第5讲 代数推理&第6讲 旋转变化下的相似三角形-【练客中考】2026年浙江新中考数学思维培优

第5讲 代数推理 食课前预习 1.已知x+y=3,y=2,求(x-y)2的值， 聚焦所有关系式，从式子的特征来看，推测应该用 知识来解决问题， 解答过程： ⊙课堂探究 【问题驱动】 2.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根，则(x1-x2)2+3x1x2的值是 方法积累++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++十 通过以上学习体验，我们得到解决代数推理问题的基本路径： 理解题意一寻找关系一代数模型运算变形 →解决问题 小十十十十十…十十一十十十…十十十十十十…十十十十+十十十十十十十十十十十十…+十十十十十十十十十十十十十 【问题初探】 囫若点Q(,)满足上+1=1，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 x y xy 【问题追寻】 追寻1在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b2与y=b2x+a的图象可能是 生成小结 十十十十十十十十十十十十十 代数推理需要通过对式子的特征进行观察思考，用代数的知识对式子进行变形、运算，这种推理变形对方程、 不等式、函数也同样有着价值，本节课的生成结构图如下： 式子的运算变形 代数推理问题 方程背景 解题路径 理解题意一寻找关系一代数 基于数学情境的 不等式背景 模型 运算变形一解决问题 式子的运算变形 一函数背景 十十十一+十十4十十十十+十十十十十+十十十十++十w十十…+w+十+十十+十十十十十十十十十十十十+ ⊙课后延伸 【课后探究】数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a,6同时满足a2+2a=b+2,+2b=a+2,求代数式 +a的值 a b 哈哈！a=b,结果为2 a,b不一定相等哦 小云 小王 结合他们的对话，解答下列问题： (1)当a=b时，a的值是 (2)当a≠6时，代数式名+云的值是 浙江新中考数学初中数学思维培优 11 第6讲 旋转变化下的相以三角形 侵课前预习 L如图，已知号-8脱-C∠D=-20,∠DME=60,则∠D4C附度数为】 D 第1题图 2.如图，在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转60°与BC重合，点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=60°.求 证：△ABD∽△DCE. /60 B4 第2题图 ⊙课堂探究 【问题驱动】 通过两个问题的解答，你认为发现旋转相似三角形的方法是什么？旋转相似三角形具有什么性质？ 方法积累++十++++十+++十+++十+++++++十++++十++++++++++++ 我们得到解决旋转相似三角形问题的一般方法： 分析图形变化一→确定旋转要一确定相似三角形 解决旋转相似三角形问题 旋转中心、旋转方向、旋转角度 【问题初探】 例如图，△ABC≌△ADE,BC,DE交于点O,连接BD,CE.你能从图形位置，点的位置，线段长度关系的角度 上发现什么结论？ 例题图 12 浙江新中考数学初中数学思维培优 【问题追寻】 追寻1如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC,EC=DC,点E在△ABC内部，直线AD与 BE的延长线交于点F,连接CF.线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系？ 追寻1题图 追寻2如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC,EC=kDC(k是常数)，点E在△ABC内 部，直线AD与BE延长线交于点F,连接CF.直接写出一个等式，表示线段AF,BF,CF之间的数量关系. 追寻2题图 生成小结++++++ 本堂课主要研究的是旋转变化下的相似三角形，在旋转变化中寻求三角形相似的关联条件和基本性质是 本节课的研究重心。 根据这堂课的经历过程，本节课可以生成以下结构图： 线段相等一旋转全等 旋转变化 分析变化中的变量与不变量 解决实际问题 线段成比例一旋转相似 特殊到二般 ⊙课后延伸 【课后探究】如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋 转60°，得到线段AE,连接BD,DE,CE. (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)如图2，当B,D,E三点共线时，直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为 (3)如图3，延长ED交直线BC于点F,当点F为线段BC中点，且ED=EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由. 图 图3 浙江新中考数学初中数学思维培优 13②/-为<0 f-a<2 a>-2 Lx1+x2-2a<0 ,即3，<a解得 2 a>1, 即a>1,与a<0矛盾，故不成立. 综上，a的取值范固为0<a<兮或a<-4 第4讲二次函数轴对称视角下的距离 与函数值的关系 1.略 2.yc>ya>yn>y4;令各点到对称轴距离为d, a>0时，d越大y越大；a<0时，d越大y越小；规 律普遍适用。 追寻1证明略 追寻2-1.5<m<0,解答过程略. 课后探究 1 解：(1)图略.n=4m； 1 (2)方法1：(2m,n),n= 4am2; 1 1 方法2：(h+2m,k+n),n= 1 (3):AB=4,m=4,n1=4×2×4=8. 两抛物线顶点距离为10，.n2=18或-2， 1 9 当%=18时4×a×4=18,a= 2 1 1 当=-2时，心4×a×4=-2,a=-2 综上a=号或-分 1 第5讲代数推理 1.代数推理， (x-y）2=x2+y2-2xw=(x+y)2-4y. 又：x+y=3,xy=2,.(x-y)2=32-4×2=1. 2.14 例(2，-1)（答案不唯一，满足x+y=1且x≠0，y≠ 0即可) 追寻1D 课后探究 (1)-2或1；(2)7 第6讲旋转变化下的相似三角形 1.40°2.证明略 问题驱动旋转角相等；对应线段相等、对应角相等 等（合理即可）. 例解：①△BAC与△DAE存在旋转变化的关系，旋 转中心是点A,旋转角度是∠BAD或∠CAE的 度数 ②.△ABC≌△ADE,.∠ABC=∠ADE,∠ACB= ∠AED,∠BAD=∠CAE,BC=DE. 浙江新中考 ③由AB=AD,AC=AE,则可得AB:AC=AD:AE.易 得△ABD∽△ACE,进一步可判定A,O,C,E四点 共圆 追寻1BF=AF+√2CF,解答过程略 追寻2即BF-kMF=√2+1·FC,解答过程略. 课后探究 (1)BD=CE.证明略； (2)AE=BE-CE; (3)∠BAD=45°.理由略. 第7讲圆背景下线段相等的证明 1.证明略. 2.证明略. 问题驱动 共三角形与不共三角形；共三角形可证明等腰，不共 三角形可证明全等或相似，发挥弧或弦的关键作用. 例证明略.追寻1略追寻2证明略 追寻3(1)证明略； (2)解：如解图，连接DE,OE,BE 设OB=. AC为⊙0的切线，.OE 中数学思 ⊥AC. .OF∥AC,.OE⊥OF. 维培 OE=OF,.EF=√2m BD =2AD,BD =20D =20B. 追寻3解图 .∴.0A=20D. 0D=0E,.0A=20E,∴.∠A=30°， ∴.∠A0E=60°，AE=√3r. LABE-LAOE-30 ∴.∠A=∠ABE,∴BE=AE=√3m. 易得∠CEF=∠CBE=45. 'LC=∠C,.△CEF∽△CBE, CEBE_36」 小CEF22 (3)证明略. 课后探究证明略。 第8讲圆的证明与计算的综合题 自主完成 1.略. 2.(1)△ADE△CBE△CDB;(2 03:(3)6; (4)1:3 例（1)证明略； (2)解：OA=OB=OD,CD=8,BE=2, .DE-CE-CD-4,0E-OB-BE-OD-2. ∠AED=90°∴.0E2+DE2=0D2, 学 参考答案 25