模型九 利用两点之间线段最短求最值-【练客中考】2026年浙江新中考数学常考模型

CNr=0C-0N=73-1, 3 六Cy的最小值为9丽-1 模型九利用两点之间线段最短求最值 例15 例2解：如解图，分别作点D关于AB,AC的对称点 D',D”,连接D'D"与AB,AC分别交于点E',F', ∴.DE+EF+DF≥D'E'+E'F'+F'D”,即DE+ EF+DF≥D'D”. 当点E与点E'重合，点F与点F'重合时，△DEF的 周长取得最小值，最小值为D'D"的长. 连接AD',AD,DE',DF',则AD'=AD”=AD ∠ABC=90°，AB=4,AC=8, .BC=√AC2-AB2=√82-42=43. :D是BC的中点， BD=28C=25, .AD=√AB2+BD2=√42+(23)2=2万. 在△AC中，wLB4C-是-专-分， .∴.∠BAC=60° .'∠BAD'=∠BAD,∠CAD=∠CAD",∠BAC= ∠CAD+∠BAD, .∠D'AD"=2∠BAC=120°. 过点A作AP⊥D'D"于点P,则∠D'AP=60°， 在R△D'AP中，DP=AD·m60°=号AD= 2 5AD= 2 ×2万=√/21， .D'D"=2D'P=2/21, ∴.DE+EF+DF≥D'D=2√2I, 故△DEF周长的最小值是2√21. D B D 例2题解图 例3√5+5例445+2 模型综合练 1.A2.B3.B4.C5.B6.D7.(4,1) 8.23 模型十利用垂线段最短求最值 例133 2 例24变式225例3C 浙江新中考 变式3 16√3+36 15 模型综合练 1.B2.B3.14.525.256.4 7.(1)EP+DP的最小值为35，解答过程略； 2 (2)2AP+PD的最小值为12，解答过程略. 模型十一主从联动问题（瓜豆原理） 例1D例22+1 模型综合练 1.C2.A3.64.2π5.5π 6.解：如解图，以BD为边作等边三角形DBH,连接 EH,过点H作HN⊥BD于点N. .·BC=5,CD=2, ∴.BD=3 △DBH是等边三角形，HN⊥BD, :DN=EN=多，DB=DH,LHDB=60, cw子 将DE绕点D按顺时针方向旋转60得到DF, .∴.DE=DF,∠EDF=60°， 中 ∴.∠EDF=∠HDB, .∠EDH=∠FDB, 在△DHE和△DBF中， 学常考模 DE=DF ∠EDH=∠FDB, DH=DB .△DHE≌△DBF(SAS), .EH=BF. .当EH有最小值时，BF有最小值.过点H作HE ⊥AC于点E',由垂线段最短可得，当EH⊥AC,即点 E与点E重合时，EH有最小值，为HE'的长 HE'⊥AC,∠ACB=90°，HN⊥DB, .四边形CNHE是矩形， ∴e=cw=子， :BF的最小值为2 7 E 第6题解图 学 参考答案 23类型2“一定两动” 【建立模型】 问题描述 点P是∠AOB内部的一定点，在OA上找一，点M,在OB上找一点N,使得△PMW的周长最小 模型展示 要使△PMN的周长最小，即PM+MN+PN的值最小，根据两，点之间线段最短，将三条线段转 解题思路 化到同一直线上，分别作点P关于OA,OB的对称，点P',P",连接P'P"交OA,OB于点M,N,则 点M,N即为所求 【模型应用】 例2如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,AC=8,D是BC的中点，E,F分别是边AB,AC上的动点，连接 AD,求△DEF周长的最小值. 例2题图 “3步” 秒懂思路 ①识别模型 寻题眼 E,F分别为AB,AC上的动点，D为∠BAC内部的一定点，求△DEF周长的最小值 →“一定两动模型” →如解图，分别作点D关于AB,AC ②)抽离模型 模型图示 的对称点D',D”,连接D'D"与AB AC分别交于点E',F 解图 ③使用模型 模型结论 △DEF周长的最小值为DE+EF+DF→△DEF周长的最小值为D'D” 类型3“两定两动” 【建立模型】 点P,Q是∠AOB内部的两定点，在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得四边形PMNQ的周长 问题描述 最小 模型展示 要使四边形PMNQ的周长最小，即PM+MN+QN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段 解题思路转化到同一直线上，分别作点P,点Q关于OA,OB的对称点P',Q',连接P'Q'交OA,OB于点M,N, 则点M,N即为所求 浙江新中考数学 初中数学常考模型 35 【模型应用】 例3如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E,F分别在边AD,AB上，且AE=2,AF= 1.G,H分别是边BC,CD上的动点，连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH周长的最小值 为 例3题图 “3步” 秒懂思路 ①)识别模型 寻题眼E,F分别是AD,AB边上定点，G,H分别是边BC,CD上的动点，求四边形EFGH周 长的最小值→“两定两动模型” →如解图，分别作点E关于CD, ②抽离模型 模型图示 点F关于BC的对称点E',F', 连接EF',交BC,CD于点G',H G 解图 ③)使用模型 模型结论 四边形EFGH周长的最小值为EF+FG+GH+EH→四边形EFGH周长的最小值 为EF+E'F' 类型4“两定点一定长”（造桥选址） 【建立模型】 问题描述 点A,B为直线外两定点，在直线上找两点P,Q(PQ定长)，使得AP+PQ+QB的值最小 类型 异侧两定点(A,B)一定长(PQ) 同侧两定点(A,B)一定长(PQ) 点A,B为直线m,n两侧两定点，m∥n,在直 点A,B为直线1同侧两定点，在直线1上找P,Q两 条件 线m,n上分别找点P,Q,PQ⊥m,线段PQ的 点，使得PQ=d,且AP+PQ+QB的值最小 长为定值d,使AP+PQ+QB的值最小 -7 模型展示 将点A向下平移d个单位长度至点A',连接将点A向右平移d个单位长度至点A',作A'关于 A'B交直线n于点Q,过点Q作QP⊥m于点直线l的对称点A”,连接A"B交直线l于点Q,将，点 作法 P,此时AP+QB的值最小，即AP+PQ+QBQ向左平移d个单位长度得到，点P,此时AP+PQ 的值最小 +QB的值最小 解题思路 两定点一定长，异侧平移再连接 两定点一定长，同侧平移作对称后连接 【模型应用】 M 例4如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E,F是AB边上的三等分点，G,H是CD边 E 上的三等分点，连接EG,FH,M为EG上一点，过点M作MN⊥FH于点N,连接AM, CN,则AM+MN+CN的最小值为 例4题图 36 浙江新中考数学初中数学常考模型 “3步”秒懂思路 ①)识别模型 寻题眼A,C为直线EG,FH外两定点，MN为定长，求AM+MN+CN的最小值→“两定点一定长” D A D ②抽离模型 模型图示 >如解图，连接MH,平移MW与EF重合 解图 ③使用模型 模型结论AM+MN+CN的最小值→AM+MN+CN的最小值为AH+MN 模型综合练 悠 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8,点 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AD=BC,P E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连 为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于 接PC,PE,则IPC-PEI的最大值为 A.2.5 B.3 C.4 D.5 △ABC的面积的2，则当PB+PC的值最小时， D ∠PBC的度数为 ( A.309 B.45° C.60° D.90° B 第1题图 第2题图 2.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD边 上的动点，若AB=3,CE=DF,则AE+AF的最小 D B 值为 第5题图 第6题图 A.3√2 B.35 C.36 D.43 6.如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠ABC=120°， 3.在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示.点A 点E,F是AC上的动点，且EF=44C,若AD=2, 在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6, 则DE+BF的最小值为 ( OC=4,D为OC的中点，点E,F在线段OA上，点 E在点F左侧，EF=2.当四边形BDEF的周长最 A.5 B.17 C.2 D.9 2 2 2 小时，点E的坐标是 ( A(3,0) B.(0) 7如图，抛物线y=-4+6与y轴交于点A,与 c.20 x轴的左交点为点B,线段CD在抛物线的对称轴 D.(2,0) 上移动（点C在点D下方），且CD=3.当AD+BC 的值最小时，点C的坐标为 D OE F A 第3题图 第4题图 4.如图，在正方形ABCD中，AB=5,点E在边CD 上，且CE=2,在边BC上取两点M,N(点M在，点 第7题图 第8题图 N左侧)，且始终保持MN=1,线段MN在边BC上 8.（(2025内江)如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B= 平移，则AM+EN的最小值为 ( 60°，AB=2√2，点D,E,F分别是边BC,AB,AC上 A.5 B.25 C.65 D.53 的动点，则△DEF周长的最小值是 浙江新中考数学 初中数学常考模型 37