模型八 点圆最值及隐形圆问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学常考模型

.∴.△ABF≌△DAE(AAS),∴.AB=AD. .四边形ABCD是矩形， ∴.四边形ABCD是正方形； (2)解：.△ABF≌△DAE, .∴.BF=AE. .AE:EB=2:1, 设AE=2x,EB=x, .∴.BF=AE=2x,AB=3x, AF=√AB2+BF2=√13x .·∠EAG=∠FAB,∠AGE=∠B=90°， ∴△AEG△AFB, SAAEC AE2 4 SAAFBAF2-13 △AEG的面积为4， .∴.△AFB的面积为13， S四边形BGp=13-4=9. 2.(1)证明略； (2)N+NG的最小值为，解答过程略； (3)不变，理由略 初 模型七数学文化背景下的几何问题 例1D变式1D例212变式2B 数 例35尝6变式3号 常 模型综合练 模 1.A2.C3.B4.D5.636.3137.25 型 模型八点圆最值及隐形圆问题 例12+2变式15日-3例2 ，变式 27例34变式345-22例445- 4 变式4BD的最大值为2√13+4，解答过程略. 例5号变式54+2 模型综合练 1.C2.A3A4.D5.1.256.5- 2-2 8.解：(1)如解图1，设⊙0与AC相切于点D,连接 OD,过点O作OP⊥BC,垂足为P,交半圆O于 点F, 0 第8题解图1 22 浙江新中考 当点N与点F重合，点M与点P重合时，MN的最小 值为PF的长，为OP-OF. AC=4,BC=3,∠C=90°， ∴.AB=5. .·∠OPB=90°， .OP∥AC. 点O是AB上靠近点A的三等分点， 08=号×5-99G-98-号 .OP=5 半圆O与AC相切于点D, .OD LAC, .OD∥BC, ·86=83 OD OA1 .0D=1, 六Mw最小值为0P-0F=号-1 31 如解图，当点N在AB边上，点M与点B重合时， MN与AB重合. 经过圆心的弦最长， Mm最大值为0B+0N-9+1-号 号+号=6 .MN长的最大值与最小值的和是6； (2)如解图2，连接OC交半圆0于点N',当点N与 点N'重合时，CW的值最小，为CW'的长 B 第8题解图2 过点C作CF⊥AB于点F,由(1)知，AB=5,ON=1, 在△ABC中，血LABC=G-号，ABC= BC3 AB=5, 在R△BCF中，CP=BC·im∠ABC=3×号 号，BF==3xg-号 0F=0B-B脉=9号-会 在t△0CF中，0C=√OF+CF=3 3 学 参考答案 CNr=0C-0N=73-1, 3 六Cy的最小值为9丽-1 模型九利用两点之间线段最短求最值 例15 例2解：如解图，分别作点D关于AB,AC的对称点 D',D”,连接D'D"与AB,AC分别交于点E',F', ∴.DE+EF+DF≥D'E'+E'F'+F'D”,即DE+ EF+DF≥D'D”. 当点E与点E'重合，点F与点F'重合时，△DEF的 周长取得最小值，最小值为D'D"的长. 连接AD',AD,DE',DF',则AD'=AD”=AD ∠ABC=90°，AB=4,AC=8, .BC=√AC2-AB2=√82-42=43. :D是BC的中点， BD=28C=25, .AD=√AB2+BD2=√42+(23)2=2万. 在△AC中，wLB4C-是-专-分， .∴.∠BAC=60° .'∠BAD'=∠BAD,∠CAD=∠CAD",∠BAC= ∠CAD+∠BAD, .∠D'AD"=2∠BAC=120°. 过点A作AP⊥D'D"于点P,则∠D'AP=60°， 在R△D'AP中，DP=AD·m60°=号AD= 2 5AD= 2 ×2万=√/21， .D'D"=2D'P=2/21, ∴.DE+EF+DF≥D'D=2√2I, 故△DEF周长的最小值是2√21. D B D 例2题解图 例3√5+5例445+2 模型综合练 1.A2.B3.B4.C5.B6.D7.(4,1) 8.23 模型十利用垂线段最短求最值 例133 2 例24变式225例3C 浙江新中考 变式3 16√3+36 15 模型综合练 1.B2.B3.14.525.256.4 7.(1)EP+DP的最小值为35，解答过程略； 2 (2)2AP+PD的最小值为12，解答过程略. 模型十一主从联动问题（瓜豆原理） 例1D例22+1 模型综合练 1.C2.A3.64.2π5.5π 6.解：如解图，以BD为边作等边三角形DBH,连接 EH,过点H作HN⊥BD于点N. .·BC=5,CD=2, ∴.BD=3 △DBH是等边三角形，HN⊥BD, :DN=EN=多，DB=DH,LHDB=60, cw子 将DE绕点D按顺时针方向旋转60得到DF, .∴.DE=DF,∠EDF=60°， 中 ∴.∠EDF=∠HDB, .∠EDH=∠FDB, 在△DHE和△DBF中， 学常考模 DE=DF ∠EDH=∠FDB, DH=DB .△DHE≌△DBF(SAS), .EH=BF. .当EH有最小值时，BF有最小值.过点H作HE ⊥AC于点E',由垂线段最短可得，当EH⊥AC,即点 E与点E重合时，EH有最小值，为HE'的长 HE'⊥AC,∠ACB=90°，HN⊥DB, .四边形CNHE是矩形， ∴e=cw=子， :BF的最小值为2 7 E 第6题解图 学 参考答案 23类型2线圆最值 【建立模型】 条件 辅助线 结论 直线()，圆上一动点（点P) 过圆心作直线的垂线 线段最值 PDmnin P2D =OD-T; 直线与圆相离 PDmnx =P D=OD+r P,D重合时，PDin=0; 直线与圆相切 0 PD为直径时，PDn=2r P PDonin P2D=r-OD; 直线与圆相交 PDnns =PD=OD+r 【模型应用】 例2如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AC=8,D是边AB的中点，以BD为直径作⊙0，E是⊙0 上一动点，F是边AC上一动点，则EF的最小值为 例2题图 “3步”秒懂思路 ①寻题眼特征1：定线段：AC;特征2：动点：⊙0上一点E,求EF的最小值， ②辅助线如解图，过点0作OF⊥AC于点F,与⊙0交于点E E ③)找最值EFm=OF-r 解图 AAAAAA ASAAAAAAAAAAASA 变式2如图，点0为矩形ABCD的中心，AB=8,BC=6,⊙B的半径为2，点P是⊙B上一个动点，则△AOP 面积的最小值为 变式2题图 浙江新中考数学初中数学常考模型 29 类型3定点定长作隐形圆 【建立模型】 类型 一点作圆 三点作圆 条件 平面内，点O为定点，点B为动点，且OB长度 OA=OB=OC 固定 模型展示 点B的轨迹是以点O为圆心，OB长为半径 结论 点A,B,C均在⊙0上 的圆 【模型延伸】 拓展方向 翻折生圆 旋转生圆 在矩形ABCD中，E是AB边上的定点，F是BC 条件 将△ABC绕，点A逆时针旋转90°得到△AB'C 边上一，点，将△BEF沿EF折叠得到△B'EF 模型展示 B ,点B'的运动轨迹是以，点E为圆心，BE长为半点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心，AB(AC) 结论 径的一段圆孤（如图中的虚线圆孤） 长为半径的一段圆孤（如图中的虚线圆孤） 【模型应用】 例3如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边上的动点（不与B,C重合），连接DE,作点C关于 DE的对称点C',连接BC',则BC'的最小值为 D C E B 例3题图 变式3题图 “3步”秒懂思路 ①)寻题眼 特征1：定点：点D;动点：点C'(随点E的运动而运动)； 特征2：定点动点之间长度固定，即DC=6 ②辅助线如解图，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D,连接BD交⊙D 于点C” 解图 ③找最值BC'n=BD-CD 变式3如图，正方形ABCD的边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED,∠E=90°，点F在DE上，连接BF, 若2BE=3DF,则BF的最小值为 30 浙江新中考数学初中数学常考模型 类型4定弦定角作隐形圆 【建立模型】 一条定边所对的角是定角，则这个角的顶点轨迹是圆孤 条件 如图，在△ABC中，AB为定长，∠C为定角 模型展示 如图，当∠ACB<90°时，点C 如图，∠ACB>90°时，点C的 在优孤ACB上（不与点A,B 如图，当∠ACB=90°时，点C 结论 劣弧ACB上（不与点A,B重 在⊙0上（不与点A,B重合） 重合) 合) 解题关键 考题常以30°，45°，60°，90°，120°来考，核心关键就是画出等腰三角形 推论 构成等腰三角形(AC=BC),即，点C为AB的中，点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC 的面积最大 【模型应用】 圆4如图，已知正方形ABCD的边长为8，M为正方形内部的一个动点，连接AM,MD,且∠AMD=90°，连接 CM,则CM的最小值为 例4题图 “3步”秒懂思路 ①寻题眼 特征1：定弦：AD;定角：∠AMD=90°； 特征2：求定点C到动点M的最小值 ②辅助线 取AD中点O,以0为圆心，OA长为半径作圆，连接OC交⊙0于点M B ③)找最值CMmn=OC-OM 解图 变式4如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取 一点D,连接AD,使得△ACD面积为24，连接BD,求BD的最大值. 变式4题图 浙江新中考数学初中数学常考模型 31 类型5四点共圆作隐形圆 【建立模型】 类型 点C,D在AB的同侧 点C,D在AB的异侧 条件 ∠ADB=∠ACB=90° 模型展示 结论 ,点A,B,C,D在同一个圆上，AB为⊙0的直径 【模型延伸】 拓展方向 直径不确定的情况下，四点共圆的判定 AB为△ABC和△ABD的公共边，点C,D在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°（四边形 条件 在AB的同侧，且∠C=∠D 对角互补) 图示 结论 点A,B,C,D在同一个圆上 【模型应用】 例5如图，在△ABC中，AB=4√2，AC=32,以BC为斜边作Rt△BDC,连接AD,过点D作DE⊥AD交AB于 点E.若∠BAD=∠CBD,且cms∠BMD=子，则AD的长为 例5题图 ①)寻题眼 特征1：DE⊥AD,Rt△BDC,∠BAD=∠CBD→∠BCD+∠BED=180°； 特征2：∠BDC=90° ②辅助线如解图点B,C,D,E在以BC为直径的圆上 解图 变式5如图，正方形ABCD的边长为6，对角线交于点O,E是正方形外一点，且BE⊥CE,连接OE.若CE= 号8C,则0E的长为 D 变式5题图 32 浙江新中考数学初中数学常考模型 》 模型综合练 《 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=1,点7.如图，同一个圆中的两条弦AB,CD相交于点E.若 A,C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点 ∠AEC=120°，AC=4,则AD与BC长度之和的最小 C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点 值为 0的最大距离为 ( A.√5 B.√6 C.1+√2 D.3 第7题图 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点 O是AB上靠近点A的三等分点，半圆O与AC相 第1题图 第2题图 切，M,N分别是BC与半圆O上的动点 2.如图，BE,CF为△ABC的两条高，若AB=6,BC= (1)连接MW,求MW的最小值和最大值之和； 5,EF=3,则AE的长为 ( (2)求CW的最小值 A.5 B.4 G.31 D.4 5 3.如图，已知AB是⊙0的弦，C是⊙0上的一个动 A< 点，连接AC,BC,∠C=60°，⊙0的半径为2，则 △ABC面积的最大值是 第8题图 A.33 B.23 c.5 D.3 0. D A 第3题图 第4题图 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=AC= AD=5,BC=2,则对角线BD的长为 () A.7 B.2√23C.2√26 D.4√6 5.如图，在口ABCD中，AB=3,BC=5,E是边AB中 点，以点A为圆心，AE长为半径作⊙A,P是⊙A上 一动点，连接BP,CP,若□ABCD的面积为10，则 △BPC面积最小值为 第5题图 第6题图 6.如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD交 于点O,E为DC上一点，∠DAE=30°，过点D作 DF⊥AE于点F,连接OF,则线段OF的长 为 浙江新中考数学初中数学常考模型 33