第8讲 圆的证明与计算的综合题-【练客中考】2026年浙江新中考数学思维培优

第8讲 圆的证明与计算的综合题 食课前预习 1.如图，直径AB垂直于弦CD,垂足为E,你能在图中构造出哪些相似三角形？ D 第1题图 第2题图 ⊙课堂探究 【问题驱动】 2.如图，在⊙0中，弦AB,CD交于点E,连接AD,BC,BD,点C是AB的中点. (1)图中有哪些相似三角形？ (2)若AE=3,CE=2,DE=4,则BE= ； (3)若BC=4,CE=2,则DE= (4)在(3)的条件下，连接AC,设△ACB的面积为S1,△ABD的面积为S2,则S1:S2= 方法积累++++++ 通过以上学习体验，我们得到了圆的证明与计算的常用路径： D 等弧、等角的相互转化 角度、线段、面 积的综合计算 D 构建常见相 似三角形 D 垂线、平行线的构建 【问题初探】 例如图，在⊙0中，直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AC,D0,延长D0交AC于点F. (1)求证：AF2=0F·DF; (2)若CD=8,BE=2,求OF的长. 例题图 浙江新中考数学初中数学思维培优 17 【问题追寻】 追寻如图，半圆O中，直径AB=4,点C为AB的中点，点D在BC上，连接CD并延长交AB的延长线于点E, 连接AD交CO于点F,连接EF (1)求证：△DCA△ACE; (2)若D为CE中点，求BE的长； (3)①求证：△ACE面积与△AEF面积的差是定值； ②若mLAEF=石，求AF的长。 追寻题图 线段比例式、乘积 式的证明 等弧、等 证明问题 角的转化 边等、角等的证明 圆的相关知识 转化 线段长 比值的 相似三角形，构造 平行线 计算求值 计算 问题 垂线 面积的比值问题 ©课后延伸 【课后探究】如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠ACM的平分线，F为AD上一点，BC=AF,延长DF交BA 的延长线于点E. (1)求证：△ABD为等腰三角形； (2)求证：AC·AF=DF·FE. 题图 18 浙江新中考数学初中数学思维培优②/-为<0 f-a<2 a>-2 Lx1+x2-2a<0 ,即3，<a解得 2 a>1, 即a>1,与a<0矛盾，故不成立. 综上，a的取值范固为0<a<兮或a<-4 第4讲二次函数轴对称视角下的距离 与函数值的关系 1.略 2.yc>ya>yn>y4;令各点到对称轴距离为d, a>0时，d越大y越大；a<0时，d越大y越小；规 律普遍适用。 追寻1证明略 追寻2-1.5<m<0,解答过程略. 课后探究 1 解：(1)图略.n=4m； 1 (2)方法1：(2m,n),n= 4am2; 1 1 方法2：(h+2m,k+n),n= 1 (3):AB=4,m=4,n1=4×2×4=8. 两抛物线顶点距离为10，.n2=18或-2， 1 9 当%=18时4×a×4=18,a= 2 1 1 当=-2时，心4×a×4=-2,a=-2 综上a=号或-分 1 第5讲代数推理 1.代数推理， (x-y）2=x2+y2-2xw=(x+y)2-4y. 又：x+y=3,xy=2,.(x-y)2=32-4×2=1. 2.14 例(2，-1)（答案不唯一，满足x+y=1且x≠0，y≠ 0即可) 追寻1D 课后探究 (1)-2或1；(2)7 第6讲旋转变化下的相似三角形 1.40°2.证明略 问题驱动旋转角相等；对应线段相等、对应角相等 等（合理即可）. 例解：①△BAC与△DAE存在旋转变化的关系，旋 转中心是点A,旋转角度是∠BAD或∠CAE的 度数 ②.△ABC≌△ADE,.∠ABC=∠ADE,∠ACB= ∠AED,∠BAD=∠CAE,BC=DE. 浙江新中考 ③由AB=AD,AC=AE,则可得AB:AC=AD:AE.易 得△ABD∽△ACE,进一步可判定A,O,C,E四点 共圆 追寻1BF=AF+√2CF,解答过程略 追寻2即BF-kMF=√2+1·FC,解答过程略. 课后探究 (1)BD=CE.证明略； (2)AE=BE-CE; (3)∠BAD=45°.理由略. 第7讲圆背景下线段相等的证明 1.证明略. 2.证明略. 问题驱动 共三角形与不共三角形；共三角形可证明等腰，不共 三角形可证明全等或相似，发挥弧或弦的关键作用. 例证明略.追寻1略追寻2证明略 追寻3(1)证明略； (2)解：如解图，连接DE,OE,BE 设OB=. AC为⊙0的切线，.OE 中数学思 ⊥AC. .OF∥AC,.OE⊥OF. 维培 OE=OF,.EF=√2m BD =2AD,BD =20D =20B. 追寻3解图 .∴.0A=20D. 0D=0E,.0A=20E,∴.∠A=30°， ∴.∠A0E=60°，AE=√3r. LABE-LAOE-30 ∴.∠A=∠ABE,∴BE=AE=√3m. 易得∠CEF=∠CBE=45. 'LC=∠C,.△CEF∽△CBE, CEBE_36」 小CEF22 (3)证明略. 课后探究证明略。 第8讲圆的证明与计算的综合题 自主完成 1.略. 2.(1)△ADE△CBE△CDB;(2 03:(3)6; (4)1:3 例（1)证明略； (2)解：OA=OB=OD,CD=8,BE=2, .DE-CE-CD-4,0E-OB-BE-OD-2. ∠AED=90°∴.0E2+DE2=0D2, 学 参考答案 25 .(0D-2)2+42=0D2,解得0D=5, ∴.0A=0B=5,0E=5-2=3, .∴.AE=0A+0E=5+3=8, .AD=√AE2+DE=√82+4=45. .·△OFA∽△AFD -0-4a服 a=0F.(g5oP=0P(0F+5. 解得0F=25或0F=0(不符合题意，舍去)， 111 40r-8 追寻(1)证明略； (2)BE=2√3-2，解答过程略； (3)①证明略：②4F=5或2y,解答过程略， 课后探究 初 证明略。 数 第9讲 数学模型构建问题（一） 思 1.(1)单价；(2)总价÷总数量； 维 (3)12.5元/千克； (4)12元/千克 优 2.am+bm,甲种糖单价较高； m n 生0 例每箱饮料需要降价的金额为2元或5元，解答过程 略 追寻1每箱应降价4元或2.5元，解答过程略 追寻2每箱应降价5元，解答过程略。 追寻3解：(1)y=-4x2+22x+80;(2)0≤x≤2； (3)降价金额为2元； (4)函数y=-4x2+22x+80的图象为开口向下的抛 22 物线，对称轴为x=2×4275, 0≤x≤2， ∴.y随x的增大而增大，x=2时，ymx=108元 .最大利润为108元，对应降价金额为2元. 课后探究 (1)y=0.785x;(2)0.785kg,0.785kg,78.5kg; (3)小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg,开私 家车的二氧化碳排放量是202.5kg,天然气的二氧化 碳排放量是3.8kg,自来水的二氧化碳排放量 是4.55kg. 第10讲数学模型构建问题（二） 1.(1)10;(2)21-2x,2x2-21x+49=0. 2.(1)取值范围是6≤x<10,解答过程略； 26 浙江新中考 (2)所围成矩形的最大面积为54m2,解答过程略. 例y=36(x>0,y>0),解答过程略 追寻1证明略追寻2 器子解答过程路 【课后探究】 加工成的正方形零件的边长为40mm. 第11讲数学思想方法篇 思想方法一数形结合思想 例12≤m≤4，图略变式18，图略 例2√5，图略变式2A,图略 思想方法二分类讨论思想 例12+V6或-√2 变式1(1)a=1,c=10, 函数表达式为y=x2-2x+10; (2)①A(-2,18),解答过程略； ②m的值为-11-3√7或-2，解答过程略. 例240°或50°变式2-12或4 变式2-2子多或10变式2-3+1或6-1 综合训练 思想方法三转化与化归思想 例(1)证明略； (2)①证明略；②AD=5AB,理由略； 2 (3)品-厅-1，解答过冠路 4 变式解：(1)3，，≠；(2)5-2；(3)Sm= 135 13, 解答过程略 综合训练 1.A2.B3.B4.C5.D6.C 7.4-32或4+328.82.5°或52.5°或37.5° 4 4 9.(1)证明略； (2)综上所述，AF的长为1或3，解答过程略. 10.(1)此=次函数的表达式为y=-子2+多+ 子，解答过程略 (2y版=-子-多0+子解答过程路， 32 （3)加=一名或站解答过程路 11.(1)证明略； (2)BC+CD=√2AC.理由略； (3)0D的长为3√3-3或3-√3. 学 参考答案