7.课时二 几何图形中的线段，面积最值问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

(3) 7 图 图2 D NE 图3 第4题解图 轮重 课时二几何图形中的线段、面积最值问题 例1(1)①证明略 ②解：如獬图1，过点E作EG⊥AD于点G,延长GE 型 交BC于点W,作EH⊥AB于点H, 易得四边形AHEG,四边形GDCW是矩形. 四边形ABCD是正方形，∴.∠EDC=45, ∴.∠DEG=∠EDG=45°，.DG=EG 在Rt△AEG中，AG=AD-DG=7-EG :EG2+AG2=AE2,EG2+(7-EG)2=52, .EG=3或4. 当EG=3时，AG=4..AE=EF」 当点F在AD上时，AF=2AG=8>7,故舍去， 当点F在AB上时，AF=2AH=2EG=6, .DF=√AF2+AD2=62+7=√85， 当点F在CD上时，由(1)知，点F在C点处，此时 DF=7,当点F在BC上时，此时CF=2CW= 2DG=6, DF=√85； 当EG=4时，AG=EW=3.:AE=EF, 当点F在AD上时，AF=2AG=6,DF=AD-AF=1, 当点F在AB上时，AF=2AH=2EG=8>7,故舍去， 当点F在BC上时，点F在点C处，DF=7, 当点F在CD上时，CF=2EW=6,DF=CD-CF=1, 综上所述，DF=1或√85或7； D 图1 图2 例1题解图 (2)解：如解图2，在BC上取一点Q,使BQ=BP= 5,连接DQ,EQ. .BE=BC=7,∠EBQ=∠CBP, 42 浙江新中考娄 .∴.△EBQ≌△CBP(SAS),∴.EQ=CP, .DE+CP=DE+EQ≥DQ. 当D,E,Q三点共线时，DE+EQ的值最小，最小值 是DQ的长， 在Rt△DCQ中，CD=7,CQ=BC-BQ=7-5=2, .DQ=√7+22=53，.DE+CP的最小值 为√53. 变式1(1)解：当∠ABC=&=60时， CE⊥AB,∴.∠BCE=30°， .BE-8G4.CE-E-45 (2)①证明略 ②解：设BE=x AG=CD=AB=4,..EG=AE+AG=4-x+4=8-x 在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=64-x2. 在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=(8-x)2+64 x2=128-16x. 由2)0得cr=cccf==2-4 4 CE2-CF2=64-x2-32+4x=-x2+4x+32= -(x-2)2+36,.当x=2,即E是AB的中点时， CE2-CF2取最大值，最大值是36. 例2（1)证明略. (2)解：由(1)得△ABE≌△DAF,.AE=DF AE DF=b,AF=BE=a,DF:BE=b:a=x. 在R△ABB中，2b=20,d2+6=102, -罗子理，得=0， ab 202-5x+2=0,解得x=2或x=2, 1 1 经检验，x=2或x=2都是原方程的解， .DF:BE的值为2：1或1：2； (3)解：如解图1，当点P在线段BC上时，连接DE 和CF交于点H. A D H B P C 例2题解图1 四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠ADC=∠ABP=90 又.AE=DF,∠BAE=∠ADF, .∠DAE=90°-∠BAE=90°-∠ADF=∠CDF, △DAE≌△CDF(SAS),.DE=CF,∠ADE =LDCF. .·∠ADE+∠CDE=90°，∴.∠DCF+∠CDE=90°， .∠CHD=90°，.DE⊥CF, ∴线段DF,FE,BC,CD所围成的图形面积是DE× 学 参考答案 CF-TDE: 如解图2，当点P在线段BC的延长线上时，延长 CF与DE交于点L. 例2题解图2 ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD,∠ADC=∠ABP=90° 又.'AE=DF,∠BAE=∠ADF, ∴.∠DAE=90°-∠BAE=90°-∠ADF=∠CDF ∴.△DAE≌△CDF(SAS), ∴.DE=CF,∠ADE=∠DCF ∠ADE+∠CDE=90°，∴.∠DCL+∠CDE=90°， ∴.∠CLD=90°，∴.DE⊥CF 线段DF,FE,BC,CD所围成的图形面积是DE× CF-2DE 综上，要求线段DF,FE,EC,CD所围成的图形面积 的最小值，只要求得DE的最小值即可. 取AB的中点G,连接EG,DG. EG+ED≥DG,∴.当G,E,D共线时，DE有最小 值，最小值为DG-GE的长. :四边形ABCD是边长为10的正方形，G为AB的 中点，且∠AEB=90°， AG=GE=24B=5,cD=V0+-55, .DE有最小值为DG-GE=5√5-5， ∴.线段DF,FE,EC,CD所围成图形面积的最小值 为2D8=2(55-52=75-255. 变式2(1)解：由对称得CD=C'D,∠CDE=∠C'DE. 在正方形ABCD中，AD=CD,∠ADC=90°， AD=CD.F是AC的中点， DF⊥AC',∠ADF=∠C'DF, .∠FDP=∠FDC'+LEDC'=2∠ADC=45o: (2)证明略 (3)解：如解图，连接BD交AC于点O,过点C作C GLAC于点G,则Sc=)ACC'G, 2 变式2题解图 浙江新中考 .·正方形ABCD的边长为10， 在Rt△ABC中，AB=BC=10, .AC=√102+102=102，即AC为定值 当CG最大时，△AC'C的面积最大， 此时点G与点O重合. CD=CD=10,0D=24C=52, ∴.CG=C0=CD-0D=10-5√2， Sw=74C.C'6=×10万×(10-5万) 50√2-50，即△ACC'的面积最大值为50√2-50. 针对训练 1.(1)证明略.(2)证明略 (3)解：如解图，延长AD至点F,使DF=AD,连 接CF. 重难 型培优 第1题解图 由(2)知CF=ME=AB=8,CE=MF, 则ME+MC取最小值时，CM最小，故CM⊥AD时， CM最小. :AD是△ABC的中线，BD=CD=2BC=6, 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=√AB+BD=10. :SaMm=SAc,即2BD·AB=2AD.CM, 2×6×8=7×10CM,解得CM-兰 在Rt△CMF中，由勾股定理得MF=√CF2-CM= √⑧-产-器cB=r号 2.(1)证明略。 (2)解：△OCE≌△CBF,∴.OE=CF. .E为OA的中点，0A=OC=6, .0E=AE=CF=3,.0F=6-3=3,∴.F(0,3); (3)解：由(2)可知CF=OE,设CF=0E=x. :E为x轴正半轴上一动点，.0F=1x-61, 在Rt△OEF中，0E2+OF=EF2,.EF2=x2+(x- 6)2=2x2-12x+36=2(x-3)2+18, .EF2的最小值为18，∴.EF最小值为3√2 ·四边形EGBF是平行四边形， .BG=EF=3√2，即BG最小值为3√2. 3.解：(1)BE=DF.理由如下： :四边形ABCD是正方形，∴.BC=DC,∠BCD =90°， 学 参考答案 43 在等腰直角三角形ECF中，CE=CF,∠ECF=90°， ∴.∠BCE=∠DCF=90°-∠ECD. BC=DC 在△BCE和△DCF中，{∠BCE=∠DCF, LCE=CF .∴△BCE≌△DCF(SAS),∴.BE=DF: (2)①如题图1，当点E在线段AD上， AE=2ED,正方形ABCD的边长为3， .AE +ED AD =3,.'.AE=2,ED =1. 在正方形ABCD中，AB=3,∠BAE=90°， .BE=√AB+AE=√32+2=√13， 由(1)知，BE=DF,.DF=13; ②如解图1，当点E在AD延长线上， D 轮重难 型培优 第3题解图1 四边形ABCD是正方形，.BC=CD,∠BCD=∠90 在等腰直角三角形ECF中，CE=CF,∠ECF=90°， ∴.∠BCE=∠DCF, BC=DC 在△BCE和△DCF中，{∠BCE=∠DCF, LCE=CF ∴.△BCE≌△DCF(SAS),∴.BE=DF AE AD ED =2ED =2AD =6. 在正方形ABCD中，AB=3,∠BAE=90°， .BE=√AB2+AE=√32+6=3V5, .DF=BE=35综上，DF的长为13或3√5； (3)3√10 4.(1)证明略. (2)解：当DF=BF时，即DF2=BF2时，四边形 BEDF是菱形 DF2=t2,BF2=AB2+AF2=62+(10-t)2=t2- 20t+136,.2=2-20t+136, 4=兰当4-普时，四边形BEDP为菱形， (3)解：①5，内角不为90°的菱形； ②S△ABc+SAD的值不变化. 由①知△DcF△EcC88-8e. 8器cm9器-96 SAADE DE 10 SE=克，S△4e+SAE=l, 同理可得30 SAADE SAur+Sus=Sam=2Sem=7x6x10= 30(cm2) 题型八新定义问题 例12变式1-1C变式1-21919；3782 44 浙江新中考 例28≤a<9变式2B 115 例3y=40+2x+4 变式3（1)点B(4,9)的“纵横差”为5； (2)函数y=4+x(-5≤x≤-1)的“纵横极差”为 x -5,解答过程略； 4 (3)h=-2.5或h=2,解答过程略. 例4(1)3 (2)AC=4√2，解答过程略； (3)证明略. 变式4(1)过点C不能作出△ABC的“紫金线”.理 由略； （2)2a-90°；（3)略. 针对训练 1.152.B3.W5±24.(1)2；(2)11 5.(1)二次函数的解析式为y=x2-2x-5; (2)①这个函数“倍值点”的坐标为(5,10)或(-1， -2),解答过程略； ②n的最大值与最小值的差为10-（-6)=16，解 答过程略. 6.(1)四边形ABCD是筝形，两组相等的邻边分别是 AD=CD,BA=BC: (2)猜想成立.理由略； (3)筝形MWPQ的面积为18√2，解答过程略. 7.(1)证明略.（2)证明略； (3)四边形EBCD的周长为38-6√2，解答过程略. 题型九综合与实践 1.内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米。 2.任务1：每隔10min水面高度观察值的变化量为 -1,-0.9,-1.1,-1.2; 任务2：h=-0.1t+30(0≤t≤300)，解答过程略； 任务3：（1)w=0.05,解答过程略； (2)经过(0,30)的一次函数解析式为h=-0.102t+ 30,解答过程略； 任务4：略. 3.（1)A,B两岛间的距离约为499m,解答过程略； （2)略. 4.(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数 为2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N; (2)F拉功=-0.3x+5.8,解答过程略； (3)m=0.6,n=1.6. 5.解：(1)y关于x的函数是二次函数.该二次函数的 表达式为y=-7x2+28x+35,解答过程略； (2)抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤ 5,解答过程略. 6.(1)10: (2)作图略；(3)证明略； (4)m∠BRCH=音解答过程路；②CH=2,2 学 参考答案课时二几何图形中的线段、面积最值问题(2025.24) 知识储备+++++++++++++十+++十十++++十+++++++++++++++十 几何最小值问题的解题思路 几何最小值探究o 一主线：建模思想 1.本源o 基础图形→问题→提炼模型（两点距、垂线段等） 一PA-PB→三角形三边模型 2.递进0 菱形载体。 PA+PB→定值+变量模型（结合对称） 3.方法0 三步骤：识特征→转线段→配模型（形成闭环） 4.迁移o 综合场景（直角三角形、抛物线）→验证模型普适性 十十++十十十十十++十十十十+十十十十十++十十十十十”十+十十十十++十十十+十十十十十十十 类型1几何图形中的线段最值问题 变式1(2025丽水九年级期中)如图，在口ABCD 例1(2024绍兴嵊州市九年级期末)已知正方形 中，AB=4,BC=8,F是AD的中点，CE⊥AB于点 ABCD的边长是7，点E为正方形内一动点 E,设∠ABC=a(60°≤a<90°). (1)当点E在对角线BD上时， (1)当a=60时，求CE的长； ①如图1，连接AE,CE,求证：AE=CE; (2)当60°<a<90时，连接CF,EF, ②若AE=5,点F是正方形ABCD边上一点，当 ①求证：∠CFD=∠AEF; AE=EF时，求线段DF的长； ②求CE2-CF2的最大值， (2)如图2，若BE=7,点P是线段BE上一点，当 BP=5时，求DE+CP的最小值. A D E 变式1题图 图 图2 例1题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 49 类型2几何图形中的面积最值问题 变式2(2024杭州拱壁区一模)如图，在正方形 例2【一题多解】如图1，四边形ABCD是边长为10 ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B,C重 的正方形，点P是射线BC上一点（点P不与点B 合)，连接DE,点C关于直线DE的对称点为C', 和，点C重合)，连接AP,过B作AP的垂线，垂足为 连接AC'并延长交直线DE于点P,F是AC'的中 E,在线段AP上取点F,使得AF=BE,连接DF. 点，连接CC',CD,DF (1)当点P在线段BC上时，求证：DF∥BE; (1)求LFDP的度数； (2)当△AEB的面积为20时，求DF:BE的值； (2)连接BP,求证：BP+DP=√2AP; (3)如图2，连接CE,在点P的运动过程中，求线 (3)连接AC,若正方形的边长为10，求△ACC的 段DF,FE,EC,CD所围成的图形面积的最小值. 面积最大值. D /E 图1 图2 变式2题图 备用图 例2题图 50 浙江新中考数学二轮重难题型培优 》 针对训练 《 1.(2025嘉兴南湖区九年级期中)【问题探究】(1)如2.如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC的两邻 图1，已知AD是△ABC的中线，延长AD至点E, 边分别在坐标轴的正半轴上，E为x轴正半轴上 使得DE=AD,连接BE,CE,求证：四边形ABEC是 一动点，连接CE,过点B作BF⊥CE交y轴于点 平行四边形； F,连接EF,以FB,FE为邻边构造平行四边形EG 【拓展提升】(2)如图2，在△ABC的中线AD上任 BF,已知OA=6. 取一点M(不与点A、点D重合)，过点M,点C分 (1)求证：△OCE≌△CBF; 别作ME∥AB,CE∥AD,连接AE,BM.求证：四边 (2)当E为OA的中点时，求点F的坐标； 形ABME是平行四边形； (3)当点E在x轴正半轴上运动的过程中，求BG 【灵活应用】(3)如图3，在△ABC中，∠B=90 的最小值. AB=8,BC=12,D是BC的中点，点M是直线AD 上的动点，且ME∥AB,CE∥AD,当ME+MC取得 最小值时，求线段CE的长度 第2题图 D 图1 图2 D 图3 第1题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 51 3.如图1，正方形ABCD的边长为3，E是直线AD上 4.(2025台州椒江区九年级期末)如图1，在矩形AB 一动点，连接CE,在CE的右侧以C为直角顶点作 CD中，AB=6cm,BC=10cm,点E从点B出发沿 等腰直角三角形ECF,连接BE,DF, BC方向运动，运动到点C停止，同时，点F从点D (1)当点E在线段AD上运动时，试判断BE与DF 出发沿DA方向运动，运动到点A停止，点E,F的 的数量关系，并说明理由； 速度均为1cm/s.设点E,F运动的时间为ts. (2)当AE=2ED时，求DF的长； (1)求证：四边形BEDF为平行四边形； (3)如图2，连接BF,则BE+BF的最小值为 (2)当t为何值时，平行四边形BEDF为菱形？ E D (3)如图2，连接AE,CF,分别交BF,DE于点H, G.随着点E,F的运动，请回答下列问题： ①当t= s时，S四边形c阳取得最大值，此时 四边形EGFH为 （填“邻边不等的矩形” 图1 图2 “内角不为90°的菱形”“正方形”)； 第3题图 ②如图3，连接AG,DH,SAEc+SADm的值是否有 变化？若不变，求出相应的值，若改变，请说明 理由， 图1 图2 图3 第4题图 52 浙江新中考数学二轮重难题型培优