模型七 数学文化背景下的几何问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学常考模型

.∴.△ABF≌△DAE(AAS),∴.AB=AD. .四边形ABCD是矩形， ∴.四边形ABCD是正方形； (2)解：.△ABF≌△DAE, .∴.BF=AE. .AE:EB=2:1, 设AE=2x,EB=x, .∴.BF=AE=2x,AB=3x, AF=√AB2+BF2=√13x .·∠EAG=∠FAB,∠AGE=∠B=90°， ∴△AEG△AFB, SAAEC AE2 4 SAAFBAF2-13 △AEG的面积为4， .∴.△AFB的面积为13， S四边形BGp=13-4=9. 2.(1)证明略； (2)N+NG的最小值为，解答过程略； (3)不变，理由略 初 模型七数学文化背景下的几何问题 例1D变式1D例212变式2B 数 例35尝6变式3号 常 模型综合练 模 1.A2.C3.B4.D5.636.3137.25 型 模型八点圆最值及隐形圆问题 例12+2变式15日-3例2 ，变式 27例34变式345-22例445- 4 变式4BD的最大值为2√13+4，解答过程略. 例5号变式54+2 模型综合练 1.C2.A3A4.D5.1.256.5- 2-2 8.解：(1)如解图1，设⊙0与AC相切于点D,连接 OD,过点O作OP⊥BC,垂足为P,交半圆O于 点F, 0 第8题解图1 22 浙江新中考 当点N与点F重合，点M与点P重合时，MN的最小 值为PF的长，为OP-OF. AC=4,BC=3,∠C=90°， ∴.AB=5. .·∠OPB=90°， .OP∥AC. 点O是AB上靠近点A的三等分点， 08=号×5-99G-98-号 .OP=5 半圆O与AC相切于点D, .OD LAC, .OD∥BC, ·86=83 OD OA1 .0D=1, 六Mw最小值为0P-0F=号-1 31 如解图，当点N在AB边上，点M与点B重合时， MN与AB重合. 经过圆心的弦最长， Mm最大值为0B+0N-9+1-号 号+号=6 .MN长的最大值与最小值的和是6； (2)如解图2，连接OC交半圆0于点N',当点N与 点N'重合时，CW的值最小，为CW'的长 B 第8题解图2 过点C作CF⊥AB于点F,由(1)知，AB=5,ON=1, 在△ABC中，血LABC=G-号，ABC= BC3 AB=5, 在R△BCF中，CP=BC·im∠ABC=3×号 号，BF==3xg-号 0F=0B-B脉=9号-会 在t△0CF中，0C=√OF+CF=3 3 学 参考答案模型七 数学文化背景下的几何问题 类型1弦图模型 【建立模型】 条件 模型展示 结论 D 正方形ABCD,AE⊥BF,BF⊥CG,CG⊥ ①△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH, DH,DH⊥AE B ②S年方形BCD=4S△EMB+S正方形EFGH 内弦图模型 H 正方形ABCD,E,F,G,H分别是正方 ①△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH, 形ABCD各边上的，点，正方形EFGH ②S正方形ABCD=4S△BAH+S正方卷EFGH 外弦图模型 H 正方形ABCD,E,F,G,H分别是正方 形ABCD各边上的，点，正方形EFGH, ①2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN, 正方形QMNP ②△HQE≌△EMF≌△FNG≌△GPH 内外组合型弦图模型 【模型应用】 例1如图1，用四个全等的直角三角形（△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正 方形ABCD,就是著名的“赵爽弦图”.第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标如图2所示，会标中心的 图案就来源于此.若图1中正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，现将这四个直角三角形拼 成图3，则图3中大正方形的面积为 () ICME-14 B 图1 图2 图3 例1题图 A.34 B.35 C.44 D.49 归纳总结+++十+叶十++十十十++十++十十+++十+++++++++十十十十++十十 识别模型：一个大正方形内有四个全等的直角三角形和一个小正方形时考虑用赵爽弦图 模型结论：SAADH=SACc=S△GBr=SARAE,SE方带EFm=(AE-AH)子=(DH-DG)2=（CG-CF)2=(BF- BE)2,SE方形ABCD=AD=CD=AB2=BC2 +十w十…十十w十+十w十十十十十一十十“十十+++w+十+十十十一十十十十w++w十4十4十十…十十w十十4十十十n+十w十4+ 变式1我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵 爽弦图”.如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正 方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S.若S1+S2+S,=12, 则下列关于S1,S2,S3的说法正确的是 A.S1=2 B.S2=3 C.S3=6 D.S1+S3=8 变式1题图 24 浙江新中考数学初中数学常考模型 类型2勾股树 【建立模型】 条件 以直角三角形的三条边为边，向外作同样的图形 作等边三角形 作等腰直角三角形 作正方形 作半圆 模型展示 结论 S1+S2=S3 【结论证明】以等边三角形为例 如解图，过点D作DM⊥AC于点M. △ACD是等边三角形…AM=MC= 在Rt△MDM中，DM=AM·tan∠DAC=AM·tan60°= b 2 宁04C-号孕×8-厚同题可得义要8= 41 解图 ,+,=56+5。=5(a+b). 4 4 4 又在Rt△4BC中，02+2=C2,S+,=(a2+)=5,S+S,=89 4 【模型应用】 例2如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A, B,C,D的面积分别是3,2,3,4，则最大的正方形E的面积是 B E 例2题图 归纳总结++++++++++ 识别模型：由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，考虑勾股树模型 模型结论：SA+Sa+Sc+SD=SE 变式2如图，∠AED=90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的 面积是 DJE 变式2题图 A.4π B.8π C.16π D.32m 浙江新中考数学初中数学常考模型 25 类型3七巧板 【建立模型】 2 图示 2W2 三角形 四边形 类型 直角边 斜边 面积 个数 类型 边长 对角线 面积 个数 小等腰直 1 1 2 2 小正方形 1 √2 角三角形 中等腰直 √2 2 1 平行四边形 1和2 1和5 角三角形 大等腰直 2 22 大正方形 22 4 P 角三角形 常出现角度 45°，90°，135° 【模型应用】 例3(2023温州中考)图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，2，现将它剪拼成一个“房 子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A,E,D,B 在圆上，点C,F在AB上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 若点A,N,M在同一直线上，AB∥PN, DE=6EF,则题字区域的面积为 图1 图2 例3题图 变式3(2025舟山三模)数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰Rt △ABE和等腰Rt△BCF,③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH,⑤是正方形EFGH.这副五巧板恰好拼成互不 HG 的值为 重養也无缝隙，且对角互补的四边形ACD若6-子，则2 3 F ④ ⑤ H E② ① 26 浙江新中考数美3翘鸣数学常考模型 》 模型综合练 1.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅 5.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角 “弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，大正方形 形，再以直角三角形的两直角边为边分别向外作 ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形 正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复 组成，若∠ADE=∠AED,AD=2√5，则△ADE的面 数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别 积为 是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树， 按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中 正方形的个数为 第1题图 第一代勾股树 第二代勾股树 A.6 B.5 C.25 D.2√10 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC的 三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其 中∠H,∠E,∠F是直角，若斜边AB=3,则图中阴 第三代勾股树 影部分的面积为 () 第5题图 6.魏朝时期，刘徽利用“以盈补虚，出入相补”的方 法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相 补，各从其类”证明了勾股定理.如图，四边形AB CD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形， BF交CD于点E,若DE=2,CE=4,则BF的长为 第2题图 M股 A.1 B.2 c号 D.√13 青出 出 D 3.如图，已知S1,S2和S?分别是以Rt△ABC的斜边 G 青 AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则 青出 A B 青入 S1,S2和S3满足的关系式为 () 朱 弦 A.S1<S2+S3 B.S1=S2+S3 H C.S1>S2+S3 D.S1=S2·S3 第6题图 D 7.(2025温州校级模拟)七巧板是中国古代人民创造 的益智玩具，被誉为“东方魔板”.小明用一个边长为 4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板 S 拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图.过该图形的A,B,C S2 三个顶点作圆，则这个圆的半径长为 第3题图 第4题图 ⑤ 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的 ① 三条边为边向外作正方形.连接EB,CM,DG,CM 分别与AB,BE相交于点P,Q.若∠ABE=30°，则 ③ ④ ② DG ① ③ M的值为 ( ⑥ ③) ⑦ ⑤ ⑦⑥ B B.6 C.4 D.5-1 图1 图2 2 第7题图 浙江新中考 数学初中数学常考模型 27