5.课时三 与折叠(对称)有关的最值问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

课时三与折叠（对称）有关的最值问题(2025.24) 类型1三角形 例1(2025杭州临平区二模)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,点D为边 解题突破点 AC上一动点，将△BCD沿BD折叠得到△BED,BE与AC交于点F,则EF的最1.对应角：∠C=∠BED, 大值为 ( ) ∠BDE=∠BDC,∠EBD= A.2.4 B.4.8 C.7.2 D.9.6 ∠CBD: 2.对应边：BC=BE,DC= DE; 3.突破点：过，点A作AN⊥ BC于点N,过点B作 例1题图 变式1题图 BMLAC于点M,利用等 腰三角形的性质，勾股定 变式1如图，在锐角△ABC纸片中，∠BAC=45°，BC=3,SAAc= ,P为BG上 理求出AN,BM的长，根 动点，将△ABP,△ACP分别沿AB,AC向外翻折至△ABD,△ACE,连接DE,则 据垂线段最短即可求得 △ADE面积的最小值为 ）EF的最大值 A.5 B31 4 8 D36 类型2四边形 例2如图，正方形ABCD的边长为4，点M,N分别在AB,CD上.将该正方形沿 解题突破点 MN折叠，使点D落在BC边上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q. 1.对应角：∠A=∠F, (1)若E是BC的中点，求DN的长； ∠ADN=∠FEN,∠AMN= (2)若G为EF的中点，连接GQ,随着折痕MW位置的变化，求GQ+QE的最 ∠FMN,∠DNM=∠MNE; 小值 2.对应边：AD=EF,AM= D FM,DN=EN; 3.突破点：(1)由折叠得 DN=EN,再根据勾股定 理求出DN的长； B (2)取AD的中点P,根据 例2题图 两，点之间线段最短得出 GQ+QE的最小值. 做题笔记 变式2综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小明同 学准备了一张矩形纸片ABCD,AB=24,BC=20,他在边BC上取中点N,又在边 AB上任取一点M,再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN,连接AB'.则AB'的最大 值为 ,最小值为 38 浙江新中考数学二轮重难题型培优 类型3圆 例3【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，AB是⊙0的 解题突破点 【发现】根据等孤所在圆 直径，AB=4,沿弦CD折叠，使折叠后的CD与AB相切于点E. 的半径相等解答即可； 【发现】CED所在圆的半径为 【探究】根据语言叙述可 【探究】为了找到CED所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式 得0'E⊥AB且0E=2, 淇淇说：取弦CE和弦ED的中垂线的交点即可. 即可得到，点O'的运动路 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点O关于弦CD的对称点O',点0'即 线和直径AB的位置 为所求 关系； 淇淇说：这样看来，折叠后，切点E在直径AB上运动，可以看成⊙O'在直径AB 【拓展】(1)连接O'E,先 上滚动 根据勾股定理求出OB 嘉嘉说：没错，所以当点E在直径AB上运动时，点O'的运动路线和直径AB的位置 的长，然后得到△AMB一 关系是 △O'EB,根据对应边成比 【拓展】(1)如图3，若切点E为OB的中点，连接O'B,交⊙0于点M,连接AM, 即可求出AM的长； 求弦AM的长； (2)设O'0与CD交于点 (2)若切点E落在线段OB上（包括端点），求出弦CD的最大值和最小值， F,连接OD,O'E,根据DF =√0D2-0F可得DF 长与0'0有关，进一步即 可求出CD的最大值和最 小值 做题笔记 图1 图2 图3 例3题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 39 》 针对训练 1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,点E,F 【拓展延伸】 分别在边AD,BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使 (2)如图3，点H是线段DF上的一点，且DH=1, 点D的对应点D'在边BC上，点C的对应点为C', 连接BF,CH.在点E从点A运动到点B的过程 则DE的最小值为 ,CF的最大值 中，求BF+CH的最小值 为 D A M B B BD 图1 图2 图3 第1题图 第2题图 第3题图 2.在某校社团活动课上，班长领着同学们进行《图形 的折叠》活动，如图，在一个直角三角形ABC的纸 片中，∠ACB=90°，点P为AB上一个动点，以CP 为对称轴折叠△APC得到△QPC,点A的对应点 为点Q,当点Q落在纸片上时，若AC=3,BC=6, 则AP的最小值为 ,AP的最大值 为 3.【问题背景】 如图1，已知正方形ABCD的边长为3，点E是边 AB上的一点，把△ADE沿直线DE对折后，点A落 在点F处 【问题探究】 (1)如图2，当AE=1时，正方形的对角线AC与 DE相交于点M,与正方形另一条对角线BD相交 于点O,连接OF并延长，交线段AB于点G ①味秘的值，并说明点M是0A的巾点： ②试探究OG与DE有怎样的位置关系，并说明 理由 40 浙江新中考数学二轮重难题型培优.∴.△BCE≌△DCE(SAS), .BE=DE,LCBE=LCDE=30°，S ARCE=SACE, .∠FDE=∠FDB+∠BDC-∠CDE=45°， ∴.△FDE是等腰直角三角形， DF=P=号E设Em=T心=e, ∴.BT=√3a,BE=2a,.DE=BE=2a,BC=3a+a, EF=DF=Samc=mBG ET= (+I)a.Sam-EF.DF-a, ∴.S风边形ECDF=S△DCE+S△DFE= 2（5+3), SABCE 5+13 S四边形ECDF V3+33 一轮重难题型培优 第6题解图 课时三与折叠（对称）有关的最值问题 例1A变式1C 例2解：(1)根据折叠的性质可得，DWN=EN, 设DN=EN=x,则CW=4-x. E是BC的中点BC-=C=-2 在Rt△NEC中，∠C=90°， .CW+CE2=EW2,即(4-x)2+22=x2, 解得x=名即DN=3 (2)如解图，取AD的中点P,连接QP,QC,由折叠 的对称性可知QP=QG. G E 例2题解图 :Q为DE的中点，△CDE为直角三角形， -.CQ-]DE-QE.-.cQ+QE-QP+CQ>cP, 当P,Q,C三点共线时，QP+CQ最小，为CP的长 :P是AD的中点DP=7AD=2 :∠ADC=90°，∴.在Rt△CPD中，由勾股定理，得 CP=W√CD2+DP2=25, ∴.当且仅当P,Q,C三点共线时，GQ+QE最小，最 小值为25. 38 浙江新中考 变式224,16 例3解：【发现】2； 【探究】平行； 【拓展】(1)如解图1，连接0'E,则0'E=2,0'E ⊥AB, E是OB的中点，OB= 34B=2, 0E=B8E=20B=1, .0'B=√O'E2+BE=5, 例3题解图1 又.·AB是⊙O的直径， ∴.∠AMB=90°=∠O'EB 又：∠ABM=∠MBE,∴.△AMB∽△O'EB, 小能品即受。解网w=号5 (2)如解图2，设O'0与CD交于点F,连接OD, 0'E,则0D=2. 例3题解图2 根据轴对称可得0'01CD,0F=200, .CD=2DF, 在Rt△ODF中，由勾股定理，得DF=√OD2-OF =√4-0F,在Rt△00'E中，由勾股定理，得0'0 =√0E2+0'E2=√0E2+4, 当O'0最大时，0E最大，CD最小，如解图3，即 当点E在点B处时，CD最小， 此时，0'0=√OB2+0'E=22,.0F=2, CF=√4-0F=2,.CD=22. 当0'0最小时，0E最小，CD最大，如解图4，即当 点E在点O处时，CD最大， 0' B(D.E) O(E 图3 图4 例3题解图 这时，同理可得OF=1, .DF=4-0F=√5，.CD=23, 综上所述，弦CD的最大值为25，最小值为2√2. 针对训练 2355 1.6,4 学 参考答案 3.解：(1)①.正方形ABCD的边长为3， ∴AE∥Dc,CD=3,0A=0C=2AC, AM AE 1 ·△AME∽△CMD,.MC-CD=3 AM=G. AM=20A,即点M是0A的中点； ②OG与DE的位置关系为OG∥DE,理由略； (2)如解图，在DC上截取DP=1,连接FP,BP, D 第3题解图 则DP=DH. :四边形ABCD是边长为3的正方形， ∴.DA=DC=BC=3,∠BCP=90°， .CP=CD-DP=3-1=2, 由折叠的性质得DF=DA=3,.DF=DC, DF=DC 在△DFP和△DCH中，∠FDP=∠CDH, DP DH ∴.△DFP≌△DCH(SAS),∴.PF=CH, .BF+CH=BF+FP. :BF+FP≥BP,.当B,F,P三点共线时，BF+FP 最小，即BF+CH最小， 此时，BF+CH=BP=√BC2+CP=√32+2=√13. 题型六几何图形的旋转综合题 课时一与三角形有关的旋转问题 例15° 变式线段CQ长度最小值是3，解答过程略， 针对训练 1.D2.C3.B4.D5.C6.B7.B 课时二与四边形有关的旋转问题 例解：(1)在口ABCD中，BC=AD=10, 在R△BCH中，CH=BCsin B=10×号=8； (2)①如解图1，作CH⊥BA于点H, D 例题解图1 由(1)得，BH=√BC-CH=√102-82=6， 作C'Q⊥BA交BA延长线于点Q,则∠CHP= ∠PQC'=90°，.∠C'PQ+∠PC'Q=90. 浙江新中考 ∠C'PQ+∠CPH=90°，∴.∠PC'Q=∠CPH, 由旋转知PC'=PC,∴.△PQC'≌△CHP(AAS) 设BP=x,则PQ=CH=8,C'Q=PH=6-x,QA= PO-PA=x-4. CQ⊥AB,CH⊥AB,.C'Q∥CH, △40c△4cg器=器 6g-56x-头即-4 8 ②由旋转得△PCD≌△PC'D',CD=C'D', CD⊥C'D'.又AB∥CD.C'D'⊥AB, 情况一：如解图2，当以C为直角顶点时。 D' D C D H 重难 B B C 图2 图3 例题解图 型培优 CD'⊥AB,C落在线段BA延长线上 PC⊥PC',∴.PC⊥AB, 由(1)知，PC=8,∴.BP=6. 情况二：如解图3，当以A为直角顶点时， 设C'D'与射线BA的交点为T,作CH⊥AB于点H. .PC⊥PC',.∠CPH+∠TPC'=90°. :点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点 C',D',.∠CPD=∠CPD',PC=PC',PD=PD', .△PCD≌△PC'D'(SAS),.∠PCD=∠PC'D'. 'AB∥CD,∴.∠BPC=∠PCD=∠PC'D', ∴.∠C'PT+∠PC'T=90°，∴.∠PTC'=90°=∠CHP, .△CPH≌△PC'T(AAS),.C'T=PH,PT= CH=8. 设C'T=PH=t,则AP=6-t, .'AT=PT-PA=2+t. ∠C'AD'=90°，C'D'⊥AB,.△ATD△CTA, 小部-7Ar=6T.m, ∴.(2+t)2=t(12-t),化简得t2-4t+2=0, 解得t=2+√2，或t=2-√2， ∴.BP=BH+HP=8±V2, 情况三：当以D为直角顶点时， 点P落在BA的延长线上，不符合题意. 综上所述，BP=6或8±√2. 变式1A变式2号 针对训练 1B2.D3B4号5.356.20 2 7.8-2√3或8+23 学参考答案 39