3.1.1椭圆定义及标准方程的应用导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1　椭圆及其标准方程 第 2 课时　椭圆的定义及方程的应用 【学习目标】 1．进一步掌握椭圆的定义，能利用椭圆的定义解决“焦点”三角形问题． 2．能利用直接法、定义法、代入点法解决与椭圆有关的轨迹问题． 【学习重难点】重点：椭圆焦点三角形的处理. 难点：与椭圆相关的轨迹问题. 【知识梳理】 一、焦点三角形 设F1和F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的任意一点，当P，F1，F2三点不在同一条直线上时，点P，F1，F2构成一个三角形，我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形，如图所示．它们具有以下性质： (1)|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c. (2)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2. (3)当|PF1|＝|PF2|时，∠F1PF2最大． (4)焦点三角形的周长为2a＋2c. (5)S＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝b2tan. 例1、已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3， 从而|F1F2|＝2c＝6， 在△F1PF2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4， 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 变式1、已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积． 解：由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.|PF1|＋|PF2|＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|·，可得64＝100－|PF1||PF2|，得|PF1||PF2|＝，故S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝×× ＝. 变式2、已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，则△PF1F2面积的最大值为________． 解析：当|PF1|＝|PF2|时，S△PF1F2最大，此时S△PF1F2＝×2c×b＝12.故△PF1F2面积的最大值为12. 变式3、已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且∠PF1F2＝90°，求△PF1F2的面积． 解：由已知得a＝5，b＝3，c＝4，在△PF1F2中，由勾股定理知|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.即|PF2|2＝|PF1|2＋64，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝10.故(10－|PF1|)2＝|PF1|2＋64，解得|PF1|＝.故S△PF1F2＝××8＝. 拓展、已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点B(2,2)，求|PF1|＋|PB|的最大值与最小值． 解：由题易知B在椭圆内，则由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，当直线BF2与椭圆交点在x轴的上方，且P，B，F2三点共线时，|PF1|＋|PB|取得最小值，最小值为|PF1|＋|PB|＝|PF1|＋|PF2|－|BF2|＝10－|BF2|＝10－＝10－2；当直线BF2与椭圆交点在x轴的下方，且P，B，F2三点共线时，|PF1|＋|PB|取得最大值，其最大值为|PF1|＋|PB|＝|PF1|＋|PF2|＋|BF2|＝10＋|BF2|＝10＋2. 例2、（定义法）一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆内切，设切点为C.∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|， ∴|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，且2a＝6的椭圆． ∴a＝3，c＝2，b＝ ＝， ∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1. 例3、（相关点法）已知P为椭圆＋＝1上一动点，记原点为O，若＝2，则点Q的轨迹方程为________． 解析：设点Q(x，y)，由＝2得点P(2x，2y)，而点P为椭圆＋＝1上的任意一点，所以＋＝1，整理得＋＝1， 所以点Q的轨迹方程是＋＝1. 答案：＋＝1 例4、（直接法）已知△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0，－6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－，则顶点A的轨迹方程是______________． 解析：设顶点A的坐标为(x，y)，因为A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此x≠0，由题意得·＝－，化简整理，得＋＝1(x≠0)，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0)． 答案：＋＝1(x≠0) 【当堂训练】 1．已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为________． 答案　14 解析　设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，AB， 根据椭圆的对称性可得 ∠AF1B＝90°，即四边形AFBF1为矩形， 所以|BF|＝|AF1|，|AB|＝|FF1|＝2c＝2＝6， 由椭圆的定义可得|AF|＋|AF1|＝2a＝8， 所以|AF|＋|BF|＝8， 所以△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝8＋6＝14. 2. 如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程． 解：如图所示，连接MA. 由题意知点M在线段CQ上， 从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|. 又点M在AQ的垂直平分线上， 则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5>|AC|＝2. 又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5， 故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝. 故点M的轨迹方程为＋＝1. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1　椭圆及其标准方程 第 2 课时　椭圆的定义及方程的应用 【学习目标】1．进一步掌握椭圆的定义，能利用椭圆的定义解决“焦点”三角形问题． 2．能利用直接法、定义法、代入点法解决与椭圆有关的轨迹问题． 【学习重难点】重点：椭圆焦点三角形的处理. 难点：与椭圆相关的轨迹问题. 【知识梳理】 一、焦点三角形 设和是椭圆的两个焦点，为椭圆上的任意一点，当，，三点不在同一条直线上时，点，，构成一个三角形，我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形，如图所示．它们具有以下性质： (1) . (2)余弦定理构造方程. (3)当时，最大． (4)焦点三角形的周长为. (5) . 例1、已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，，求的面积． 变式1、已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，求的面积． 变式2、已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，则面积的最大值为________． 变式3、已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，求的面积． 拓展、已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，点，求的最大值与最小值． 例2、（定义法）一动圆过定点，且与定圆内切，求动圆圆心的轨迹方程． 例3、（相关点法）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为________． 例4、（直接法）已知的两个顶点坐标分别是和，边所在直线的斜率的乘积是，则顶点的轨迹方程是______________． 【当堂训练】 1．已知椭圆的左焦点为，是上关于原点对称的两点，且，则的周长为________． 2.如图，在圆内有一点．为圆上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $