5.课时二 与折叠(对称)有关的面积问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

课时二与折叠（对称）有关的面积问题(2024.16) 类型1三角形 例1(2025衢州校级模拟)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是AC的中点， 解题突破点 连接BD,将△ABD沿BD翻折得△EBD,连接CE. L.对应角：∠A=∠BED, (1)BD与CE的位置关系： ∠ABD=∠EBD,∠ADB= 2)若6-2，则 ∠EDB; S ABEC 2.对应边：AB=BE,AD=DE: 3.突破点：(1)由折叠的 性质及点D是AC的中，点 可推出∠EDB=∠DEC,可 知BD与CE的位置关系； (2)过点D作DH⊥CE于 例1题图 变式1题图 ,点H,通过锐角三角函数 变式1如图，将等边△ABC折叠，折痕为DE,点B与点F重合，EF和DF分别交AC 即可得SADCE与S△BEc的 于点M,N,DF⊥AB于点D,AD=1,EC=2,则四边形DEMN的面积为 关系.由Sw=方AB· AD,即可求SA 类型2四边形 例2(2025温州龙港市二模)如图，点E,F,G,H分别在矩形纸片ABCD的边AB, 解题突破点 BC,CD,DA上，将矩形的四个角分别沿着EH,EF,FG,HG向内折，恰好拼成一 1.对应三角形：△AEH≌ 个无缝隙、无重叠的四边形EFGH若职=号，AM=4,则四边形EFGH的面 △JEH,△EBF≌△EJF, △CFG≌△KFG,△HDG 积为 ≌△HKG: 2.突破点：由折叠的性质 可知四边形EFGH是矩 形，由职子，可桌出 EJ,EH的长，即可得四边 形EFGH的面积. 例2题图 变式2题图 变式2(2025宁波江北区二模)如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上 点，AE=√2CE,将△BCE沿BE折叠，点C的对应点F刚好落在AD边上，则 △ABF与平行四边形ABCD的面积之比为 类型3圆 例3(2024湖州长兴县期末)如图是以点0为圆心，AB为直径的圆形纸片.点C解题突破点 在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙0上的点D处（不与点A1.HC垂直平分DB; 更合)连接AD,BD,分别延长BM和CD相交于点E若=k,BD=2,用含k的 2突破点：由=k,设 代数式表示⊙0的面积是 BD,CO交于点F.可得 肥酷通过句股定理 列方程，继而可求得⊙0 面积. 例3题图 36 浙江新中考数学二轮重难题型培优 》 针对训练 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边AB上， 5.(2025杭州九年级校级月考)如图，在菱形ABCD DE∥BC,与边AC交于点E,将△ADE沿着DE所 中，∠BAD=60°，对角线AC,BD相交于点O,直线 在的直线对折，得到△FDE,连接BF.记△ADE, l分别与边AB,AD交于点E,F,将△AEF沿EF翻 △BDF的面积分别为S,S2.若BD>2AD,则下列 折得△GEF,AE的对应边EG恰好经过点O,FG与 说法正确的是 A.2S2>3S B.2S2>5S1 C.3S2>7S, D.3S2>8S, oD交于点.已知c=8,能=品，则△0GH与 △DFH的面积之比为 第1题图 第2题图 2.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边 第5题图 的点F处，折痕为CE,E为AB的中点.若AB= 6.(2025温州校级模拟)如图，正方形纸片ABCD,点 10,∠B=60°，则四边形BCFE的面积是() E在对角线AC上，连接BE,沿BE对折△BEC至 A.205B.253C.403D.503 △BEF,连接DF 3.(2025湖州吴兴区二模)如图，点0是☐ABCD对 (1)若DF∥BE,则tan∠EBC= 角线AC的中点，沿过点O的直线MN将口ABCD (2)若∠DFE=90°，求△BCE与四边形ECDF的 折叠，使点A,B分别落在A',B处，NB'交CD于点 面积比值。 E,A'B交AD于点F.若点E是CD的中点，且 NC=3,则△AM0与四边形M0CD的面积比 NE 5 值为 第6题图 第3题图 4.（2025丽水龙泉市二模)如图，在□ABCD中， BC=3,CD=4,点E是CD边上的中点，将△ADE 沿AE翻折得△AFE,连接BF,点B,F,E恰好在同 一直线上，延长AF交BC于点G,则△BFG与四边 形AGCD的面积比值为 B G 第4题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 37.DE=3√0或DE=-3√10（舍去）， .DE=3√10； (3)解：如解图2，连接EH. 由题意加、4 =5,可设DH= 4nm,F=5m,2瓷 ①当点H在点D的左侧时， B 易得HF=HG, 例2题解图2 ∴.HG=5m,DG=9m, 由折叠可知BE⊥CF,∴.∠ECF+∠BEC=90°. ∠D=90°，∴.∠ECF+∠CGD=90°， ∴.∠BEC=∠CGD ∠BCE=∠D=90°，∴.△CDG∽△BCE, 器品 0品 9m=k, CE-9m=FE DE=9m k ∠D=∠HFE=90°，.HF2+FE2=D+DE2, (5m)2+()2=(4m)2+(2g)3, +9或x=-+9(合去)， 3 3 DE2+9 EC 3 ②当点H在点D的右侧时，如解图3， GD H C 例2题解图3 同理HG=HF,△BCE△CDG, .DG-m.CE--FE DE- k HF2 FE2=DH2 DE2, (5m)2+()2=(4m)2+(g)2, ∴.x=√9k2+1或x=-√9k2+1(舍去)， 小院=吸+ 综上所述，8院的值为9或9+1 变式25例336,35 2 变式3解：(1)B0'是⊙0的切线， ∴.∠0B0'=90°， 由折叠的性质可知，∠OBP=∠PB0'=45°， ∠OPB=∠BPO'. .·∠AOB=75°，∴.∠OPB=∠BP0'=180°-75°- 浙江新中考 45°=60°，∴.∠0P0'=120°， .∠AP0'=180°-∠0P0'=180°-120°=60°； (2)如解图，连接O0'交BP于点Q,则BP⊥O0'. 在Rt△0BQ中，0Q=0B×sin45°=3√2， 在Rt△OPQ中，OP=O0 c0s300=26, .AP=0A-0P=6-2√6. 变式3题解图 针对训练 1.B2.3103.2143+55.3,8 4 53 660,41.(1)40,(2)西- 3 8.(1)证明略 轮重难 (2)解：∠DA'E=∠BCE,LA'ED=∠BEC, .△A'DE∽△CBE, 型培优 A'D DE 1 六BC-B证3，即Bc=3M'D 又A'D=AD,BD=BC,∴.BC=BD=3AD, 胎0o 课时二与折叠（对称）有关的面积问题 例1(1)BD∥CE:(2)4+1 2a2 变式19+33 4 例 28变式2例34 2 针对训练 1A2B3音4g525:81 6解：(1)2 (2)如解图，连接BD,DE,交AC于点O,过点B作 BM⊥DF交DF的延长线于点M,过点E作ET⊥BC 于点T.:四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=BC=CD,∠BCD=∠ABC=90°， .BD=√2BC,∠ABD=∠ADB=∠ACB=∠ACD=45°. 由折叠的性质可知BC=BF,∠BCE=∠BFE=45°. ∠DFE=90°，.∠BFD=135°， .∠BFM=45°，即△BMF是等腰直角三角形， .BF=√2BM,.BD=√2BC=√2BF=2BM, 血∠BN=80-7∠0M=30. .∠MBD=60°，∠FBD=∠MBD-∠MBF=15°， .∠ABF=∠ABD-∠FBD=30°， .∠FBE=∠CBE=30°. BC=DC,LBCE=∠DCE=45°，CE=CE, 学参考答案 37 .∴.△BCE≌△DCE(SAS), .BE=DE,LCBE=LCDE=30°，S ARCE=SACE, .∠FDE=∠FDB+∠BDC-∠CDE=45°， ∴.△FDE是等腰直角三角形， DF=P=号E设Em=T心=e, ∴.BT=√3a,BE=2a,.DE=BE=2a,BC=3a+a, EF=DF=Samc=mBG ET= (+I)a.Sam-EF.DF-a, ∴.S风边形ECDF=S△DCE+S△DFE= 2（5+3), SABCE 5+13 S四边形ECDF V3+33 一轮重难题型培优 第6题解图 课时三与折叠（对称）有关的最值问题 例1A变式1C 例2解：(1)根据折叠的性质可得，DWN=EN, 设DN=EN=x,则CW=4-x. E是BC的中点BC-=C=-2 在Rt△NEC中，∠C=90°， .CW+CE2=EW2,即(4-x)2+22=x2, 解得x=名即DN=3 (2)如解图，取AD的中点P,连接QP,QC,由折叠 的对称性可知QP=QG. G E 例2题解图 :Q为DE的中点，△CDE为直角三角形， -.CQ-]DE-QE.-.cQ+QE-QP+CQ>cP, 当P,Q,C三点共线时，QP+CQ最小，为CP的长 :P是AD的中点DP=7AD=2 :∠ADC=90°，∴.在Rt△CPD中，由勾股定理，得 CP=W√CD2+DP2=25, ∴.当且仅当P,Q,C三点共线时，GQ+QE最小，最 小值为25. 38 浙江新中考 变式224,16 例3解：【发现】2； 【探究】平行； 【拓展】(1)如解图1，连接0'E,则0'E=2,0'E ⊥AB, E是OB的中点，OB= 34B=2, 0E=B8E=20B=1, .0'B=√O'E2+BE=5, 例3题解图1 又.·AB是⊙O的直径， ∴.∠AMB=90°=∠O'EB 又：∠ABM=∠MBE,∴.△AMB∽△O'EB, 小能品即受。解网w=号5 (2)如解图2，设O'0与CD交于点F,连接OD, 0'E,则0D=2. 例3题解图2 根据轴对称可得0'01CD,0F=200, .CD=2DF, 在Rt△ODF中，由勾股定理，得DF=√OD2-OF =√4-0F,在Rt△00'E中，由勾股定理，得0'0 =√0E2+0'E2=√0E2+4, 当O'0最大时，0E最大，CD最小，如解图3，即 当点E在点B处时，CD最小， 此时，0'0=√OB2+0'E=22,.0F=2, CF=√4-0F=2,.CD=22. 当0'0最小时，0E最小，CD最大，如解图4，即当 点E在点O处时，CD最大， 0' B(D.E) O(E 图3 图4 例3题解图 这时，同理可得OF=1, .DF=4-0F=√5，.CD=23, 综上所述，弦CD的最大值为25，最小值为2√2. 针对训练 2355 1.6,4 学 参考答案