3.1.2椭圆的几何性质导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第 1 课时　椭圆的简单几何性质 【学习目标】1. 掌握椭圆的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等，能根据几何性质求椭圆的标准方程. 2. 掌握离心率及离心率取值范围的求法. 3.运用方程研究曲线几何性质的思想方法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算能力. 【学习重难点】重点：椭圆的几何性质. 难点：几何性质的简单应用. 【知识梳理】 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点 顶点 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ . 焦点 焦距 ＝ . 离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用表示，即. (2)性质：离心率的范围是 ．当越接近于时，椭圆越扁平；当越接近于时，椭圆就越接近于圆 说明：根据方程可以判断对应曲线的对称性，用换方程中的，方程不变，则曲线关于 轴对称；用换方程中的，方程不变，则曲线关于 轴对称；用同时换方程中的，方程不变，则曲线关于 对称. 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆的长轴长是.(　 ) (2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为，则椭圆的方程为.(　 ) (3)设为椭圆的一个焦点，为其上任一点，则的最大值为 (为椭圆的半焦距)．(　 ) 2．若椭圆的离心率为，则的值为(　 ) A. B． C. D. 3．若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程为 .　　 【典例分析】 例1、设椭圆方程的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，长轴长是，离心率是； (2)在轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为. (3)过点，离心率. 变式、求过点，且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程． 例3、已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为________． 变式1、已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆短轴的一个端点，且为直角，则椭圆的离心率为________． 变式2、已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆的上顶点，点在椭圆上且满足，则椭圆的离心率为________． 变式3、已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆短轴的一个端点，且为钝角，则椭圆的离心率取值范围为________． 拓展、过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过的左焦点和上顶点．若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是________． 例4、已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为， 分别是椭圆的长轴、短轴的一个端点，且点到直线的距离为. (1) 求椭圆的方程； (2)若点，设是椭圆上的两个动点，且满足，求的最小值． 【当堂训练】 1.已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则=(　　) A．　　　　　　　　B． C． D． 2．已知椭圆的短轴长与焦距相等，则离心率为______. 3.设椭圆的两个焦点分别为，过点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________；若为等边三角形，则椭圆的离心率为________；若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为________. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第 1 课时　椭圆的简单几何性质 【学习目标】 1. 掌握椭圆的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等，能根据几何性质求椭圆的标准方程. 2. 掌握离心率及离心率取值范围的求法. 3. 感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算能力. 【学习重难点】重点：椭圆的几何性质. 难点：几何性质的简单应用. 【知识梳理】 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即e＝. (2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁平；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆 说明：1.离心率反映椭圆的圆扁程度，取值范围是 ，离心率越接近1，则椭圆越 ；离心率越接近0，则椭圆越 . 2.根据方程可以判断对应曲线的对称性，用-x换方程中的x，方程不变，则曲线关于 轴对称；用-y换方程中的y，方程不变，则曲线关于 轴对称；用-x,-y同时换方程中的x,y，方程不变，则曲线关于 对称. 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　 ) (2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(　 ) (3)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　 (3)√ 2．若椭圆x2＋2y2＝1的离心率为e，则e的值为(　 ) A. B．2 C. D. 解析：选C　由题意得椭圆长半轴长a＝1，短半轴长b＝，所以半焦距c＝＝，所以离心率e＝＝＝，故选C. 3．若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为10，焦距为6，则椭圆的方程为 .　　 +=1或+=1【解析】椭圆的对称轴是坐标轴,长轴长为10,焦距为6,可得a=5,c=3,则b==4,所以椭圆的方程为+=1或+=1. 【典例分析】 例1、设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解　椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， 解得m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． 例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x轴上，长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. (3)过点(3,0)，离心率e＝. 解：(1)焦点在x轴上，故设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知得，2a＝10，a＝5，e＝＝，故c＝4, 故b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故椭圆的方程是＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1，a＞b＞0， ∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示， ∴△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18. 故所求椭圆的方程为＋＝1. (3)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得a＝3， 因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得b＝3， 因为e＝， 所以＝， 把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 变式、求过点M(1,2)，且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程． 【解】 方法一：椭圆＋＝1的离心率为e＝＝，则a2＝2b2，设所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.将M(1,2)代入椭圆方程，得b2＝或b2=3，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 方法二：设所求的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)．将点M的坐标代入得k1＝，k2＝，故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 例3、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________． 解析：由题意可知|PF1|＝|PF2|＝＝＝a，|F1F2|＝2c.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1PF2，化简得4c2＝a2，则e2＝，所以e＝. 答案： 变式1、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且∠F1PF2为直角，则椭圆的离心率为________． 解：因为∠F1PF2为直角，所以△F1PF2为等腰直角三角形，所以b＝c，所以a＝＝＝c，所以离心率为e＝＝＝. 变式2、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆的上顶点，点Q在椭圆上且满足＝3，则椭圆的离心率为________． 解：由题意P(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.设Q(x0，y0)，由＝3，得(c，b)＝3(x0－c，y0)，即代入椭圆方程得＋＝1，解得离心率e＝. 变式3、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且∠F1PF2为钝角，则椭圆的离心率取值范围为________． 解：由题意，知c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2，∴e2＝>，∴e>，又0<e<1，∴椭圆离心率的取值范围为. 拓展、过椭圆C：的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________． 【解析】 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－c y＋b c＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0).根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤ ，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤. 例4、已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为， A, B分别是椭圆C的长轴、短轴的一个端点，且点O到直线AB的距离为. (1) 求椭圆C的方程； (2)若点E(3,0)，设P,Q是椭圆C上的两个动点，且满足EP⊥EQ，求·的最小值． 【解】 (1) 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得所以椭圆C的方程为＋＝1. (2) 因为EP⊥EQ，所以·＝·(－)＝||2.设点P(x0, y0)，则x＋4y＝36，所以·＝(x0－3)2＋y＝(x0－4)2＋6.又因为－6≤x0≤6，所以当x0＝4时，·的最小值为6. 【当堂训练】 1.已知椭圆的长轴在y轴上，且焦距为4，则m=(　　) A．5　　　　　　　　B．6 C．9 D．10 C 【解析】 由椭圆＋＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得＝2，解得m＝9. 故选C. 2．已知椭圆C 的短轴长与焦距相等，则离心率e为(　　) A. B. C. D. 　B【解析】　设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c.由题意可得，2b＝2c，∴b＝c，∴a＝＝b，∴e＝＝＝.故选B. 3. 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线，交椭圆于点P，Q，若△F1PQ为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________；若△F1PQ为等边三角形，则椭圆的离心率为________；若△F1PQ为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为________. 【解】 (1) 方法一：设椭圆方程为＋＝1.依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，将x=c代入方程，可得PF2=，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0.又0<e<1，解得e＝－1. 方法二：设椭圆方程为＋＝1.依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|=2c, 则|PF1|=2c.因为|PF2|+|PF1|=2a, 则2c+2c=2a, 解得e＝－1. （2）设椭圆方程为＋＝1.依题意，显然有|PF2|＝tan30°·|F1F2|=, 则|PF1|=.因为PF2+PF1=2a, 解得e＝. （3）设椭圆方程为＋＝1.依题意，显然有PF2<F1F2，将x=c代入方程可得PF2=， 则<2c，即<2c，即e2＋2e－1>0.又0<e<1，解得－1<e<1. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $