5.课时一 与折叠(对称)有关的线段问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

8竖，即g-cB=2, .DB=√DC2+CB=√6a DB=BE,.∠BDE=∠BED=∠G 又·∠DHF=∠GHB,∴.△DHF△GHB, S△DFH= DE)2=( GB BD' √6a 61 2.(1)证明略. (2)①证明略 ②解：如解图，连接AO并延长交BC于点H. AB=AC, ·AB=AC,AH1BC, 、H=CH=C 重 设AB=AC=√6m,BC=2m,则 第2题解图 BH=CH =m. 培优 .AH=√AC2-C=√5m :∠AHC=∠BEC=90°，∠ACH=∠BCE, AMcI△BCE品-提-0， 0-2-0E=m 2m 3 m,CE=6 m, 626 .AE=AC-CE=/6m-3m=-3 m. .:△ABE∽△DCE,∴. CD CE AB BE 6 CD 3m 6m30CD=30 m, 3 m 2w6 AE 、3m 25 CD 30 3 n 3.（1)解：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠DCB+∠DAB=180°. ∠DCB=2∠DAB,∴.2∠DAB+∠DAB=180°， .∠DAB=60. .∠DEB=∠DAB,.∠DEB=60° DE∥AC,∴.∠EFA=∠DEB=60°； (2)证明略. 4.（1)解：.：BC平分∠EBG,.∴.∠EBC=∠CBG .'∠EBC=∠EAC,∴.∠CBG=∠EAC. AC⊥FC,∴.∠AFC+∠EAC=90. :∠BCG=∠AFC,∠BCG+∠CBG=90°， ∴.∠BGC=90°： (2)①证明略 ②解：如解图1，过点C作CH⊥EG于点H, 设AG=DF=2x. 36 浙江新中考 .·△ACF≌△BGC, .AF =BC=2DG, .CD=DG=AG+DF=4x. .CF=CG, D ∴.HG=HF=3x, .DH=x,AH=5x, 第4题解图1 .CH=√CD2-Dm= √(4x)2-x=√15x, 六nL6c=ian∠cF-册-西 mC的值为西， (3)解：如解图2，过点O作OM⊥BE于点M,连接 OC交AE于点N, .·BC平分∠EBG,OB=OC, ∴.∠CBE=∠OBC=∠OCB, .OC∥BE. BD=CD,∠BDE=∠CDN, .△EBD≌△NCD(ASA), M .BE=CN. 第4题解图2 OC∥BE,∴.∠GOC=∠MBO. ∠CG0=L0MB=90°，0C=OB, ∴.△COG≌△OBM(AAS),.BM=OG=1. .·OM⊥BE,.CN=BE=2BM=2, 设OB=0C=r. ·OC∥BE,∴.△GON∽△GBE, G0_0N.1r-2 GBBEr+12 解得r=1+,或r=1(合去)， 2 2 由(2)知△ACF≌△BGC, ÷4C=BG=r+1=T+3,AC的长为T+3 2 2 题型五几何图形的折叠（对称）问题 课时一与折叠（对称）有关的线段问题 例125-2或3变式1 例2(1)证明略. (2)解：如解图1，连接EH. .△BCE≌△CDG, .CE=DG=9. 由折叠可知BC=BF,CE=FE= 9,.∠BCF=∠BFC. 四边形ABCD是正方形，.AD 例2题解图1 ∥BC,∴.∠BCG=∠HGF. ∠BFC=∠HFG,∴.∠HFG=∠HGF,∴.HF=HG. 0-号，Dc=9,D=4,n=ic=5. ∠D=∠HFE=90°，∴.HF2+FE2=D+DE2, 52+92=42+DE2, 学 参考答案 .DE=3√0或DE=-3√10（舍去）， .DE=3√10； (3)解：如解图2，连接EH. 由题意加、4 =5,可设DH= 4nm,F=5m,2瓷 ①当点H在点D的左侧时， B 易得HF=HG, 例2题解图2 ∴.HG=5m,DG=9m, 由折叠可知BE⊥CF,∴.∠ECF+∠BEC=90°. ∠D=90°，∴.∠ECF+∠CGD=90°， ∴.∠BEC=∠CGD ∠BCE=∠D=90°，∴.△CDG∽△BCE, 器品 0品 9m=k, CE-9m=FE DE=9m k ∠D=∠HFE=90°，.HF2+FE2=D+DE2, (5m)2+()2=(4m)2+(2g)3, +9或x=-+9(合去)， 3 3 DE2+9 EC 3 ②当点H在点D的右侧时，如解图3， GD H C 例2题解图3 同理HG=HF,△BCE△CDG, .DG-m.CE--FE DE- k HF2 FE2=DH2 DE2, (5m)2+()2=(4m)2+(g)2, ∴.x=√9k2+1或x=-√9k2+1(舍去)， 小院=吸+ 综上所述，8院的值为9或9+1 变式25例336,35 2 变式3解：(1)B0'是⊙0的切线， ∴.∠0B0'=90°， 由折叠的性质可知，∠OBP=∠PB0'=45°， ∠OPB=∠BPO'. .·∠AOB=75°，∴.∠OPB=∠BP0'=180°-75°- 浙江新中考 45°=60°，∴.∠0P0'=120°， .∠AP0'=180°-∠0P0'=180°-120°=60°； (2)如解图，连接O0'交BP于点Q,则BP⊥O0'. 在Rt△0BQ中，0Q=0B×sin45°=3√2， 在Rt△OPQ中，OP=O0 c0s300=26, .AP=0A-0P=6-2√6. 变式3题解图 针对训练 1.B2.3103.2143+55.3,8 4 53 660,41.(1)40,(2)西- 3 8.(1)证明略 轮重难 (2)解：∠DA'E=∠BCE,LA'ED=∠BEC, .△A'DE∽△CBE, 型培优 A'D DE 1 六BC-B证3，即Bc=3M'D 又A'D=AD,BD=BC,∴.BC=BD=3AD, 胎0o 课时二与折叠（对称）有关的面积问题 例1(1)BD∥CE:(2)4+1 2a2 变式19+33 4 例 28变式2例34 2 针对训练 1A2B3音4g525:81 6解：(1)2 (2)如解图，连接BD,DE,交AC于点O,过点B作 BM⊥DF交DF的延长线于点M,过点E作ET⊥BC 于点T.:四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=BC=CD,∠BCD=∠ABC=90°， .BD=√2BC,∠ABD=∠ADB=∠ACB=∠ACD=45°. 由折叠的性质可知BC=BF,∠BCE=∠BFE=45°. ∠DFE=90°，.∠BFD=135°， .∠BFM=45°，即△BMF是等腰直角三角形， .BF=√2BM,.BD=√2BC=√2BF=2BM, 血∠BN=80-7∠0M=30. .∠MBD=60°，∠FBD=∠MBD-∠MBF=15°， .∠ABF=∠ABD-∠FBD=30°， .∠FBE=∠CBE=30°. BC=DC,LBCE=∠DCE=45°，CE=CE, 学参考答案 37题型五 几何图形的折叠（对称）问题 (2025.24,12分、2024.16,3分) 课时一 与折叠（对称）有关的线段问题 类型三角形 例1(2025金华校级模拟)如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿 解题突破点 中线AM折叠，得到△AMC(图2)，再次沿过点M的直线将△AMC折叠，得到1.对应角：∠A=∠E, △MDE(图3)，其中点D为折痕MD与AC边的交点，点E为点A的对应点，ME ∠AMD=∠EMD,∠ADM= 与AC边交于点F,如图3所示.当点D在边AC上，且△EFD为直角三角形时， ∠EDM: EF的长度是 2.对应边：AD=DE. AM=EM; 3.突破点：根据折叠性质 及勾股定理求出AM,分 ∠EDF=90°和∠EFD= 90°两种情况进行讨论. 图 图2 图3 例1题图 变式1题图 变式1(2025杭州校级模拟)如图，△ABC是等边三角形，D,F分别是BC,AB边 上的点，点B关于直线DF的对称点为点E.若点E在AC边上，且EF⊥AB,则 船的值为 类型2四边形 例2【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE 解题突破点 折叠，点C落在点F处，连接CF并延长，交AD于点G. 1. 对应角：∠BCD= (1)求证：△BCE≌△CDG; ∠BFE,∠CBE=∠FBE, 【运用1(2)如图2，在（推理】的条件下，延长BF交AD于点A若D=4 HF=5.CE= ∠FEB=∠CEB; 2.对应边：BF=BC,EF= 9,求线段DE的长； EC; 【拓展】(3)如图3，将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连接CF,延长CF,BF 3.突破点：(1)根据折叠 交直线0于G,Ⅱ两点若2祝-，那-号 的值（用含k的代数式表示）. 的性质，利用“AAS”即可 EC 求证； GH (2)连接EH.根据HF+ FE2=DH+DE2,即可求 出DE; (3)连接EBH.由题意皿 图 图2 图3 s 例2题图 ，设未知数.分两种情 4 形：①当点H在，点D的左 侧时；②当点H在，点D的 右侧时.再分别利用勾股 定理构建方程求解即可. 浙江新中考数学二轮重难题型培优 33 变式2(2025杭州钱塘区二模)如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿 做题笔记 AB折叠，使点D的对应点P恰好落在边BC上若器-多，则cB的值 是 变式2题图 类型3圆 例3如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙0上，将该圆形纸片 解题突破点 沿直线C0对折，点B落在⊙0上的点D处（不与，点A重合），连接CB,CD,AD.1.对应角：LBC0=∠DC0; 2.对应边：BC=CD; 设CD与直径AB交于点E.若AD=ED,则∠B= BC的值等 度； 3.突破点：(1)由AD= 于 ED及折叠的性质可设 ∠ECO=∠OCB=∠B= x,可得到∠CEB=2x,由 三角形内角和定理可得 出答案； (2)证明△CEO∽△BEC C 例3题图 得出OE与CE的数量关 变式3【一题多解】如图，在扇形AOB中，半径OA=6,点P在OA上，连接PB,将 系，证明△BCE∽△DAE, 由相似三角形的性质得 △OBP沿PB折叠得到△O'BP.已知∠O=75°，且B0'与AB所在的圆相切于 点B. D-AE (1)求∠AP0'的度数； 做题笔记 (2)求AP的长 变式3题图 34 浙江新中考数学二轮重难题型培优 》 针对训练 《 1.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=6,E是BC的 6.（2024宁波北仑区一模)如图，边长为6的菱形 中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处， ABCD中，∠A=60°，E是AB边上的一点，CF=2, 连接CF,则cos∠ECF的值为 () 将四边形AEFD沿着EF折叠得到四边形A'D'FE,当 B.33 c.213 D25 A',B,D'三点在同一条直线上时，∠A'BE+ 13 13 5 ∠D'BC= ,此时D'F交BC边于点G,BG 的长为 D F B D 第1题图 第2题图 A 2.(2025嘉兴平湖市二模)如图，AB为⊙0的直径， 第6题图 第7题图 且AB=10,C为⊙0上异于点A,B的一点.现将劣 7.(2025绍兴柯桥区月考)如图，将矩形ABCD沿BE 弧BC沿直线BC折叠.若弧BC与直径AB交于点 折叠，点A与点A'重合，连接EA'并延长分别交 D,BD=8,则BC的长为 BD,BC于点G,F,且BG=BF 3.（2025宁波校级模拟)如图，在Rt△ABC中， (1)若∠AEB=55°，则∠GBF= ∠ACB=90,amB=子，点D,E分别在AB,BC上， (2若8-，则m∠AB的值为 将△BDE沿DE折叠，点B落在AC的延长线的点 8.(2025嘉兴嘉善县一模)如图，在△ABC中，以B F处若LAFD=∠EFD,则的值为 为圆心，线段BC的长为半径画弧交边AB于点D, 连接CD,将△ABC沿直线CD对折使点A落在A' 处，A'C交边AB于点E. (1)求证：∠DA'E=∠BCE; B （2)若距-号胎的值 B-- E D 第3题图 第4题图 4.【一题多解】(2025宁波一模)如图，在口ABCD中， ∠ABC=45°，0为对角线BD的中点，E为BC上 一点，将口ABCD沿OE所在的直线折叠，使点B 和点D重合.若AB=AE,OF=1,则AB的 第8题图 长为 5.(2025温州一模)如图，点E,F分别在口ABCD的 边AB,CD上，连接DE,EF,点D关于EF的对称 点G恰好在AB的延长线上，连接FG交BC于 点机若器-名，GP=1,则册 GH AE= E B 第5题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 35