立.理由略； (3)筝形MWPQ的面积为18√2，解答过程略. 7.(1)证明略.（2)证明略； (3)四边形EBCD的周长为38-6√2，解答过程略. 题型九综合与实践 1.内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米。 2.任务1：每隔10min水面高度观察值的变化量为 -1,-0.9,-1.1,-1.2; 任务2：h=-0.1t+30(0≤t≤300)，解答过程略； 任务3：（1)w=0.05,解答过程略； (2)经过(0,30)的一次函数解析式为h=-0.102t+ 30,解答过程略； 任务4：略. 3.（1)A,B两岛间的距离约为499m,解答过程略； （2)略. 4.(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数 为2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N; (2)F拉功=-0.3x+5.8,解答过程略； (3)m=0.6,n=1.6. 5.解：(1)y关于x的函数是二次函数.该二次函数的 表达式为y=-7x2+28x+35,解答过程略； (2)抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤ 5,解答过程略. 6.(1)10: (2)作图略；(3)证明略； (4)m∠BRCH=音解答过程路；②CH=2,2 学 参考答案