6.课时二 与四边形有关的旋转问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

课时二与四边形有关的旋转问题 例(2023绍兴中考)在平行四边形ABCD中（顶，点A,B,C,D按逆时针方向排 解题突破点 列)，AB=12,AD=10,∠B为锐角，且sinB=4 1.旋转三要素： (1)旋转中心：点P; (1)如图1，求AB边上的高CH的长； (2)旋转方向：逆时针； (2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点 (3)旋转角：∠CPC'=90° C',D', 2.突破点：（1)由平行四 ①如图2，当C落在射线CA上时，求BP的长； 边形的性质对边相等求 ②当△ACD'是直角三角形时，求BP的长. 出BC=10,由锐角三角 函数可求出CH的长； D (2)过点C作CH⊥BA于 H 点H,作C'Q⊥BA交BA 延长线于，点Q,可证明 图 图2 备用图 △PQC'≌△CHP(AAS), 例题图 再证出△AQC'∽△AHC, 可求得BP的长； (3)三角形的直角顶点不 确定，故要分类讨论，分 三种情况讨论，由直角三 角形的性质及相似三角 形的性质求出结论 做题笔记 变式1(2025杭州富阳区三模)如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A=60°，点 E在BC边上，连接DE,将DE绕顶点D按顺时针方向旋转120°得到DE',连接 AE',CE.当CE=4时，△CDE'的面积为 （) A.3√3 B.6 C.4√3 D.9 D E 变式1题图 变式2题图 图团2(225组兴上虞区二模)如图，在矩形ABCD中，已知8品号，点6是对角 线AC上一动点，边AB绕点E按逆时针方向旋转90°得到线段MW,连接BN, C1当点M落在边BC上时，的值为 浙江新中考数学二轮重难题型培优 43 》 针对训练 《 1.（2025温州模拟)如图所示，在Rt△ABC中，5.(2025杭州上城区二模)如图，线段AB绕点A逆 ∠BAC=90°，以其三边为边向外作正方形.作 时针旋转得到线段AC,AD,已知∠BAD=108°，连 △JIH≌△ABC,且HJ∥AC,达·芬奇通过四边形 接线段DC并延长，与LCAB的平分线交于点E, BCGD旋转与四边形BHJA重合的思路证明了勾 若AE=DE,DC=1,则线段AE的长为 股定理若W=8,四边形BCGD的面积为空则 BC的长是 () A.4 B.32 C.25 D.53 2 第5题图 第6题图 6.(2025温州鹿城区二模)如图，在菱形ABCD中，E 是对角线AC上一点，连接BE,将△BCE绕着点B 旋转，点C的对应点F落在边AD上，点E的对应 点G落在边AB上，BF与AC交于点H.若BC= 12,F是AD的中点，则HE的长为 第1题图 第2题图 7.(2025丽水缙云县二模)如图，四边形ABCD和四 2.(2025杭州西湖区三模)如图，正方形ABCD中，边 边形BEFG都是矩形，且AB=BG=2,BC=BE= 长为1，将边BC绕点B逆时针旋转至BE,连接CE, 4,连接CE,CG,EG,将矩形BEFG绕点B顺时针 DE,若∠CED=90°，则△BCE的面积是 ) 转动，若边BE所在的直线恰好经过线段CG的中 B.Z c 点，则△CEG的面积为 3.(2025宁波一模)如图，在正方形ABCD中，将对角 线AC绕点A逆时针旋转角度αx(0°<a≤90)，使得 AE=MC(k为正实数).设AB=m,CE=n.（) A.若k=1,a=45°，则m=√2n 第7题图 B.若k=√2，a=45°，则2m=n 8.（2025杭州钱塘区三模)如图，在矩形ABCD中，将 BC绕点B旋转至BC',C'在AD上，过点C'作 C.若k=√3，=60°，则3m=n GC'⊥BC',交CD于点G,连接BG D.若k=2,=60°，则m=√3n (1)求证：GC=GC'; D (2)若AB=5,BC=13,求GC的长. A B' 第3题图 第4题图 第8题图 4.(2025杭州校级模拟)如图，菱形ABCD绕点A旋 转得到菱形AB'C'D',点B'在BC上，B'C交CD于 点E,D'C经过点D.若AB=2BB'=4,则CE的长 为 44 浙江新中考数学二轮重难题型培优3.解：(1)①.正方形ABCD的边长为3， ∴AE∥Dc,CD=3,0A=0C=2AC, AM AE 1 ·△AME∽△CMD,.MC-CD=3 AM=G. AM=20A,即点M是0A的中点； ②OG与DE的位置关系为OG∥DE,理由略； (2)如解图，在DC上截取DP=1,连接FP,BP, D 第3题解图 则DP=DH. :四边形ABCD是边长为3的正方形， ∴.DA=DC=BC=3,∠BCP=90°， .CP=CD-DP=3-1=2, 由折叠的性质得DF=DA=3,.DF=DC, DF=DC 在△DFP和△DCH中，∠FDP=∠CDH, DP DH ∴.△DFP≌△DCH(SAS),∴.PF=CH, .BF+CH=BF+FP. :BF+FP≥BP,.当B,F,P三点共线时，BF+FP 最小，即BF+CH最小， 此时，BF+CH=BP=√BC2+CP=√32+2=√13. 题型六几何图形的旋转综合题 课时一与三角形有关的旋转问题 例15° 变式线段CQ长度最小值是3，解答过程略， 针对训练 1.D2.C3.B4.D5.C6.B7.B 课时二与四边形有关的旋转问题 例解：(1)在口ABCD中，BC=AD=10, 在R△BCH中，CH=BCsin B=10×号=8； (2)①如解图1，作CH⊥BA于点H, D 例题解图1 由(1)得，BH=√BC-CH=√102-82=6， 作C'Q⊥BA交BA延长线于点Q,则∠CHP= ∠PQC'=90°，.∠C'PQ+∠PC'Q=90. 浙江新中考 ∠C'PQ+∠CPH=90°，∴.∠PC'Q=∠CPH, 由旋转知PC'=PC,∴.△PQC'≌△CHP(AAS) 设BP=x,则PQ=CH=8,C'Q=PH=6-x,QA= PO-PA=x-4. CQ⊥AB,CH⊥AB,.C'Q∥CH, △40c△4cg器=器 6g-56x-头即-4 8 ②由旋转得△PCD≌△PC'D',CD=C'D', CD⊥C'D'.又AB∥CD.C'D'⊥AB, 情况一：如解图2，当以C为直角顶点时。 D' D C D H 重难 B B C 图2 图3 例题解图 型培优 CD'⊥AB,C落在线段BA延长线上 PC⊥PC',∴.PC⊥AB, 由(1)知，PC=8,∴.BP=6. 情况二：如解图3，当以A为直角顶点时， 设C'D'与射线BA的交点为T,作CH⊥AB于点H. .PC⊥PC',.∠CPH+∠TPC'=90°. :点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点 C',D',.∠CPD=∠CPD',PC=PC',PD=PD', .△PCD≌△PC'D'(SAS),.∠PCD=∠PC'D'. 'AB∥CD,∴.∠BPC=∠PCD=∠PC'D', ∴.∠C'PT+∠PC'T=90°，∴.∠PTC'=90°=∠CHP, .△CPH≌△PC'T(AAS),.C'T=PH,PT= CH=8. 设C'T=PH=t,则AP=6-t, .'AT=PT-PA=2+t. ∠C'AD'=90°，C'D'⊥AB,.△ATD△CTA, 小部-7Ar=6T.m, ∴.(2+t)2=t(12-t),化简得t2-4t+2=0, 解得t=2+√2，或t=2-√2， ∴.BP=BH+HP=8±V2, 情况三：当以D为直角顶点时， 点P落在BA的延长线上，不符合题意. 综上所述，BP=6或8±√2. 变式1A变式2号 针对训练 1B2.D3B4号5.356.20 2 7.8-2√3或8+23 学参考答案 39 8.（1)证明略 (2)GC的长为2.6，解答过程略 题型七几何图形综合题 课时一几何图形中的线段、面积定值问题 例1（(1)证明略。 (2)解：DG=EG,CG⊥DE,∴.CE=CD=6. DE∥BC,.△ADE△ABC, DE AE 3 1 六BC=AC=3+6=39 (3)解：如解图，延长GE交AB于点M,连接MF,过 点M作MW⊥BC于点N. .:四边形ABCD为平行四边形， ∴.OB=OD,∠ABC=∠ADC=45° MG∥BD,∴.由(1)得ME=GE. .'EF⊥EG,∴.FM=FG=10. 在Rt△GEF中，∠EGF=40°， 重 ∴.∠EFG=90°-40°=50°. FG平分∠EFC,∴.∠GFC=∠EFG=50°. 型 .FM=FG,EF⊥GM,∴.∠MFE=∠EFG=50°， LMFN-30,..MN-FM=5, .NF=√FM-MN=5√3. ∠ABC=45°，.BN=MW=5, ∴.BF=BN+NF=5+55. 例1题解图 变式1(1)证明略. (2)证明略. (3)解：如解图，过点F作FH⊥BC分别交BC,AD 的延长线于点H,Q,则∠BHF=90°， D CH 变式1题解图 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CD=AD,AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°， ∴.∠AQF=∠BHF=90°， .∠BHF=∠DCH=∠CD0=90°， ∴.四边形CDQH是矩形，∴.DQ=CH, 同理(2)可得△CDE≌△EQF(AAS), .EO=CD =AD..'.EO-ED =AD-ED. 即DQ=AE,设DQ=AE=x,则DQ=CH=x,BH=5 +x,FQ=5-x,FH=10-x, 40 浙江新中考 在Rt△FHB中，由勾股定理得BH+F=BF2, 即(5+x)2+(10-x)2=(3√13)2， 解得x1=1,x2=4, 过点B作BT⊥CE于点T,当x=1时，DE=4, 在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=√DE+CD2= √42+52=√4T. :AD∥BC,.∠BCT=∠DEC. LBTC=∠EDC=90°，.△CDE∽△BTC, 器器高m, meon告号员8 25 当x=4时，DE=1,在Rt△CDE中，由勾股定理，得 CE=√DE2+CD2=√12+52=√26， 同理得△G0E△BC,8部-8即g- 5√26 m-名函， 同理可得△BPT∽△FPE, 25 PR-BT_26V26 5 V2626 综上所述，学的值为贸安莞 BP 例2(1)证明略. (2)证明略， （3)解：如解图，过点E作EH⊥BC于点H, B GH 例2题解图 BD=√3AB,AB=8,.BD=8√3. 四边形ABCD是菱形， AB-BC.ACLBD,BO-BD-45, sin∠BM0=B0-4:5-5 AB-8-2 .∠BA0=60°，.△ABC为等边三角形， .AC=AB=BC=8,∠ECH=60°， AB=49=AC=2, 24 .CE=6,EH=CE·sin60°=3√3. G为BC的中点，BG=2BC=4, ∴.四边形BEFG的面积为EH·BG=3√3×4= 123. 变式2解：(1)SAc=SADEF,.a+c+d=b+e. a-b=2,c+d=3, 学 参考答案