第二十章 勾股定理（单元自测卷）八年级数学新教材人教版

高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十章勾股定理单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单选题（共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D C B Y B B 二、填空题（共18分） 11.-1+V10W10-1 12.450 13.12尺 14.21013 15.2W61 16.（(0,)或 (0,-6) 三、解答题（共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ∠B=90°-60°=30°， :∠B=30°，c=2 b=c=1, 由勾股定理：a=Vc2-b2 =V22-12 =5, (2)解：：在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°， .∠B=90°-45°=45°， :∠A=∠B=45°， :b=a=V2, 由勾股定理：c=Va2+b2 -+ =V2+2 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2 18.(8分) 【详解】解：：CD⊥AB, ·∠ADC=∠BDC=90°. 在Rt△BCD中，BD=VBC2-CD2=6. 设AC=AB=x,则AD=X-6· 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2, 即x2=(x-6)2+82, 解得x=罗， ·AC=要 19.(8分) 【详解】(1)解：连接AC, G ◇D :∠ADC=90°，AD=4m,CD=3m, AC=VCD2+AD2=V32+42=5(m), :AB=13m,BC=12m, CB2+AC2=52+122=132=AB2, ∴∠ACB=90°， :.△ABC是直角三角形： 则四边形ABCD面积为： S△4Bc-S△4D=BCAC-DC·AD =号×5×12-青×3×4=24(m2). 答：这块绿地ABCD的面积是24m2, 20.(8分) 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2+AC2=AB2, 即72+AC2=252, .AC=24m, 答：这架云梯的顶端到地面的距离是24m: (2)解：：梯子的顶端A下滑了4m至点A, AC=AC-AA=24-4=20(m), 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2, 即202+B'C2=252, .B'C=15m, BB=BC-BC=15-7=8(m) 答：梯子的底端在水平方向滑动了8m: 21.(8分) 【详解】(1)解：如图所示，过点A作AH⊥ON于H,可知点A到射线ON的最短距离为线段AH的长度. 个H P -M :∠0=45°， ∴.OH=AH, 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：0A=32W2m,0H2+AH2=0A2, AH=号0A=号×32N2=32(m) :32m<40m :学校会处在卡车的噪声影响范围内 (2)解：如图所示，在ON上取两点C、D,连接AC,AD,当AC=AD=40m时，则卡车在CD段对学校 A有影响. :AC=AD,AH⊥CD, :CH=DH 由(1)知AH=32m, :CH=VAC2-AH=V402-322=24(m) ∴.CD=2CH=48m 卡车速度为8米/秒， :影响时间为：智=6s 答：卡车沿道路0N方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为6s 22.(10分) 【详解】(1)解：如图2： 图2 构造△ABC,由勾股定理得： AB=V12+12=2 BC=V22+22=8, 4/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=V32+17=V10, 在△ABC中：：AB+BC>AC, aV2+V8>10, (2)解：如图3： D 图3 取点C关于AB的对称点E,连接AE,DE, 由对称的性质可知：∠CAB=∠EAB, 由图可知：AD=22+32=V13,DE=V22+32=V13,AE=V12+52=V26 则AD2+DE2=AB2,AD=DE, ·∠ADE=90°， ·△ADE是等腰直角三角形， ·∠DAE=45°， :∠DAE=∠DAB+∠EAB, ·∠DAB十∠CAB=∠DAB十∠EAB=∠DAE=45°， 即：∠DAB+∠CAB=45°. 23.(10分) 【详解】(1)证明：：S四边形ABDc=支c2,S梯Amc=(b十ab,S△BED=(a-b)a,且 S四边形ABDC=S梯形AEDC十S△BED, c2=b+ab+(a-b)a, c2=b2+ab+a2-ab, 4a2+b2=c2: (2)解：设AB边上的高为h, 根据题意，AB=V22+22-22,且SAAc=专AB·h=支×2V2h=V2h, 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又S△4Bc=(4×2)×(4×2)-克×2×2-支×(3×2)×(4×2)-(3×2)×(4×2)=14 故V2h=14, 解得h=72, B 故答案为：72； (3)解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=16-x2, 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2=AC2-CD2=52-(6-x2=-11+12x-x2, ·16-x2=-11+12x-x2, 解得x= 24.（12分) 【详解】(1)解：：△ACD兰△BCE, :AD=BE, :∠DBE=90 ·BD2+BE2=DE2, :BD2+AD2=DE2. 故答案为：BD2+AD2=DE2 (2)解：成立，理由如下： 如图，连接BE, :CE⊥CD,∠ACB=90o, .∠DCE=90o=∠ACB, .∠ACD=∠BCE, 6/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE △ACD≌△BCE(SAS), AD=BE,∠CBE=∠A, :∠ACB=90°，BC=AC, ∴∠A=∠ABC=45°， .∠CBE=45o, ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°， .∠DBE=90o, ·BD2+BE2=DE2, :BD2+AD2=DE2. (3)解：连接AE,如图， B 由(1)的结论知，AB2+AD2=DE2,AE=BD, :AD=3,AB=9, .BD=AE=AB-AD=6, 62+32=DE2, DE2=45, CD2+CE2=DE2,CD=CE, :CD2=号DE2, S△cDE=CD2-9 7/7 第二十章 勾股定理 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列为勾股数的是（　　） A．，， B．5，12，13 C．，， D．0.9，1.2，1.5 【答案】B 【分析】主要考查了勾股数， 勾股数是三个正整数，且满足勾股定理 ，选项A、C、D均非正整数，只有选项B满足条件． 【详解】解： 选项A：为分数，非正整数； 选项C： 为无理数，非正整数； 选项D：0.9, 1.2, 1.5 为小数，非正整数； 选项B：5, 12, 13 为正整数，且． 故选：B． 2．（3分）下列三角形中，a，b，c分别表示边长，，，表示角，一定是直角三角形的有（ ） （1）三边之比为的三角形； （2）三个内角是的三角形； （3）； （4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】主要考查了直角三角形的判定（勾股定理的逆定理、三角形内角和定理），熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和为是解题的关键． 分别根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，逐一判断每个条件对应的三角形是否为直角三角形． 【详解】解：（1）∵ 三边之比为， ∴设三边长分别为，，， ∵， ∴ 是直角三角形； （2）设，则，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是直角三角形； （3）设，，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 不是直角三角形； （4）∵ ，即， ∴ 是直角三角形； 综上，（1）（2）（4）是直角三角形，共3个． 故选：C 3．（3分）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解： ，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 4．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 5．（3分）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】D 【分析】主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 6．（3分）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】考查了勾股定理与折叠的性质． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则． 故选：C． 7．（3分）如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 【答案】B 【分析】主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并构造直角三角形是解题的关键．先作辅助线构造直角三角形，结合已知条件确定直角边长度，再用勾股定理求斜边的长度，最后根据时间=路程÷速度计算鱼游到处的时间． 【详解】解：如图，过点作于． 米，米，米， 米，米， 是直角三角形， ∴由勾股定理：米， 鱼游到处的时间秒， 故选：B． 8．（3分）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 9．（3分）如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理找到之间的关系即可求解． 【详解】解：因为，所以， 由勾股定理得， ， 所以，所以． 因为，， 所以， 故选：B． 10．（3分）如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 二、填空题（共18分） 11．（3分）如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出的长． 先利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据实数与数轴的关系求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A表示的数为， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 12．（3分）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 13．（3分）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是 ． 【答案】12尺 【分析】考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理列出方程求解x即可． 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理得，， 解得， ∴尺， 故答案为：12尺． 14．（3分）如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2026个等腰直角三角形的斜边长是 ． 【答案】 【分析】主要考查了勾股定理、数字规律等知识点．先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，再找到规律，再利用规律求出第2026个等腰直角三角形的斜边长． 【详解】解：根据勾股定理可得： 第1个的斜边； 第2个的斜边； 第3个的斜边； ．．．．．． 第n个等腰直角三角形的斜边； 所以第2026个等腰直角三角形的斜边． 故答案为：． 15．（3分）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 【答案】 【分析】考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 16．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是y轴上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为 ． 【答案】或 【分析】考查了平面直角坐标系、勾股定理与折叠问题，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①点在点A的右侧，②点在点A的左侧，利用勾股定理求出，根据折叠的性质得到，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再结合坐标系即可得到点M的坐标． 【详解】解：①若点在点A的右侧，如图， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得到，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； ②若点在点A的左侧，如图， 由折叠的性质得到，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； ∴综上所述，点M的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 17．（8分）在中，，、、所对的边分别为、、． (1)已知，，求的度数和、的值； (2)已知，，求的度数和、的值． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】主要考查了直角三角形的性质（两锐角互余、含角的直角三角形性质、等腰直角三角形性质）及勾股定理，熟练掌握直角三角形的角与边的关系是解题的关键． （1）先由直角三角形两锐角互余求，再用含角的直角三角形性质及勾股定理求、； （2）先由直角三角形两锐角互余求，再根据等腰直角三角形的性质求，最后用勾股定理求． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴−， ∵，， ∴， 由勾股定理： ； （2）解：∵在中，，， ∴−， ∵， ∴， 由勾股定理： ． 18．（8分）如图，在中，，，垂足为．已知，，求的长． 【答案】 【分析】先在中用勾股定理求出的长度，再结合等腰三角形的性质，设为未知数，用该未知数表示，最后在中通过勾股定理列方程求解的长． 【详解】解：， ． 在中，． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 19．（8分）如图，有一块凹四边形的绿地， ，，，，，求这块绿地的面积． 【答案】这块绿地的面积是 【分析】考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式．根据勾股定理，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据这块绿地的面积的面积的面积，列式计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 则四边形面积为： ． 答：这块绿地的面积是． 20．（8分）如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 21．（8分）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由见解析 (2)6秒 【分析】主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为8 米/秒， ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 22．（10分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】主要考查了勾股定理、全等三角形的性质，对称的性质以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键． （1）画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． （2）取点关于的对称点，连接，利用勾股定理可知，根据图片可知，，是等腰直角三角形，由对称的性质可知，利用等量代换，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图： 构造，由勾股定理得： ， ， ， 在中：， ， （2）解：如图： 取点关于的对称点，连接，， 由对称的性质可知：， 由图可知：, 则， ， 是等腰直角三角形， , , ， 即：． 23．（10分）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c， ，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为 ； （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据建立等式证明即可． （2）用两种方法表示三角形的面积，建立等式，解答即可； （3）根据题意，得，，分别表示后，建立等式解答即可． 考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握证明和应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：，，，且， ， ， ； （2）解：设边上的高为h， 根据题意，，且， 又 故， 解得， 故答案为：； （3）解：在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，， 解得． 24．（12分）已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）， 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）由（1）的结论知，，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，如图，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列为勾股数的是（　　） A．，， B．5，12，13 C．，， D．0.9，1.2，1.5 2．（3分）下列三角形中，a，b，c分别表示边长，，，表示角，一定是直角三角形的有（ ） （1）三边之比为的三角形； （2）三个内角是的三角形； （3）； （4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 6．（3分）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（3分）如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 8．（3分）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 9．（3分）如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（3分）如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 二、填空题（共18分） 11．（3分）如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ． 12．（3分）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 13．（3分）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是 ． 14．（3分）如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2026个等腰直角三角形的斜边长是 ． 15．（3分）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 16．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是y轴上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为 ． 三、解答题（共72分） 17．（8分）在中，，、、所对的边分别为、、． (1)已知，，求的度数和、的值； (2)已知，，求的度数和、的值． 18．（8分）如图，在中，，，垂足为．已知，，求的长． 19．（8分）如图，有一块凹四边形的绿地， ，，，，，求这块绿地的面积． 20．（8分）如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 21．（8分）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 22．（10分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 23．（10分）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c， ，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为 ； （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 24．（12分）已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $