3.1.1椭圆的标准方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕椭圆及其标准方程展开，核心知识点包括椭圆定义、标准方程推导及焦点位置区分。课堂导入通过细绳固定两点画轨迹的动手操作，从圆的定义自然迁移，引导学生发现椭圆动点满足的几何条件，设置三个递进式学习目标搭建自学支架，帮助学生逐步构建知识结构。 这份资料以自主探究为主线，通过动手操作培养学生几何直观（数学眼光），推导方程时引导坐标系建立与代数变形培养逻辑推理（数学思维），表格对比焦点位置强化符号意识与模型观念（数学语言）。例题与作业涵盖定义辨析、方程求解等梯度题型，助力学生深化理解，有效提升数学核心素养。

3.1.1 椭圆及其标准方程 【初建结构——自学新知】 学习目标1：会椭圆的定义 阅读课本105页，完成下列任务： 探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖。 （1） 画出的轨迹是什么曲线? （2）在这一过程中, 不变的量是什么？ 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? （3）请写出椭圆定义中的关键词。 学习目标2：会推导椭圆的标准方程 阅读课本106页---107页，完成下列任务 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ （3）将课本105页①式两边平方与②式平方的结果对比，你有什么感受？ （4） 观察右图，找出表示的线段，它们有什么关系。 （5） 写出椭圆的标准方程、焦点坐标、焦距。 学习目标3：会区分焦点在轴的椭圆 定义 焦点位置 图形 标准方程 特点 共同点 不同点 【修正结构——课堂探究】 1.椭圆定义中，①当时， ②当时，动点M轨迹分别是什么？ 2. 根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系 （1）几何法 点P在_____； 点P在_______； 点P在_______. （2）代数法 【完善结构——课堂例题】 题型一 椭圆定义的理解与辨析 1. 如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么P与另一个焦点的距离是________ 2. 如果点M（x,y）在运动过程中，总满足关系式,那么M的轨迹是什么？为什么？写出它的方程。 题型二 根据已知条件求椭圆的标准方程 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）焦点在x轴上； （2）焦点在y轴上； （3） 题型三 点与椭圆的位置关系 3.已知椭圆的焦点为，点满足，则（    ） A．点在椭圆外 B．点在椭圆内 C．点在椭圆上 D．点与椭圆的位置关系不能确定 4. 点与椭圆的位置关系为___________ 目标达成 基本达成 未 达成 学习目标评价 （请将自己的自学目标完成情况在相应目标完成评价后画“√”） 1.会椭圆的定义 2.会推导椭圆的标准方程 3.会区分焦点在轴的椭圆 【任务检索——课后作业】 1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 焦点坐标分别为，，； （2） 。 2.平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3点M与定点F（2,0）的距离和它到定直线的距离的比是1:2，求M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。 4.已知A,B两点坐标分别为，，直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 5.一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 6.经过椭圆的右焦点作垂直于的直线AB,交椭圆与A,B两点，是椭圆的左焦点。 （1） 求▲的周长； （2） 如果AB不垂直于轴，▲的周长有变化吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $