3.1.1椭圆的定义及标准方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1　椭圆及其标准方程 第 1 课时　椭圆的定义及其标准方程 【学习目标】 1.理解并掌握椭圆的定义． 2.掌握椭圆的标准方程的推导． 3.会求简单的椭圆的标准方程． 【学习重难点】重点：会求简单的椭圆的标准方程. 难点：椭圆标准方程的推导. 【知识梳理】 1. 平面内与两个定点的距离的和等于常数（ ）的动点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点. 说明：时，动点的轨迹是线段；时，动点的轨迹不存在． 2.椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 2c a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同； 不同点：焦点位置不同，方程不同 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．(　 ) (2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．(　 ) (3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．(　 ) (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4，焦距为2，则C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选D　由题设，知可得则b2＝a2－c2＝3，∴C的方程为＋＝1. 3．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为(　 ) A. B. C．(－∞，－3) D．(2，＋∞) 解析：选A　由题意可得0<3＋m<2－m，解得－3<m<－，所以m的取值范围为. 【典例分析】 例1、平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么p是q的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　当|MA|＋|MB|为定值时，若定值大于|AB|时，点M轨迹是椭圆，若定值等于|AB|，点M轨迹是线段，若定值小于|AB|，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，|MA|＋|MB|必为定值．所以pq，但q⇒p，故p为q的必要不充分条件． 变式、（多选）设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　 ) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 解析：选BC　易知a＋≥6，故选BC. 例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)一个焦点坐标为(－5,0)，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26； (2)一个焦点坐标为(0,2)，且椭圆经过点(－，)． 解：(1)由题意2a＝26，a＝13，又c＝5，所以b＝ ＝＝12， 椭圆标准方程为＋＝1. (2)由题意椭圆另一焦点为(0，－2)． 2a＝＋＝＋＝－＋＋＝4，a＝2，c＝2，所以b＝＝2，焦点在y轴上，椭圆标准方程为＋＝1. 变式、求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 解　(1)方法一　(分类讨论法)①若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. ②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 将两点(2，－)，代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)方法一、因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.① 又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1， 即＋＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二、由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ＞－9)． 又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)． 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 例3、 “2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若方程＋＝1表示椭圆，则解得2<m<6且m≠4，所以“2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 变式、已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为________． 解析：因为2c＝6，所以c＝3. ①当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知25－m2＝9，解得m＝4. ②当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知m2－25＝9，解得m＝.综上，m＝4或m＝ . 答案：4或 【当堂训练】 1. 若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B　根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7. 2．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 答案　D 解析　∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，故0<k<1. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1　椭圆及其标准方程 第 1 课时　椭圆的定义及其标准方程 【学习目标】1.理解并掌握椭圆的定义． 2.掌握椭圆的标准方程的推导． 3.会求简单的椭圆的标准方程． 【学习重难点】重点：会求简单的椭圆的标准方程. 难点：椭圆标准方程的推导. 【知识梳理】 1. 平面内与两个定点的距离的和等于常数（ ）的动点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点. 说明：时，动点的轨迹是线段；时，动点的轨迹不存在． 2.椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同； 不同点：焦点位置不同，方程不同 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知点，动点满足，则点的轨迹是椭圆．(　 ) (2)已知点，动点满足，则点的轨迹是椭圆．(　 ) (3)已知点，动点满足，则点的轨迹是椭圆．(　 ) (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(　 ) 2．椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，焦距为，则的方程为(　 ) A. B. C. D. 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为(　 ) A. B. C． D． 【典例分析】 例1、平面内有一个动点及两定点.设：为定值，：点的轨迹是以为焦点的椭圆．那么是的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式、（多选）设定点，动点满足，则点的轨迹可能是(　 ) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是； (2)一个焦点坐标为，且椭圆经过点． 变式、求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点； (2)过点，且与椭圆有相同的焦点． 例3、“”是“方程表示椭圆”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式、已知椭圆的标准方程为，并且焦距为，则实数的值为________． 【当堂训练】 1. 若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为________． 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是________ 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $