第11讲 数学思想方法篇-【练客中考】2026年浙江新中考数学思维培优

.(0D-2)2+42=0D2,解得0D=5, ∴.0A=0B=5,0E=5-2=3, .∴.AE=0A+0E=5+3=8, .AD=√AE2+DE=√82+4=45. .·△OFA∽△AFD -0-4a服 a=0F.(g5oP=0P(0F+5. 解得0F=25或0F=0(不符合题意，舍去)， 111 40r-8 追寻(1)证明略； (2)BE=2√3-2，解答过程略； (3)①证明略：②4F=5或2y,解答过程略， 课后探究 初 证明略。 数 第9讲 数学模型构建问题（一） 思 1.(1)单价；(2)总价÷总数量； 维 (3)12.5元/千克； (4)12元/千克 优 2.am+bm,甲种糖单价较高； m n 生0 例每箱饮料需要降价的金额为2元或5元，解答过程 略 追寻1每箱应降价4元或2.5元，解答过程略 追寻2每箱应降价5元，解答过程略。 追寻3解：(1)y=-4x2+22x+80;(2)0≤x≤2； (3)降价金额为2元； (4)函数y=-4x2+22x+80的图象为开口向下的抛 22 物线，对称轴为x=2×4275, 0≤x≤2， ∴.y随x的增大而增大，x=2时，ymx=108元 .最大利润为108元，对应降价金额为2元. 课后探究 (1)y=0.785x;(2)0.785kg,0.785kg,78.5kg; (3)小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg,开私 家车的二氧化碳排放量是202.5kg,天然气的二氧化 碳排放量是3.8kg,自来水的二氧化碳排放量 是4.55kg. 第10讲数学模型构建问题（二） 1.(1)10;(2)21-2x,2x2-21x+49=0. 2.(1)取值范围是6≤x<10,解答过程略； 26 浙江新中考 (2)所围成矩形的最大面积为54m2,解答过程略. 例y=36(x>0,y>0),解答过程略 追寻1证明略追寻2 器子解答过程路 【课后探究】 加工成的正方形零件的边长为40mm. 第11讲数学思想方法篇 思想方法一数形结合思想 例12≤m≤4，图略变式18，图略 例2√5，图略变式2A,图略 思想方法二分类讨论思想 例12+V6或-√2 变式1(1)a=1,c=10, 函数表达式为y=x2-2x+10; (2)①A(-2,18),解答过程略； ②m的值为-11-3√7或-2，解答过程略. 例240°或50°变式2-12或4 变式2-2子多或10变式2-3+1或6-1 综合训练 思想方法三转化与化归思想 例(1)证明略； (2)①证明略；②AD=5AB,理由略； 2 (3)品-厅-1，解答过冠路 4 变式解：(1)3，，≠；(2)5-2；(3)Sm= 135 13, 解答过程略 综合训练 1.A2.B3.B4.C5.D6.C 7.4-32或4+328.82.5°或52.5°或37.5° 4 4 9.(1)证明略； (2)综上所述，AF的长为1或3，解答过程略. 10.(1)此=次函数的表达式为y=-子2+多+ 子，解答过程略 (2y版=-子-多0+子解答过程路， 32 （3)加=一名或站解答过程路 11.(1)证明略； (2)BC+CD=√2AC.理由略； (3)0D的长为3√3-3或3-√3. 学 参考答案第11讲 数学思想方法篇 思想方法一 数形结合思想 方法解读++++++++ 数学家华罗庚曾经说过，数缺形时少直观，形少数时难入微，这句话深刻地揭示了数形之间的辩证 关系以及数形结合的重要性.数形结合思想，就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的 思想方法.它包括两方面，一种是用代数方法解决几何问题，一种是用几何直观帮助解决代数问题.比如 我们学习函数知识、解决函数问题时，往往要结合函数的图象来辅助理解，这就是用几何直观来帮助解 决代数问题. 代数 数轴，平面直角坐标，函数，平方差、完全平方公式的几何意义 常考题型 几何 空间与图形，勾股定理 类型1代数中的数形结合 类型2几何中的数形结合 例1在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐 例2在正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中 标相等，则称点P为完美点.已知二次函数y= 点，AF与DE交于点M,N为AE的中点，连接 2+b:-是(0,6是常效，0≠0)的图象上有且只 MN,若AB=4,则MN的长度为 例2题画图区 有-个完美点（号，多，且当0≤≤m时，函数 y=ax2+bx-3的最小值为-3，最大值为1，则m 的取值范围是 例1题画图区 变式2对于题目：“在△ABC中，AB=AC,∠ABC= 70°，分别以A,B为圆心，AB长为半径的两条弧相 交于点P,连接CP,求∠APC的度数”.小明求解 的结果是∠APC=80°，小丽说：“小明的解答正确 但不全面，∠APC还有另一个不同的值.”则下列 变式1平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶 判断中，正确的是 () 点P,Q都在x轴正半轴上，其中点Q在点P右 A.小丽说得对，∠APC的另一个值是40° 侧，平行于x轴的直线与两条抛物线在第一象限 B.小丽说得不对，∠APC只能等于80° 内依次交于A,B,C,D四点，若AB=10,BC=5, C.小明求的结果不对，∠APC应等于85 CD=6,则PQ= D.两人都不对，∠APC应有3个不同的值 变式1题画图区 变式2题画图区 浙江新中考数学 初中数学思维培优 23 思想方法二 分类讨论思想 方法解读++++++ 当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，需要分类讨论.将一个数学问题根据题设分 为有限的若干种情况，分别求解每一种情况，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合， 分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”.一般步骤是： 1.确定分类标准；2.对全体对象进行分类，做到“既不重复又不遗漏”；3.逐类讨论，按一定的层次讨 论，逐级进行；4.综合概括小结，归纳得出结论。 实数的分类，方程、不等式中的分类，函数图象的分类，二次函数的对称轴、增减 代数 常考题型 性问题，存在性问题 几何 等腰、直角三角形的边角不确定，相似三角形的判定，圆中的分类讨论，动点问题 类型1代数中的分类讨论 类型2几何中的分类讨论 例1已知二次函数y=-9x2-6ax-a2+2a(- 例2（角的不确定分类）如图，在△ABC中，∠C= 3 ≤x 90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上 ≤兮)有最大值-3，则实数a的值为 的点F处，若∠CFD=60°且△AEF为等腰三角 形，则∠A的度数为 变式1(2025湖州校级模拟)已知抛物线y=ax2 2x+c的顶点坐标为(1,9) (1)求a,c的值，并写出函数表达式 (2)已知A(m,n)在该抛物线上. ①将点A向右平移6个单位后得到点B,且点A与 例2题图 点B关于对称轴对称，求点A的坐标， 变式2-1（动点问题分类）如图，已知∠B=45°， ②若m≤-1，m≤x≤m+6时，该二次函数的最大 AB=2√2cm,点P为∠ABC的边BC上一动点，则 值是最小值的2倍，求m的值. 当BP= cm时，△BAP为直角三角形 C 变式2-1题图 变式2-2（图形变化分类讨论）在矩形ABCD中， AB=3,BC=4,将AB沿过点A的一条直线折叠， 折痕交直线BC于点P(点P不与点B重合)，点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC的 长为 变式2-3（点位置不确定的分类讨论）如图，AB是 ⊙0的直径，AB=2.直线1与⊙0相切于点C,且l ∥AB.在直线l上取一点D,连接AD交⊙O于点 E.若AE=DE,则CD的长是 C 变式2-3题图 24 浙江新中考数学初中数学思维培优 思想方法三 转化与化归思想 方法解读++++++ 将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换， 化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题.解题的过程实际就是转化的过程。 复杂运算，多边形内角和问题，解方程（分式，一元二次，三元一次），直线与圆的位置关系， 常考题型 相似三角形，锐角三角函数 常用方法 换元法、待定系数法、配方法、整体代入法、化动为静，由具体到抽象 例转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可 变式在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍 以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用.请解 半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关 答下面的问题：如图1，在△AOB中，OA=OB, 系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些 ∠AOB=90. 研究 【基础巩固】(1)将图1中△AOB绕，点B按顺时针 (1)初步尝试：我们知道：tan60°= 方向旋转60°得到△DCB(如图2)，连接OC.求 tan30°= 证：OC=OB; 发现结论：tanA 2am2∠A(填“=”或 1 【思考探究】(2)将图1中△AOB绕点B按顺时针 方向旋转60并缩小得到△DCB(如图3)，使C “≠”)； O (2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC= ,连接0C,A0: 1,求am?∠BMC的值； ①求证：△OBC△ABD; 研究思路：小明想构造包含2LBAC的直角三角 ②用等式表示AD与AB之间的数量关系，并说明 理由， 形，延长CA至点D,使得DA=AB,连接BD,所以 【拓展延伸】(3)将图1中△AOB绕点B按顺时针 得到∠D=7∠BAC,即转化为求∠D的正切值， 方向旋转某个角度（小于180）并缩小得到△DCB (女因4)，使S-连接0C,4C,4D.当0C=08 那么，子∠BMC= .1 时，求%的值 (3)在△ABC中，LA为锐角，tanA=3,∠B= 2∠A,AB=3√10.求SA4Bc的值. A 变式题图 图 图2 图3 图4 例题图 浙江新中考数学初中数学思维培优 25 综合训练 《 1.已知二次函数y=-(x-a)2+1,当-1≤x≤3 7.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC为8，以顶点 时，y的最大值为-8，则a的值为 D为圆心，2为半径画圆，点P在对角线AC上运动， A.-4或6 B.0或6 当射线BP与圆D相切时，AP的长是 C.-4或2 D.2或6 2.已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0 的解为x1,x2（x1<x2),关于x的方程x2+2x-3- n=0的解为x?,x4(x3<x4),则下列结论正确的是 B () 第7题图 第8题图 A.x3<x1<x2<x4 B.x1<x3<x4<x2 8.（2025江西)如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A C.x1<x2<3<4 D.x3<x4<x1<x2 折叠纸片并展开，AB的对应边为AB',折痕与边 3.(2025杭州期末)在△ABC中，AD是BC边上的中 BC交于点P.当AB'与AB,AD中任意一边的夹角 线，若AB=5,AD=8,则AC的取值范围是() 为15时，∠APB的度数可以是 A.16<AC<20 B.11<AC<21 9.(2025台州一模)如图，在△ABC中，AB=AC,点0 C.16<AC<21 D.11<AC<20 为BC中点，点D在边AB上，连接OD. 4.已知二次函数y=a(x+1)(x-t)(a≠0)，且A(0, (1)如图1，若OD⊥AB,OE⊥AC于点E,求 m),B(2,n)为其图象上两点，则下列说法正确的 证：0E=0D; 是 (2)如图2，已知∠BAC=90°，AB=4,AD=1.若点 A.若a<0,t<4,则m>n F在边AC上，OF=OD,求AF的长. B.若a<0,t<4,则m<n C.若a>0,t>4,则m>n D.若a>0,t>4,则m<n 5.在平面直角坐标系中，点A(a,23)是直线y=3x 0 上一点，以A为圆心，2为半径作⊙A.若P(x,y)是 图1 图2 ⊙A上任意一点，则2的最小值为 第9题图 A.1 B.√2 C.5-1 D③ 6.如图，在平面直角坐标系中，点P是以C(-√2， √7)为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知 A(-1,0),B(1,0),连接PA,PB,则PA2+PB的 最小值是 A.6 B.8 C.10 D.12 C. B 第6题图 26 浙江新中考数学初中数学思维培优 10.(2025绍兴上虞区二模)如图，二次函数y= 11.【思维探究】 -子+6c+e的图象与x轴交丁A,B丙点，与) (1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=60°， ∠BCD=120°，AB=AD,连接AC. 轴交于点C,其对称轴是直线x=1,点A的坐标 求证：BC+CD=AC; 为(-1,0). 小明的思路是：延长CD到点E,使DE=BC,连接 (1)求此二次函数的表达式； AE.根据∠BAD+∠BCD=180°，推得∠B+ (2)若n>0,当n≤x≤n+2时，求二次函数y= ∠ADC=180°，从而得到∠B=∠ADE,然后证明 2+bx+c的最小值（用含有n的代数式表 -4 △ADE≌△ABC,从而可证BC+CD=AC,请你帮 助小明写出完整的证明过程. 示)； (3)当t≤x≤t+1时，若二次函数的最大值比最 【思维延伸】 小值大2，求t的值 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD x=l =90°，AB=AD,连接AC,猜想BC,CD,AC之间的 数量关系，并说明理由； 【思维拓展】 (3)在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°， A/0 B AB=AD=√6，AC与BD相交于点O.若四边形 第10题图 ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD 的长 图1 图2 第11题图 浙江新中考数学初中数学思维培优 27