3.课时四 对称性下的参数求取值范围-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优

课时四对称性下的参数求取值范围 知识储备+++++++十++++十++十++十++++十++++++++++++十+++ 对称性下的参数取值范围求解解题思路 1.定对称轴：根据函数解析式，明确对称轴； 2.定开口方向：由a的符号判断开口方向(a>0,开口向上，顶点为最小值，a<0,开口向下，顶点为最大 值)，同时决定函数在不同取值范围内的增减性； 3.定“关键区间”点：明确题目中的限制条件； 4.找对称关系：用对称性关联点，通过对称点与区间的位置（分类讨论），判断函数值的大小； 5.列不等式（组）求解：结合开口方向、增减性和题目中的关键条件列不等式（组）. 类型对称轴确定 例1在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a2+2ax+3(a≠0)经 解题突破点 过点B(x1,y1)和C(x2,y2).若对于1<x1<3,x2=2a,都有y1<y2,求a 画图区 的取值范围。 三要素：a未知，开口方向需讨论， 对称轴为直线x=-1, 与y轴交于(0,3) a>0 a<0 2 x=-1出 3 变式1-1在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2+2ax+3(a< 0)经过点A(x1,y1)和B(x2,y2).若对x1=-1-a,x2=2a,都满足y1< 做题笔记 ,求证：3写<-a+3<4 变式1-2已知抛物线y=ax2+2ax+3与x轴的交点分别为(x1,0), (x2,0),且x1<x2·若0<x2-2x1<1,分别求出x1和a的取值范围， 20 浙江新中考数学二轮重难题型培优 类型2对称轴含参 例2【一题多解】在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+2mx-m+2解题突破点 (m是常数).若点A(-1,y1),B(-m+2,y2)在该函数图象上，且y1< 画图区 y2,求m的取值范围. 三要素：a=1>0,开口方向向上， 对称轴为直线x=一m, 与y轴交点坐标为(0,2-m) m<2 m=2 x=-my x=-my 2-四 2-四 m>2 变式2-1在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+2mx-m+2(m是 常数).若点A(n,y1),B(-m,y2)都在该函数图象上，点A不与点B重 2- 合，比较y1,y2的大小. 做题笔记 变式2-2在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+2mx-m+2(m是 常数).若函数图象经过点(-1，y1),(1,y2),求证：y1y2≤12。 浙江新中考数学二轮重难题型培优 21 变式2-3在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+2mx-m+2(m是 做题笔记 常数).若二次函数的图象经过点(n,y1),（(n+3,y2),求当y1<y2时， m+n的取值范围. 变式2-4在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+2mx-m+2(m是 常数).若函数图象经过A(x1y1）,B(x2,y2)两点，其中x1+x2=3,且当 x1<x2时，总有y1>y2,求m的取值范围. 变式2-5在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+2mx-m+2(m是 常数).若点A(x1,y1),点B(2-3m,y2)都在抛物线上，其中m-3≤ x,≤m+1,且y1<y2,求m的取值范围. 22 浙江新中考数学二轮重难题型培优 》 针对训练 《 1.（2025杭州校级三模)在平面直角坐标系x0y中， 2.(2025杭州钱塘区一模)已知二次函数y=x2+ 抛物线y=x2-2mx+m2与y轴交于点A,过点A 2x+t-3(t为常数)的图象经过y=-x2+2x的 作直线l垂直于y轴， 图象顶点. (1)求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） (1)求t的值； (2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线1翻折，其 (2)若二次函数y=x2+2tx+t-3的图象经过点 余部分保持不变，形成图形G.M(x1,y1),N(x2, (m+1,n+1),求n的最小值； y2)为图形G上的两点 (3)若二次函数y=x2+2tx+t-3在-3≤x≤m ①当m=0时，若x1<x2,判断y1与y2的大小关系， 时，-3≤y≤1，求m的取值范围. 并说明理由； ②若对于x1=1,x2=2,都有y1>y2,直接写出m 的取值范围。 浙江新中考数学二轮重难题型培优 23 3.(2025杭州滨江区二模)已知二次函数y=ax2+4.(2025杭州萧山区一模)已知二次函数y=a(x- bx-1(a<0)的图象经过点A(2,-1). 1)(x+2)(a≠0). (1)求二次函数图象的对称轴； (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)若y=ax2+bx-1的最大值为4，将该函数的 (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后 图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数 经过点(0，-3)，求该二次函数的表达式； 图象，求此新的二次函数的表达式； (3)若a<0,A(x1,m)和B(x2,n)是该二次函数图 (3)设y=ax2+bx-1的图象与x轴的交点分别为 象上任意两点，对x1=-1-a,x2=2a,都满足m< (x1,0),(x2,0),且x1<x2.若0<x2-2x1<1,分别 m,求证：y<圣 求出x,和a的取值范围. 24 浙江新中考数学二轮重难题型培优y=-x2+(2n+2)x+4. 将P(n,a)和M(-3,b)代入，得 a=-n2+(2n+2)n+4=n2+2n+4, b=-9-3(2n+2)+4=-6n-11. f-6n-11≥4 4≤b<a,. ln2+2n+4>-6n-11 解得 n≤-2 ln<-5或n>-3 综上所述，的最大值为-子 课时四对称性下的参数求取值范围 例1解：抛物线的对称轴为直线x=会-1， ①当a>0时，对于1<x1<3,x2=2a,都有y1<y2, ∴.B(x1,y1)和C(x2,y2)都在对称轴右侧. 重 在对称轴的右侧，y随x增大而增大， 3≤2a≥2： 型 ②当a<0时，1<x1<3,∴B(x1,y1)在对称轴右侧. ·抛物线的对称轴为直线x=-1, .B(x1,y1)关于对称轴的对称点为(-2-x1,y1), .-5<-2-x1<-3. :对于1<x1<3,x2=2a,都有y1<y2, 3 2a≥-3，.-2≤a<0: 3 综上，-2≤a<0或a 2 变式1-1证明略. 变式1-2解：二次函数图象的对称轴为直线x= -1,由抛物线的对称轴得十名=-1，变形可得 2 x2=-2-x1, 代人0<x2-2x1<1中，得0<-2-x1-2x1<1, 解得-1<名<-子 :x2和x1是方程ax2+2ax+3=0的两个根，把x 代入方程得ax+2ax1+3=0, 整理可得a=+2x -3 令=+2=(+1)2-1，-1<5-号， 当x1=-1时，z=(-1+1)2-1=-1, 当5=-子时=(-号+10-1=)-1-8 ~在-1<x<-子这个范围内2=片+2随自变 量的增大而增大， 1 气1<￡+2<-&则8+26 -< 9 27 32 浙江新中考 例2解法一：由条件可知二次函数图象开口向上，对 称轴为直线x=-m, 则点B(-m+2,y2)在对称轴右侧， y1<y2,.存在如下情况： ①当-m<-1,即m>1时，-1<-m+2, 解得m<3,∴.1<m<3; ②当-m≥-1，即m≤1时，-m+2-（-m)>-m -（-1),解得m>-1,.-1<m≤1. 综上，m的取值范围为-1<m<3; 解法二：函数y=x2+2mx-m+2的图象经过点 A(-1,y1),B(-m+2,y2), .y1=1-2m-m+2=-3m+3,y2=-m2-m+6. y1<y2.y1-y2<0, ∴y1-y2=(-3m+3)-（-m2-m+6)=m2-2m -3<0,.-1<m<3. 变式2-1解：由条件可知二次函数图象开口向上， 对称轴为直线x=-m. B(-m,y2), .点B为抛物线的顶点，函数值最小，∴y1>y2 变式2-2证明略. 变式2-3解：函数y=x2+2mx-m+2的图象经 过点(n,y1),(n+3,y2), ∴.y1=n2+2mn-m+2,y2=(n+3)2+2m(n+3)- m+2=n2+6n+9+2mm+6m-m+2. :y1<y2,.y1-y2=(n2+2mn-m+2)-(n2+6n +9+2mn+6m-m+2)=-6n-6m-9<0, ,.m+n>-1.5. 变式2-4解：将A,B两点坐标代入函数表达式得， y1=x号+2mx1-m+2,y2=x号+2mx2-m+2, 两式相减得y1-y2=x-x号+2m(x1-x2)=(x1+x2+ 2m)(x1-x2). 又x1+2=3,∴.y1-y2=(2m+3)(x1-x2). 又：当x1<x2时，总有y1>y2,.2m+3<0, 解得m<一多m的取值范同是m<-多 变式2-5解：由条件可知二次函数图象开口向上， 对称轴为直线x=-m. 设点A(x1,y1)关于对称轴的对称点为(，y1), 则-3m-1≤x≤-3m+3. :点B(2-3m,y2)也在抛物线上，且y1<y2, 2-3m<m-3或2-3m>-3m+3,m>4 5 针对训练 1上据：(1)对称销为直线=六2=m (2)①y1>y2,理由略； ②m的取值范围为m<2 3 2.解：(1)根据y=-x2+2x=-（x-1)2+1,可得其 顶点坐标为(1,1)，把(1,1)代人二次函数y=x2+ 2tx+t-3中，可得1=1+2t+t-3,解得t=1; 学参考答案 (2)由(1)知t=1,故二次函数的解析式为y=x2+ 2x-2, 又：y=x2+2x-2的图象经过点(m+1,n+1), ∴.n+1=(m+1)2+2(m+1)-2,整理可得n= m2+4m=(m+2)2-4, 故n是m的二次函数，n的最小值为-4； (3)对于二次函数y=x2+2x-2=（x+1)2-3,其 对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1，-3)， 令y=-3,此时可得x2+2x-2=-3,解得x1= x2=-1;令y=1,此时可得x2+2x-2=1,解得x1= -3,x2=1, 画出大致图象如解图， -y=-3 x=-1 第2题解图 由于在-3≤x≤m时，-3≤y≤1， 故m的取值范围为-1≤m≤1. 3.解：(1)将A(2,-1)代入y=ax2+bx-1得-1= 4a+26-1,整理得-元=1， ∴.二次函数图象的对称轴为直线x=1; (2)（1得-元=1，即6=-20， y=ax2+bx-1的最大值为4， .顶点坐标为(1,4)， 将x=1代入y=ax2+bx-1得a+b-1=4, 将b=-2a代入a+b-1=4得a=-5,b=10, ∴.抛物线的表达式为y=-5x2+10x-1. 又该函数的图象向右平移3个单位长度， ∴.新的二次函数的表达式为y=-5(x-3)2+10(x -3)-1, 整理得新的二次函数的表达式为y=-5x2+40x-76; (3)由抛物线的对称轴得十=1，变形可得，= 2 2-x1,代人0<x2-2x1<1中，得0<2-x1-2x1< 1,解得<x<号 :x2和x1是方程ax2+bx-1=0的两个根，把x1代 入方程得ax足+bx1-1=0, 又b=-2a,则ax-2ax1-1=0,整理可得a 1 2-2x1 令：=-2=(x-1)2-1,写<名<号， 当%=时=（兮-12-1号-1= 9 浙江新中考 娄 当号时=（号-2-1-g-1-8 ~在}<名<号这个范围内，：=号-2x随自变量 的增大而减小-8<-2，<-多， 则-号-号 9 9 4.(1)解：将y=a(x-1)(x+2)展开得y=a(x2+x 2)=a+ax-2,根据顶点坐标公式-六-宁 1 4c-84如x(2a）-d-2, 4a 4a 顶点坐标为（一分，学； (2)解：函数图象向上平移3个单位长度后，函数表 达式变为y=ax2+ax-2a+3. 平移后的函数图象经过点(0，-3)， 重 ∴.-3=-2a+3,解得a=3,∴.原二次函数表达式 题 为y=3(x-1)(x+2)=3x2+3x-6; (3)证明略 题型四圆性质的综合题 镜 课时一圆与直角三角形 例证明略 变式1证明略。 变式2解：如解图，延长BF交CD于点G, 由题意得∠EAD=∠BCG=45°，∠AED=∠CBG, .△AED∽△CBG, …8=花3 CG CB 2 易得AD=CD=BD=√2， 6c-号22 3， 0 :6m=gD=号 由题意得CD⊥AB, 变式2题解图 BG=BD +CDF25 3 CO6 L DBG=BD310 BG10, ·BF=V2 x cosLDBG=35 5 变式3证明略， 变式4解：如解图1，连接E0,F0, 在E0上取一点G使得G0=1, 连接FG. D AC=BC=2√2，BC为⊙0的 E G 直径，∴.C0=B0=F0=2,AB =√AC2+BC=4. 0 E为AC的中点， ∴.EO为△ABC的中位线， 变式4题解图1 学参考答案 33