3.1.2 椭圆的简单几何性质练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 练习 一、单选题 1．过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 2．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 4．已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆，若的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 8．设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 10．已知椭圆，下列说法正确的有（   ） A．焦点坐标分别是、 B．椭圆长轴长为 C．椭圆上的点的横坐标的范围是 D．椭圆离心率为 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的左、右焦点分别为，．过原点的直线在第一象限与椭圆，分别交于，两点，则（   ） A．椭圆的离心率相等 B．椭圆的长轴长与椭圆的焦距相等 C． D． 三、填空题 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．若椭圆上存在点P，使得，该离心率的取值范围是 ． 13．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是 . 14．若椭圆的方程为，且椭圆的一个焦点为，则实数 四、解答题 15．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，延长，分别与椭圆交于、两点，直线的斜率为，求的值. 16．已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围. 17．已知椭圆：，点是椭圆的右顶点，点，． (1)若椭圆的右焦点为，求椭圆的离心率； (2)已知，点是椭圆上一点，且满足，求的值； (3)若直线的中垂线的斜率为2，与椭圆交于，，且为钝角，求的取值范围． 18．已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 《3.1.2 椭圆的简单几何性质 练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A B A D C BC BD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据方程及a，b，c的关系，可得c值，不妨设l过右焦点，可得A，B点的横坐标，代入椭圆方程，可得纵坐标，即可得答案, 【详解】根据椭圆方程可得，则，解得 不妨设l过右焦点，A点在第一象限，则， 代入椭圆方程可得， 所以 故选：D. 2．B 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 3．D 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 4．A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 5．B 【分析】椭圆的左焦点为，求出椭圆的两个焦点的坐标，根据椭圆定义得，结合得，根据几何关系求出的范围，从而可得到一个不等式组，进行求解可得m的一个范围；再根据A在椭圆内可得m的另外一个范围；综合两个范围即可得到答案． 【详解】设椭圆的左焦点为， 因，则，则，则，， 由椭圆的定义可知，，∴， ∴，∴， ∵， ∴，当三点共线时，等号成立， ∵椭圆上存在一点，使得， ∴，解得， 又∵点为椭圆内一点， ∴，解得或， 综上可得的取值范围为， 故选：B． 6．A 【分析】根据椭圆性质，可得，，，进而可得，，在中，结合余弦定理，可得，即可求得其离心率. 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以在中，，， 又在椭圆中，，所以， 由余弦定理，可得， 即，化简得， 解得，即. 故选：A 7．D 【分析】由离心率公式和的关系即可计算求解. 【详解】由题得的离心率， 所以. 故选：D 8．C 【分析】设，求得，根据椭圆的离心率为，求得，再由斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 9．BC 【分析】通过椭圆的标准方程得到的值，求解离心率、焦距、长轴长和短轴长，即可判断各个选项. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆M的离心率，椭圆N的离心率，A错误； 对于B，椭圆M与N的焦距长都为，相等，B正确； 对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，C正确； 对于D，椭圆M的短轴长不是N的短轴长的两倍，D错误. 故选：BC. 10．BD 【分析】求出椭圆的焦点坐标，可判断A选项的正误；求出椭圆的长轴长，可判断B选项的正误；求出椭圆上的点的横坐标的取值范围，可得判断C选项的正误；求出椭圆的离心率，可判断D选项的正误. 【详解】对于椭圆，，，. 对于A选项，椭圆的焦点坐标为、，A选项错误； 对于B选项，椭圆的长轴长为，B选项正确； 对于C选项，椭圆上的点的横坐标的范围是，C选项错误； 对于D选项，椭圆离心率为，D选项正确. 故选：BD. 11．ABD 【分析】对于A，由椭圆的离心率计算公式即可判断；对于B，由椭圆的标准方程解得长轴长与焦距即可判断；对于C，设出直线，分别与椭圆联立，求出交点， 利用两点间距离公式即可求解判断；对于D，由证得，得到，同理可得，最后由两个三角形中的三个角分别相等即可证得相似. 【详解】 对于A：设椭圆，的离心率分别为，由椭圆离心率公式可知， ，，故A正确； 对于B：由题可知，椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，故B正确； 对于C：设直线，联立方程， 得，得，故； 联立方程，得，解得， 故， 因此，故C错误； 对于D：易知，椭圆的焦距，椭圆的焦距，故，则. ， ，因此有，即. 同理可证得，即， 因此可得. ， ，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】先利用椭圆定义，结合，用，表示，，再将表示后的焦半径代入或，得到关于的不等式，最后结合椭圆离心率，取交集得最终范围. 【详解】因为，且，代入得： ，，即， 则：， 因为椭圆上的点到焦点的距离范围为（，且）， 则的范围：，将代入， 两边同时除以得： 该不等式可拆分为和， 当时：因 ，，且 ，故该不等式恒成立， 当时，得，解得（负根舍去）， 结合椭圆离心率，可得. 所以离心率的取值范围：. 故答案为：. 13． 【分析】设出的坐标，将向量数量积运算转化为坐标运算，根据的坐标满足椭圆方程进行化简，再根据的范围可求的最小值. 【详解】设，因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，此时， 故答案为：. 14．4 【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可. 【详解】因为是焦点在轴上的椭圆的方程，所以，所以， 由椭圆的方程可得，又， 所以，解得，符合. 故答案为:4. 15．(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的几何性质解方程组可得结果； （2）解法一：由坎迪定理可直接得到结果；解法二：平移构造曲线系可得结果；解法三：由定比点差计算可得结果. 【详解】（1）由题意可得，解得，又在椭圆中，. 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一（坎迪定理）：设椭圆左右顶点为，，交轴于，， 根据坎迪定理，可知，故； 所以，即. 解法二（曲线系）：将椭圆向左平移一个单位得：，即：， ，，， 故曲线系方程为： 即 所以系数：，常数项系数：，系数：， 即，解得， 因为系数：，所以. 解法三（定比点差）：设，，，，，，， 根据定比点差，， ， 即. 16．(1)； (2). 【分析】（1）利用已知点建立方程组求解即得. （2）设，且，利用两点间距离公式可得，再利用椭圆上的点坐标的范围即可求得. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意设，且， 由，得， 则(*)， 因，， 则， 代入(*)式，可得：， 化简得， 因，得， 即得， 故实数的取值范围是. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点，由向量关系坐标化可解得点坐标，代入椭圆方程可得；（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【详解】（1）由题意知，，所以，，所以离心率； （2）因为，所以椭圆方程为，点，设， 因为，即，解得，代入椭圆方程， 得，又由于，故解得； （3）因为直线的中垂线的斜率为2，所以直线的斜率， 所以，故点，中点坐标为， 故直线的方程为，即， 联立，得， 设，， 则有，， 因为为钝角，所以， ， 解得，故． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意椭圆焦点在轴上，，，进而根据的关系求解即可； （2）由椭圆定义得，进而根据解得，再根据得，最后计算面积即可. 【详解】（1）解：设椭圆的标准方程为， 由题意知，又因为椭圆和椭圆的离心率相同， 所以， 因为，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的长半轴，焦距， 又由椭圆的定义知，， 所以联立，即 所以，解得 因为 又因为，所以 所以的面积 学科网（北京）股份有限公司 $