4.课时二 圆与内接四边形-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

过点F作FH⊥BE于点H,连接BF,EF,如解图， 第3题解图 设BF=x, 由AF为直径知LABF=90°，∠BAF=∠BEF, tam∠BEF=tan∠BAF=BF=x AB=6, 能若则-亚 xx 6 sin C=4B-3 BC=3,且LC=LBAP=∠HBR, 如LBP=血C=子， 故F=3 6+3 ,H= 6“子号即m为定号 Swe +SaueAGGAG GE-AG 为定值9 4.证明略。 课时二 圆与内接四边形 例证明略 变式1解：如解图，过点A作AF⊥BC于点F AB=AC, ∴AF与BD的交点即为圆心O. BE=5,DE=2, 0=0D=8D= 7 2 0E-是 BD是⊙O的直径， 变式1题解图 ∴.∠BCD=90° ∠AFC=∠BCD=90°，∴.AF∥DC, ∴.∠OAE=∠ACD. 又.'∠ACD=∠ABD,.∠ABD=∠OAE, 六△ABE∽△0AE,Ag=0E BE AE 能=vE0E-5×亭-0 2 变式2解：如解图，延长AD与BC的延长线交于点 F,过点A作AG⊥BC于点G AB=AC,BC=10, .∴A,O,G三点共线，BG=CG=5.由题意知，△ABG ∽△BCE△ADE 浙江新中考 AB=5√5，.BE=4N5, CE=2√5，AE=3V5,DE= 0-w 2, 设∠BAG=a, AB=AC,.∠BAG=∠CAG 变式2题解图 =0. .·∠ADB=∠ACB=90°-， ∴.∠DAE=∠CBE=a,∠ABD=∠ACD=90°-2a, ∠BFD=∠ACB-∠CAF=90°-2a, 3,CF=25 ·△ACD∽△BFD,易得BF= SAAGD AC2 945 8A=6r=125×302527 ··BC I00.3△ACD≥a SAm-BF-55-ii心SAn 3 变式3证明略. 变式4证明略. 针对训练 轮重难题型培优 1.(1)证明略. (2)解：CE=3,.DC=CE=3, 设FC=x,则AF=FE=CF+CE=x+3, 在Rt△AFC中，AF2=CF2+AC2, (+3)炉=2+4=石0F-名 6 ·DF=DC-CF=3-2=1CF_67 6=6心0F=1= 6 (3)解：如解图所示，连接FB, .·AB为⊙O的直径， .∠AEB=90°， .∠AEF+∠FEB=90°，∠FAE +∠G=90°. ∠FAE=∠FEA, .∠G=∠FEG, .FG=FE=AF. 第1题解图 :点B为EG的中点， ∴.BG=BE,FB是△AGE的中位线， .FB//AE.FB-AE, .∠FBE=∠AEB=90°，△FCB△ECA, 小瓷-器=分设0=， AB⊥DE,DC=CE=2a, .AF=FE=FC+CE =3a,DF DC-FC=a, .AC=√AF2-FC=22a, 之tan∠cAE=Cg=2a=气/ AC 22a B..tan L FDB=tn L CAE= 2 学 参考答案 35 8竖，即g-cB=2, .DB=√DC2+CB=√6a DB=BE,.∠BDE=∠BED=∠G 又·∠DHF=∠GHB,∴.△DHF△GHB, S△DFH= DE)2=( GB BD' √6a 61 2.(1)证明略. (2)①证明略 ②解：如解图，连接AO并延长交BC于点H. AB=AC, ·AB=AC,AH1BC, 、H=CH=C 重 设AB=AC=√6m,BC=2m,则 第2题解图 BH=CH =m. 培优 .AH=√AC2-C=√5m :∠AHC=∠BEC=90°，∠ACH=∠BCE, AMcI△BCE品-提-0， 0-2-0E=m 2m 3 m,CE=6 m, 626 .AE=AC-CE=/6m-3m=-3 m. .:△ABE∽△DCE,∴. CD CE AB BE 6 CD 3m 6m30CD=30 m, 3 m 2w6 AE 、3m 25 CD 30 3 n 3.（1)解：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠DCB+∠DAB=180°. ∠DCB=2∠DAB,∴.2∠DAB+∠DAB=180°， .∠DAB=60. .∠DEB=∠DAB,.∠DEB=60° DE∥AC,∴.∠EFA=∠DEB=60°； (2)证明略. 4.（1)解：.：BC平分∠EBG,.∴.∠EBC=∠CBG .'∠EBC=∠EAC,∴.∠CBG=∠EAC. AC⊥FC,∴.∠AFC+∠EAC=90. :∠BCG=∠AFC,∠BCG+∠CBG=90°， ∴.∠BGC=90°： (2)①证明略 ②解：如解图1，过点C作CH⊥EG于点H, 设AG=DF=2x. 36 浙江新中考 .·△ACF≌△BGC, .AF =BC=2DG, .CD=DG=AG+DF=4x. .CF=CG, D ∴.HG=HF=3x, .DH=x,AH=5x, 第4题解图1 .CH=√CD2-Dm= √(4x)2-x=√15x, 六nL6c=ian∠cF-册-西 mC的值为西， (3)解：如解图2，过点O作OM⊥BE于点M,连接 OC交AE于点N, .·BC平分∠EBG,OB=OC, ∴.∠CBE=∠OBC=∠OCB, .OC∥BE. BD=CD,∠BDE=∠CDN, .△EBD≌△NCD(ASA), M .BE=CN. 第4题解图2 OC∥BE,∴.∠GOC=∠MBO. ∠CG0=L0MB=90°，0C=OB, ∴.△COG≌△OBM(AAS),.BM=OG=1. .·OM⊥BE,.CN=BE=2BM=2, 设OB=0C=r. ·OC∥BE,∴.△GON∽△GBE, G0_0N.1r-2 GBBEr+12 解得r=1+,或r=1(合去)， 2 2 由(2)知△ACF≌△BGC, ÷4C=BG=r+1=T+3,AC的长为T+3 2 2 题型五几何图形的折叠（对称）问题 课时一与折叠（对称）有关的线段问题 例125-2或3变式1 例2(1)证明略. (2)解：如解图1，连接EH. .△BCE≌△CDG, .CE=DG=9. 由折叠可知BC=BF,CE=FE= 9,.∠BCF=∠BFC. 四边形ABCD是正方形，.AD 例2题解图1 ∥BC,∴.∠BCG=∠HGF. ∠BFC=∠HFG,∴.∠HFG=∠HGF,∴.HF=HG. 0-号，Dc=9,D=4,n=ic=5. ∠D=∠HFE=90°，∴.HF2+FE2=D+DE2, 52+92=42+DE2, 学 参考答案课时二圆与内接四边形(2025.16,2024.2 例如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形”，连接BD,AC,其中B即是Q0的 真径”，AC=BC⑧.求证：AB·BC=CD(AD+BD). 例题图 从求线段长的角度出发展开变式： 变式1如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.连接BD,AC交于点E.其中 BD是⊙0的直径，AB=AC.已知BE=5,ED=2,求AE的长 变式1题图 从求面积比出发展开变式： 变式2如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.连接AC,BD交于点E.其中 AB=AC,AC⊥BD,已知AB=55,BC=10,求△4C的值 SABCD 0 变式2题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 4) 解题突破点 定性/定量分析图形基本结构 序定性 等价条件 号定量 ∠BAD+∠BCD= ①定量 180° ∠BAD=∠BCD= ②定量 90° ∠ABC=LBAC, ③定量 C0O⊥AB 逆向分析 由结论出发，易知需要 借助相似三角形完成证明. 其中，相似三角形需要包含 AB,BC,CD,AD,BD或者与 之存在关联的线段.观察图 形结构，没有直接可以用来 证明结论的相似三角形，因 此需要进行构造 做题笔记 29 从线段等量关系出发展开变式： 做题笔记 变式3如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.AB=BD,AC⊥BD于点E.F 为AE上一点.若CE=FE,过点F作FG⊥AD于点G,求证：AG=DG 变式3题图 从线段数量关系出发展开变式： 变式4如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，∠ABC=60°，CB=CD.连接AC, AC平分∠DAB,求证：AB=AD+BC. 0 D 变式4题图 30 浙江新中考数学二轮重难题型培优 》 针对训练 《 1.(2025衢州校级模拟)如图，AB为⊙0的直径，弦2.(2025绍兴校级模拟)如图，四边形ABCD是圆0 DE⊥AB于点C(C为线段OB上一点)，F为CD上 的内接四边形，连接AC,BD交于点E. 一点（点C,F均不与端，点重合），连接BD,BE,射线 (1)求证：△ABE∽△DCE; AF交BD于点H,与射线EB交于点G,且 (2)若AB=AC,BC=2CD. ∠EAF=∠ADE. ①求证：AC⊥BD; (1)求证：AF=EF; (2)若4C=4,CB=3,求8的值： ②当8-时，求 9BC=2 CD的值 点B为EG的中点时，求SC B 第2题图 B ∠ 第1题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 31 3.(2025杭州上城区校级三模)如图1，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，过点D作DE∥AC交⊙O 于点E,连接BE交AC于点F. (1)若∠DCB=2∠DAB,求∠EFA的度数； (2)如图2，连接FD,若AF=FC. ①求证：FE=FD; ②求证：DC·AB=AD·BC. .0 图1 图2 第3题图 32 浙江新中考数学 4.(2023宁波中考)如图1，锐角△ABC内接于⊙0， D为BC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E,连 接BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点F,点G 在AD上，连接BG,CG,若BC平分∠EBG且 ∠BCG=∠AFC. (1)求∠BGC的度数； (2)①求证：AF=BC; ②若AG=DF,求tan∠GBC的值； (3)如图2，当点0恰好在BG上且OG=1时，求 AC的长. D E E 图1 图2 第4题图 二轮重难题型培优