7.课时一 几何图形中的线段、面积定值问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

8.（1)证明略 (2)GC的长为2.6，解答过程略 题型七几何图形综合题 课时一几何图形中的线段、面积定值问题 例1（(1)证明略。 (2)解：DG=EG,CG⊥DE,∴.CE=CD=6. DE∥BC,.△ADE△ABC, DE AE 3 1 六BC=AC=3+6=39 (3)解：如解图，延长GE交AB于点M,连接MF,过 点M作MW⊥BC于点N. .:四边形ABCD为平行四边形， ∴.OB=OD,∠ABC=∠ADC=45° MG∥BD,∴.由(1)得ME=GE. .'EF⊥EG,∴.FM=FG=10. 在Rt△GEF中，∠EGF=40°， 重 ∴.∠EFG=90°-40°=50°. FG平分∠EFC,∴.∠GFC=∠EFG=50°. 型 .FM=FG,EF⊥GM,∴.∠MFE=∠EFG=50°， LMFN-30,..MN-FM=5, .NF=√FM-MN=5√3. ∠ABC=45°，.BN=MW=5, ∴.BF=BN+NF=5+55. 例1题解图 变式1(1)证明略. (2)证明略. (3)解：如解图，过点F作FH⊥BC分别交BC,AD 的延长线于点H,Q,则∠BHF=90°， D CH 变式1题解图 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CD=AD,AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°， ∴.∠AQF=∠BHF=90°， .∠BHF=∠DCH=∠CD0=90°， ∴.四边形CDQH是矩形，∴.DQ=CH, 同理(2)可得△CDE≌△EQF(AAS), .EO=CD =AD..'.EO-ED =AD-ED. 即DQ=AE,设DQ=AE=x,则DQ=CH=x,BH=5 +x,FQ=5-x,FH=10-x, 40 浙江新中考 在Rt△FHB中，由勾股定理得BH+F=BF2, 即(5+x)2+(10-x)2=(3√13)2， 解得x1=1,x2=4, 过点B作BT⊥CE于点T,当x=1时，DE=4, 在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=√DE+CD2= √42+52=√4T. :AD∥BC,.∠BCT=∠DEC. LBTC=∠EDC=90°，.△CDE∽△BTC, 器器高m, meon告号员8 25 当x=4时，DE=1,在Rt△CDE中，由勾股定理，得 CE=√DE2+CD2=√12+52=√26， 同理得△G0E△BC,8部-8即g- 5√26 m-名函， 同理可得△BPT∽△FPE, 25 PR-BT_26V26 5 V2626 综上所述，学的值为贸安莞 BP 例2(1)证明略. (2)证明略， （3)解：如解图，过点E作EH⊥BC于点H, B GH 例2题解图 BD=√3AB,AB=8,.BD=8√3. 四边形ABCD是菱形， AB-BC.ACLBD,BO-BD-45, sin∠BM0=B0-4:5-5 AB-8-2 .∠BA0=60°，.△ABC为等边三角形， .AC=AB=BC=8,∠ECH=60°， AB=49=AC=2, 24 .CE=6,EH=CE·sin60°=3√3. G为BC的中点，BG=2BC=4, ∴.四边形BEFG的面积为EH·BG=3√3×4= 123. 变式2解：(1)SAc=SADEF,.a+c+d=b+e. a-b=2,c+d=3, 学 参考答案 ∴.e=a-b+(c+d)=5,即△FMW的面积为5； (2):S四边形ABCE=12,S四四边形ADCE=7, S矩形ABCD=S四边形ABGE+S四四边形ADCs=19, .SANG=9.5SCcSAnc 2.5 (3)设S矩形wBc=a,S矩形Ecw=b. :S矩形BFEW=m,S矩形DNc=n,.S矩形ABcn=m+n十 a+b. 1 1 女SaME=2a,SABc=2b,Sa边形BcE=m+2a+ 2b,5a版=2(m+n+a+b), Sus=Sa-Sauc=2m-nl 针对训练 1.（1)证明略. (2)FH=AH+CF,解答过程略； (3)①证明略. ②解：CM=√2BH. 2.(1)理由略；(2)证明略；(3)证明略. 3.【基础巩固】证明略.【尝试应用】证明略。 【拓展提升】 解：(1)设AB=5m,则AD=12m, 根据勾股定理，得BD=√AB2+AD2=13m, 根据题意可知，AB,EM分别是△BED底边DE,BD 上的高S=2ED·AB=2BD·EM, EM=ED·AB_2x5m_10 BD 13m13 (2)如解图，延长AD,CG交于点Q,EF和BD交于 点0. D 第3题解图 由(1)知：AB:AD:BD=5:1213. 血LA08-部-0-是 .∠FEG=∠FBD,∠BOF=∠EOP, ∴.∠F=∠EPM. 叉：∠EMP=LFAE=90,inF=Ag=EM EF=EP BD∥CQ,EG=EQ EP DE EP EM DE AE :EF=EG,EG∵EP-EQEF B=0,结合%品可刹5-音 易得四边形BCQD是平行四边形， 浙江新中考 .∴.DQ=BC=AD 8:能后 4.解：(1)存在；01=2,0C=25, tanLACC0=04=2-5, 0C233' ∴.∠AC0=30°，∠ACB=60°， 分两种情况： ①如解图1，当点E在线段CO上时，△DEC是等腰 三角形，观察图形可知，只有ED=EC, .∠DCE=∠EDC=30°，∴.∠BDC=∠BCD=60°， .△DBC是等边三角形，∴.DC=BC=2, 在Rt△AOC中，∠AC0=30°，0A=2, .AC=20A=4,AD=AC-CD=4-2=2, 重 .当AD=2时，△DEC是等腰三角形； ②如解图2，当点E在OC的延长线上时，△DCE是 题 等腰三角形，只有CD=CE,∠DBC=∠DEC= ∠CDE=15°，.∠ABD=∠ADB=75°， 镜 .AB=AD=23, 综上所述，满足条件的AD的长度为2或2√3； (2)如解图3，过点D作MW⊥AB交AB于点M,交 0C于点N.A(0,2),C(2√3,0)， ·直线AC的解析式为y=- 3*+2, 设(a,+2)N=-2,M-26-a ∠BDE=90°，∠BMD=90°， .∠BDM+∠NDE=90°，∠BDM+∠DBM=90°， .∠DBM=∠NDE. ∠BMD=∠DNE=90°，.△BMD△DNE, DE DN 、 3a+2 六BD-BM=25-a=3' 在Rt△ADM中.AD=x,∠DAM=∠AC0=30°， DN=分A0=乞，AM=VD-0m 1 V-(宁)-Bw=25- 2, 在Rt△BDM中，BD=√BM+DMP= V28-2)+(宁刘P=r-6+, 六E-号8D=9.2-m+2矩形DEF的 面积为y-9.(公-6x+2)2-2-2x+ 45; 改学参考答案 41 (3) 7 图 图2 D NE 图3 第4题解图 轮重 课时二几何图形中的线段、面积最值问题 例1(1)①证明略 ②解：如獬图1，过点E作EG⊥AD于点G,延长GE 型 交BC于点W,作EH⊥AB于点H, 易得四边形AHEG,四边形GDCW是矩形. 四边形ABCD是正方形，∴.∠EDC=45, ∴.∠DEG=∠EDG=45°，.DG=EG 在Rt△AEG中，AG=AD-DG=7-EG :EG2+AG2=AE2,EG2+(7-EG)2=52, .EG=3或4. 当EG=3时，AG=4..AE=EF」 当点F在AD上时，AF=2AG=8>7,故舍去， 当点F在AB上时，AF=2AH=2EG=6, .DF=√AF2+AD2=62+7=√85， 当点F在CD上时，由(1)知，点F在C点处，此时 DF=7,当点F在BC上时，此时CF=2CW= 2DG=6, DF=√85； 当EG=4时，AG=EW=3.:AE=EF, 当点F在AD上时，AF=2AG=6,DF=AD-AF=1, 当点F在AB上时，AF=2AH=2EG=8>7,故舍去， 当点F在BC上时，点F在点C处，DF=7, 当点F在CD上时，CF=2EW=6,DF=CD-CF=1, 综上所述，DF=1或√85或7； D 图1 图2 例1题解图 (2)解：如解图2，在BC上取一点Q,使BQ=BP= 5,连接DQ,EQ. .BE=BC=7,∠EBQ=∠CBP, 42 浙江新中考娄 .∴.△EBQ≌△CBP(SAS),∴.EQ=CP, .DE+CP=DE+EQ≥DQ. 当D,E,Q三点共线时，DE+EQ的值最小，最小值 是DQ的长， 在Rt△DCQ中，CD=7,CQ=BC-BQ=7-5=2, .DQ=√7+22=53，.DE+CP的最小值 为√53. 变式1(1)解：当∠ABC=&=60时， CE⊥AB,∴.∠BCE=30°， .BE-8G4.CE-E-45 (2)①证明略 ②解：设BE=x AG=CD=AB=4,..EG=AE+AG=4-x+4=8-x 在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=64-x2. 在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=(8-x)2+64 x2=128-16x. 由2)0得cr=cccf==2-4 4 CE2-CF2=64-x2-32+4x=-x2+4x+32= -(x-2)2+36,.当x=2,即E是AB的中点时， CE2-CF2取最大值，最大值是36. 例2（1)证明略. (2)解：由(1)得△ABE≌△DAF,.AE=DF AE DF=b,AF=BE=a,DF:BE=b:a=x. 在R△ABB中，2b=20,d2+6=102, -罗子理，得=0， ab 202-5x+2=0,解得x=2或x=2, 1 1 经检验，x=2或x=2都是原方程的解， .DF:BE的值为2：1或1：2； (3)解：如解图1，当点P在线段BC上时，连接DE 和CF交于点H. A D H B P C 例2题解图1 四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠ADC=∠ABP=90 又.AE=DF,∠BAE=∠ADF, .∠DAE=90°-∠BAE=90°-∠ADF=∠CDF, △DAE≌△CDF(SAS),.DE=CF,∠ADE =LDCF. .·∠ADE+∠CDE=90°，∴.∠DCF+∠CDE=90°， .∠CHD=90°，.DE⊥CF, ∴线段DF,FE,BC,CD所围成的图形面积是DE× 学 参考答案题型七 几何图形综合题 (2025.24,12分) 课时一几何图形中的线段、面积定值问题 类型1几何图形中的线段定值问题 变式1(2025嘉兴二模)如图，正方形ABCD的边 例1【基础巩固】 长为5，点E是边AD上的一个动点，连接CE,将 (1)如图1，在△ABC中，D,E,F分别为AB,AC, 线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°得到线段 BC上的点，DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G, EF,连接BF交CE于点P. 求证：DG=EG (1)如图1，求证：∠DEF=∠DCE; 【尝试应用】 (2)如图2，当BF经过点D时，求证：点E是AD (2)如图2，在(1)的条件下，连接CD,CG.若CG1 的中点； DB,D=6,4=3求的值 (3)当BF=3√1B时，求号职的值 【拓展提高】 (3)如图3，在口ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD 交于点O,E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G, EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°，FG平分 ∠EFC,FG=10,求BF的长. 图1 图2 变式1题图 图1 图2 图3 例1题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 45 类型2几何图形中的面积定值问题 变式2(2025宁波模拟)【感知方法】 例2(2025舟山普陀区三模)如图，在平行四边形 △ABC与△DEF的面积相等，按如图1所示摆放， ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E,F,G 点D在边BC上，△DEF与△ABC的边交于点G, 分别为AO,DO,BC的中点，连接BE,EF,FG. H,M,N.已知△CDH的面积比△EGH面积大2， (1)求证：四边形BEFG为平行四边形； △AGN与△BDM的面积和为3，求△FMW的 (2)如图1，若BD=2AB,求证：BE⊥A0: 面积. (3)如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若 第1步：设未知数， BD=√3AB,AB=8,求四边形BEFG的面积 设△CDH,△EGH,△AGN,△BDM,△FMN的面积 分别为a,b,c,d,e. D 第2步：表示， a-b=2,c+d=3. 第3步：找数量关系，列式（方程）， (1)请你完成第3步 图1 图2 【尝试应用】 例2题图 (2)如图2，矩形ABCD中，连接AC,点E是△ACD 内部一点，已知四边形ABCE与凹四边形ADCE的 面积分别为12,7，求△AEC的面积 【拓展迁移】 (3)如图3，点E是矩形ABCD内部一点，过点E 作线段MN,GF把矩形分成4个小矩形，点M,N, G,F在矩形边上，连接AE,CE,AC,已知矩形 BFEM与矩形DNEG的面积分别为m,n,求△AEC 的面积 图1 图2 图3 变式2题图 46 浙江新中考数学二轮重难题型培优 》 针对训练 1.(2025舟山定海区二模)【思考尝试】(1)如图1， 2.(2025杭州西湖区二模)综合与实践 在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点 我们已经学过，在△ABC中，若∠ABC=90°，则三 F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG=CF,求证：四边形ABCD 角形三边满足勾股定理：AC2=AB2+BC2. 是正方形； 【知识应用】 【实践探究】(2)如图2，在正方形ABCD中，E是 (1)如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D,若AC> 边AB上一点，DF⊥CE于点F,AH⊥CE交CE的 AB,则AC2-AB2=BC(CD-BD),请说明理由； 延长线于点H,GD⊥DF交HA的延长线于点G,求 【拓展探究】 线段FH,AH,CF的数量关系； (2)如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点E是 【拓展迁移】(3)如图3，在正方形ABCD中，E是 AC的中点，连接BB求证：BE-4AC-BD·BC: 边AB上一点，AH⊥CE交CE的延长线于点H,点 M在线段CH上，且AH=HM,连接AM,BH,AC. 【拓展应用】 ①求证：∠HBE=∠MCA; (3)如图3，在△ABC中，点E在边AB上（不与，点 A,B重合)，点F在边BC上（不与点B,C重合）， ②直接写出线段CM,BH的数量关系， G 连接EF,∠BEF=∠BCA,点O为△BEF的外心， 连接OA,OC,求证：OC2-OA2=BC-BA2. H6 E E B D 图1 图2 图1 图2 D M E 图3 图3 第1题图 第2题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 47 3.(2025台州路桥区九年级期末)【基础巩固】如图 4.如图1，在平面直角坐标系中，0为原点，四边形AB 1,在正方形ABCD中，点E在AB的延长线上，连 C0是矩形，点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(23, 接DE,过点D作DG⊥DE交BC的延长线于点G. 0),点D是对角线AC上一动点（不与A,C重合）， 求证：DE=DG; 连接BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE, 【尝试应用】如图2，在菱形ABCD中，点E在AB DB为邻边作矩形BDEF. 的延长线上，连接DE,以点D为顶点作∠EDG= (1)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角 ∠BAD,DG交BC的延长线于点G.求证：DE=DG; 形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明 【拓展提升】如图3，在矩形A00中光-是，点8 理由； (2)设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x 在边AD上，点F在AB的延长线上，连接BD,EF, 的函数关系式； BE,过点C作CG∥BD,以点E为顶点作∠FEG= (3)如图2，若点E在边OC上，EF与BC相交于点 ∠FBD,EG交CG于点G,过点E作EM⊥BD于 G,连接BE及DG,BE和DG相交于点H,若BH= 点M. 3HE,记△GEC的面积为S1,△BGF的面积为S2, (1)若DE=2,求EM的长； (2)若EF=EG,求2E的值 消点接驾受的悠 AD 图1 图1 图2 第4题图 图3 第3题图 48 浙江新中考数学二轮重难题型培优