3.1.2 椭圆的几何性质 教案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

包头市景泰高级中学 高二数学 教案本 包头市景泰高级中学教务处 2025 包头市景泰高级中学 数学 教案 课题 3.12椭圆的几何性质 主备教师 张海军 备课教师 数学教研组 授课时间 11.20 课时安排 4课时 教学目标 1. 通过椭圆的定义和标准方程来推导椭圆的几何性质 2. 通过椭圆的几何性质来完成具体的试题 教学重难点 1.教学重点：熟悉并掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程. 2.教学难点：利用椭圆的几何性质的来完成一些常见的试题 教学过程 任务（教师） 活动（学生） 教学反思 （一）根据椭圆的定义表达式和方程得到椭圆的性质 （二）根据椭圆的性质，并分析椭圆中的的几何意义 （三）根据椭圆的性质来研究具体的题型 知识点1：椭圆的性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 方程 定义表达式 到两定点的距离之和等于常数2，即（）。 顶点 、、 、。 、、 、。 轴长 长轴的长，短轴的长 。 焦点 、 、 离心率 焦点三角形周长 通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫通径，通径长为。 知识点2：椭圆中的几何意义 椭圆标准方程中,a、b、c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且.可借助下图帮助记忆: a、b、c恰构成一个直角三角形三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边.由图知.和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关,这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题,将有关线段、、,有关角（）结合起来,建立、之间的关系. 知识点3：几何意义的扩展 求椭圆离心率及范围的两种方法: （1） 直接法:若已知,可直接利用求解.若已知,或,可借助于求出或,再代入公式求解。 （2）方程法:若,的值不可求,则可根据条件建立,,的关系式,借助于,转化为关于,的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以的最高次幂,得到关于的方程或不等式,即可求得的值或范围。 例题分析： 一、求椭圆的焦点和焦距 1椭圆的焦距为（   ） A．8 B．6 C．5 D．10 【答案】A 【详解】由椭圆可得：，，所以，则椭圆的焦距为，故选A。 2已知椭圆的一个焦点坐标为，则 ． 【答案】1 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，则，解得，答案为1. 二、共焦点的椭圆 1与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 答：B 2 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 3、 求椭圆的离心率 1设椭圆，的离心率分别为，，若，则　　 A． B． C． D． 解：由椭圆可得，，， 椭圆的离心率为，，，， ，舍去）．故选：． 2已知原点为，椭圆与直线交于，两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 解：如图， 设，，，，则且， 两式作差，有， 故， 故，即，因此椭圆的离心率． 故选：． 四、其他题型 1已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为　　 A． B． C． D．，， 解：因为方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 所以，解得即．故选：． 2已知椭圆的长轴的顶点分别为、，点为椭圆的一个焦点，若，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 解：设长轴长为，焦距为，则，得 故选：． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 解：轴，可得的横坐标为，， ，即，化简可得， 即，，故，故选：． 限时作业 1设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 2若点在椭圆上，，分别为椭圆的左右焦点，且，则△的面积为　　 A． B．3 C．4 D．1 3若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为　　 课程总结 1本节课我们主要学习椭圆的性质 2学生们要速记椭圆的离心率，椭圆中坐标的取值范围。 3 椭圆的两个方程以及焦点在坐标轴上的分析以及具体题型的问题，以及讨论椭圆中的 板书设计 1 通过椭圆的定义和得到椭圆的方程 4 椭圆中的几种公式 2 椭圆的几何性质 5 例题1分析 3 椭圆中的意义 6 例题多种分析 学科网（北京）股份有限公司 $