4.课时一 圆与直角三角形-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

(2)由(1)知t=1,故二次函数的解析式为y=x2+ 2x-2, 又：y=x2+2x-2的图象经过点(m+1,n+1), ∴.n+1=(m+1)2+2(m+1)-2,整理可得n= m2+4m=(m+2)2-4, 故n是m的二次函数，n的最小值为-4； (3)对于二次函数y=x2+2x-2=（x+1)2-3,其 对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1，-3)， 令y=-3,此时可得x2+2x-2=-3,解得x1= x2=-1;令y=1,此时可得x2+2x-2=1,解得x1= -3,x2=1, 画出大致图象如解图， -y=-3 x=-1 第2题解图 由于在-3≤x≤m时，-3≤y≤1， 故m的取值范围为-1≤m≤1. 3.解：(1)将A(2,-1)代入y=ax2+bx-1得-1= 4a+26-1,整理得-元=1， ∴.二次函数图象的对称轴为直线x=1; (2)（1得-元=1，即6=-20， y=ax2+bx-1的最大值为4， .顶点坐标为(1,4)， 将x=1代入y=ax2+bx-1得a+b-1=4, 将b=-2a代入a+b-1=4得a=-5,b=10, ∴.抛物线的表达式为y=-5x2+10x-1. 又该函数的图象向右平移3个单位长度， ∴.新的二次函数的表达式为y=-5(x-3)2+10(x -3)-1, 整理得新的二次函数的表达式为y=-5x2+40x-76; (3)由抛物线的对称轴得十=1，变形可得，= 2 2-x1,代人0<x2-2x1<1中，得0<2-x1-2x1< 1,解得<x<号 :x2和x1是方程ax2+bx-1=0的两个根，把x1代 入方程得ax足+bx1-1=0, 又b=-2a,则ax-2ax1-1=0,整理可得a 1 2-2x1 令：=-2=(x-1)2-1,写<名<号， 当%=时=（兮-12-1号-1= 9 浙江新中考 娄 当号时=（号-2-1-g-1-8 ~在}<名<号这个范围内，：=号-2x随自变量 的增大而减小-8<-2，<-多， 则-号-号 9 9 4.(1)解：将y=a(x-1)(x+2)展开得y=a(x2+x 2)=a+ax-2,根据顶点坐标公式-六-宁 1 4c-84如x(2a）-d-2, 4a 4a 顶点坐标为（一分，学； (2)解：函数图象向上平移3个单位长度后，函数表 达式变为y=ax2+ax-2a+3. 平移后的函数图象经过点(0，-3)， 重 ∴.-3=-2a+3,解得a=3,∴.原二次函数表达式 题 为y=3(x-1)(x+2)=3x2+3x-6; (3)证明略 题型四圆性质的综合题 镜 课时一圆与直角三角形 例证明略 变式1证明略。 变式2解：如解图，延长BF交CD于点G, 由题意得∠EAD=∠BCG=45°，∠AED=∠CBG, .△AED∽△CBG, …8=花3 CG CB 2 易得AD=CD=BD=√2， 6c-号22 3， 0 :6m=gD=号 由题意得CD⊥AB, 变式2题解图 BG=BD +CDF25 3 CO6 L DBG=BD310 BG10, ·BF=V2 x cosLDBG=35 5 变式3证明略， 变式4解：如解图1，连接E0,F0, 在E0上取一点G使得G0=1, 连接FG. D AC=BC=2√2，BC为⊙0的 E G 直径，∴.C0=B0=F0=2,AB =√AC2+BC=4. 0 E为AC的中点， ∴.EO为△ABC的中位线， 变式4题解图1 学参考答案 33 80=38=2,0-80=点，∠B0F=L0c, △B0F△Foc0-品-， A+号EF=A+PG 如解图2，过点G作GM⊥AC, GN⊥BC,连接AG. ∠ACB=90°， ∴.四边形CMGW为矩形 当点A,F,G共线时取到最小变式4题解图2 值，即为AG的长 ∠G0N=45°， 6N=0N-c0-9.cw=MG= 2 2 重 :Mc=GN-竖AM-32 2 .AG=√MG2+AM=√5， 型 ∴AF+号F的最小值为5 变式5证明略。 针对训练 1.解：(1)如解图1，连接0P, 设∠BOP的度数为n°. AB=6,BP长为T, 0 2=T, .n=60,即∠B0P=60, B C D ·.∠BAP=30° 第1题解图1 :直线l是⊙0的切线，∴.∠ABC=90°， .BC=tan30°·AB=2√3； (2)如解图2，连接BQ,过点C作CF⊥AD于点F, B C 第1题解图2 AB为⊙0直径，∴.∠BQA=90°， esLB40-8-子 BP=PQ,.∠BAC=∠DAC. .·CF⊥AD,AB⊥BC,.CF=BC. .·∠BAQ+∠ADB=90°，∠FCD+∠ADB=90°， FCD=LBAQ,cosLFCD=cos LBAQ= CD=4心cD=4 (3)照=10 BP 4 34 浙江新中考娄 2.(1)解：线段FC和OE的数量关系为FC=OE,位置 关系为OE⊥FC,理由略； (2)①证明略； ②解：过点C作CH⊥PB于点H,如解图， 由①知LBAF=∠EAC. EA =EP, B ∴.∠EAC=∠P .∠BAF=∠P sin L BAF=10 10, sin P=10 第2题解图 10 动上Mr器=0， .设BF=√10k,则AF=10k, .AB=√AF2-BF产=31Ok PF-BF=7,.PF=7+√10k, .PB=PF+BF=7+2√I0k. 血P份30-， PA 10 .PA=30k, .PB=√PA2-AB2=9√10k=7+2√10k, 8F-1.AF-VIO.AB-3,PF-8.P8 PF+BF=9. LEFC=∠EAC,.∠EFC=∠P,∴.CF=CP CHPBPHFHPF=4. ·∠EFC=∠EAC=∠BAF,∠CHF=∠B=90°， FH AB 3 △CFH∽△FAB,.CF=AF=√而' cF-diD.cP-cFo 1=0=0×8=3v而， .AC=PA-PC=5/10 3 sin CAE=sinL BAF=10CE 10 AC .CE-A-AG-E5. .EP EA =5. 3.(1)证明略. (2)①证明略 ②解：为定值216 251 由勾股定理可知BC=√62+82=10， 由等面积法可知AG=4B·AC=6×824 BC 10=5 学 参考答案 过点F作FH⊥BE于点H,连接BF,EF,如解图， 第3题解图 设BF=x, 由AF为直径知LABF=90°，∠BAF=∠BEF, tam∠BEF=tan∠BAF=BF=x AB=6, 能若则-亚 xx 6 sin C=4B-3 BC=3,且LC=LBAP=∠HBR, 如LBP=血C=子， 故F=3 6+3 ,H= 6“子号即m为定号 Swe +SaueAGGAG GE-AG 为定值9 4.证明略。 课时二 圆与内接四边形 例证明略 变式1解：如解图，过点A作AF⊥BC于点F AB=AC, ∴AF与BD的交点即为圆心O. BE=5,DE=2, 0=0D=8D= 7 2 0E-是 BD是⊙O的直径， 变式1题解图 ∴.∠BCD=90° ∠AFC=∠BCD=90°，∴.AF∥DC, ∴.∠OAE=∠ACD. 又.'∠ACD=∠ABD,.∠ABD=∠OAE, 六△ABE∽△0AE,Ag=0E BE AE 能=vE0E-5×亭-0 2 变式2解：如解图，延长AD与BC的延长线交于点 F,过点A作AG⊥BC于点G AB=AC,BC=10, .∴A,O,G三点共线，BG=CG=5.由题意知，△ABG ∽△BCE△ADE 浙江新中考 AB=5√5，.BE=4N5, CE=2√5，AE=3V5,DE= 0-w 2, 设∠BAG=a, AB=AC,.∠BAG=∠CAG 变式2题解图 =0. .·∠ADB=∠ACB=90°-， ∴.∠DAE=∠CBE=a,∠ABD=∠ACD=90°-2a, ∠BFD=∠ACB-∠CAF=90°-2a, 3,CF=25 ·△ACD∽△BFD,易得BF= SAAGD AC2 945 8A=6r=125×302527 ··BC I00.3△ACD≥a SAm-BF-55-ii心SAn 3 变式3证明略. 变式4证明略. 针对训练 轮重难题型培优 1.(1)证明略. (2)解：CE=3,.DC=CE=3, 设FC=x,则AF=FE=CF+CE=x+3, 在Rt△AFC中，AF2=CF2+AC2, (+3)炉=2+4=石0F-名 6 ·DF=DC-CF=3-2=1CF_67 6=6心0F=1= 6 (3)解：如解图所示，连接FB, .·AB为⊙O的直径， .∠AEB=90°， .∠AEF+∠FEB=90°，∠FAE +∠G=90°. ∠FAE=∠FEA, .∠G=∠FEG, .FG=FE=AF. 第1题解图 :点B为EG的中点， ∴.BG=BE,FB是△AGE的中位线， .FB//AE.FB-AE, .∠FBE=∠AEB=90°，△FCB△ECA, 小瓷-器=分设0=， AB⊥DE,DC=CE=2a, .AF=FE=FC+CE =3a,DF DC-FC=a, .AC=√AF2-FC=22a, 之tan∠cAE=Cg=2a=气/ AC 22a B..tan L FDB=tn L CAE= 2 学 参考答案 35题型四 圆性质的综合题 (2025.16,3分、2024.24,12分) 知识储备++++++士 圆性质的综合问题解题思路 1.定条件：找出题干中圆的关键信息（如直径、切线、弧、圆内接等相关信息）； 2.定目标：明确所求（如线段长度、角度、证明线段数量关系等），反向推导需要什么条件； 3.找性质：根据条件匹配圆的核心性质（如直径→圆周角定理，切线→切线垂直于过切点的半径）； 4.找关系：将圆的性质与其他几何知识关联（圆周角相等→相似三角形，垂径定理→勾股定理列方程）： 5.找辅助线：若现有条件无法关联，通过辅助线补全图形（如连半径、作弦心距等） 课时一圆与直角三角形 例【一题多解】如图，在△ABC中，∠ACB=900,AC=BC2,以CB为直径的⊙Q 解题突破点 交AB于点D,连接A0,过点C作CE LAO,垂足为E,连接BE,DE.求证： 定性/定量分析图形基本 AE·CE=BE2. 结构 序定性/ 等价条件 号定量 AC为⊙0的 ①定量 切线 △ACB为等腰 例题图 ②定量 从角的方面出发展开变式： 直角三角形 变式1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.以CB为直径的⊙0交AB于点 ∠CDB=90°， D,连接AO,过点C作CE⊥AO,垂足为E,连接BE,DE.求证：∠DEB=90° ③定性 关联①②： AD =DB ④定量△CE0∽△AC0 逆向分析 由结论出发，易知需 要借助相似三角形完成 从求线段长度出发展开变式： 变式1题图 证明.其中，相似三角形 需要包含AE,CE,BE或 变式2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,以CB为直径的⊙0交AB于点者与之存在关联的线段. D,连接CD.延长AC至点E,连接DE,过点B作BF⊥DE,垂足为F.若AC=2, 结合图形结构，可以猜想 CE=1,求BF的长 到将上述问题转化为求 证△BCE∽△ABE. E 变式2题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 25 从中点结构出发展开变式： 做题笔记 变式3如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,以CB为直径的⊙O交AB于点 D.过点B作AB的垂线交⊙O于点E,连接AE.作BD的中点F,连接CF.求证： AE=2CF,AE⊥CF E 变式3题图 从求线段和最值出发展开变式： 变式4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.以CB为直径的⊙0交AB于点 D.取AC中点E,点F是弧CD上一动点，连接AF,EF.已知AC=22.求AF+ 子的最小值 变式4题图 从求面积比值出发展开变式： 变式5如图，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D,点F是下 半圆上一点，连接AF,连接DF交⊙O于点G,交AB于点H.若∠BAF= 2LBDF,AH=3GH,求证：=号 变式5题图 26 浙江新中考数学二轮重难题型培优 》 针对训练 1.(2023台州中考)我们可以通过中心投影的方法 2.(2025杭州滨江区二模)在△ABP中，∠B=90°， 建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上 点C在斜边AP上，以AC为直径的⊙O交BP于 点的位置刻画圆上点的位置.如图，AB是⊙0的 点E,F,连接FC. 直径，直线1是⊙0的切线，B为切点.P,Q是圆上 (1)如图1，若EC和EF所对的圆心角为30°，连接 两点（不与，点A重合，且在直径AB的同侧），分别 OE,请判断线段FC和OE的数量关系和位置关 作射线AP,AQ交直线I于点C,点D. 系，并说明理由； (1)如图1，当AB=6,弧BP长为T时，求BC (2)如图2，连接AE,AF,EC. 的长； ①求证：AB·AC=AE·AF; （2)如图2，当器=m-0时，求部值： 2若EM=P,in L.BAF=0PP-BF=7,求 (3)如图3，当m∠B40-年，BC=CD时，连接 EP的长. B即，PO,直接写出部的值 0 图1 图2 第2题图 图1 图2 0. B 图3 第1题图 浙江新中考数学二轮重难题型培优 27 3.（2025台州校级模拟)如图，在Rt△ABC中，4.(2025杭州校级模拟)如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，AC=8,AB=6,D是AC边上的动点， ∠ACB=90°，AC=BC,点D,E在AB上，且 过点B,A,D作⊙O,交BC于点E,过点A作AG⊥ ∠ECD=45. BE交BC于点G. (1)如图1，若CD=CE,求证：AD=AC; （1)如图1，连接0E,求证：6低 (2)如图2，作△CDE的外接圆分别交AC,BC于 点F,G,连接DF,FG (2)如图2，AF是⊙0的直径，连接FG,AE. ①求证：CD=DF; ①求证：∠EAF=∠C: ②求证：AF+BG=FG. ②若圆心O满足在AG左侧时，记△AFG与△AEG 的面积之和为k,则是否为定值？若是，请写出 求解过程；若不是，请说明理由， 图1 图2 0 第4题图 G 图1 图2 第3题图 28 浙江新中考数学二轮重难题型培优