模型五 相似三角形中常考模型-【练客中考】2026年浙江新中考数学常考模型

模型五相似三角形中常考模型 类型一线三等角模型 【建立模型】 类型 同侧型 异侧型 两个三角形在同侧，点P在线段AB上，∠1=两个三角形在异侧，点P在线段AB的延长线上， 条件 ∠2=∠3 ∠1=∠2=∠3 0 1 B P B P 锐角一线三等角 一线三垂直 模型展示 锐角一线三等角 一线三垂直 2/3 B 钝角一线三等角 钝角一线三等角 结论 △APC∽△BDP 【结论证明】 同侧一线三等角 异侧一线三等角 ∠CPB是△ACP的外角，∴.∠CPB=∠1+∠C, :∠1=∠C+∠APC,∠3=∠APC+∠BPD, 即∠2+∠BPD=∠1+∠C. ∠1=∠3， 又.∠1=∠2， ∴.∠C=∠BPD. ∴.∠BPD=∠C. ∠1=∠2，∴.∠CAP=∠PBD, ∠1=∠3，∴.△APC∽△BDP. .△APC∽△BDP. 【模型应用】 例1如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB= →思路分析 ∠ACD=45°，DE∥BC交AC于点E.若ED=6√2， →为什么作 BC=4,2.则品的值为 设问求什么：铝为值 解题有什么：∠BAD=∠ACB=∠ACD=45°，ED= 62,BC=42 解题缺什么：缺少与AB,AD有关的线段长或特殊 图形 →怎么作 寻题眼： 例1题图 ①一线：等角所在的直线AC 做题笔记 ②等角：∠BAD=∠ACB=∠ECD=45° 怎么作：想到在AC上取一点F,连接BF,使得 ∠CFB=45° →得到什么 △EAD∽△FBA 浙江新中考 数学初中数学常考模型 17 变式1如图，在△ABC中，AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点，且∠APD=∠B.若AB=10,BC=12,当 PD∥AB时，则BP的长为 变式1题图 类型2旋转“手拉手”模型 【建立模型】 条件 在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC,将△ADE绕，点A旋转 模型展示 结论 △ADE∽△ABC.△ADB∽△AEC 【结论证明】 证明：DE∥BC,∴.△ADE△ABC, 船投即把把 由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE, .△ADB△AEC. 【模型应用】 例2如图，在△ABC与△DEC中，∠ACB=∠DCE= →思路分析 90°，∠A=∠CDE=45°，边BC和DE交于点F,点D →为什么作 在边AB上，Bm=34D,则2的值为 设问求什么器的位 解题有什么：∠ACB=∠DCE=90°，∠A=∠CDE= 45°，BD=3AD →怎么作 寻题眼 例2题图 ①△ABC与△DEC共顶点C ②△ABC与△DEC均为等腰直角三角形 怎么作：连接BE ◆得到什么 △ACD∽△BCE 变式2(2025温州龙湾区开学改编)如图，在△ABC和△AED中，AB·AD=AC·AE,∠BAD=∠CAE.若 SAAED:SAABC=9:16,DE=6,则BC的长为 变式2题图 18 浙江新中考数学初中数学常考模型 类型3对角互补模型 【建立模型】 条件 ∠AOB=∠DCE=909 A 模型展示 D G E B B 辅助线 作法1：过点C作CF⊥OA,CG⊥OB,垂足分别作法2：作∠OCF=∠DCE或过点C作CF⊥OC 作法 为F,G 交OB于点F 结论 △ECG△DCF △CFE∽△COD 【结论证明】以作法1为例 如解图，过点C作CF⊥OA,CG⊥OB,垂足分别为F,G, A 易得四边形FOGC为矩形，.∠FCG=90°. D .·∠DCF+∠DCG=90°，∠GCE+∠DCG=90°， ∴.∠DCF=∠GCE. G E .∠CFD=∠CGE=90°，∴.△ECG∽△DCF. 解图 【模型应用】 例3将两个等腰直角三角板按如图所示放置，点E →思路分析 在AC上，G,H分别为边AB,BC上的点.若GE= →为什么作 2BH,奥则瓷的值为】 设问求什么：铝均值 解题有什么：GE=2EH →怎么作 寻题眼： 对角互补：∠DEF=90°，∠ABC=90° 怎么作：过E作EM LAB于点M,作EN LBC于点N 例3题图 →得到什么 △EMG∽△ENH 变式3-1【一题多解】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,D为BC上一点，以点D为顶点的角的 两边分别交AB,AC于点E,F,且∠EDF=90°，当DE=2DF时，则BD的长为 D 变式3-1题图 变式3-2如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，点M,N分别在边AB,BC上，且PM⊥PN 求证微- 变式3-2题图 浙江新中考数学初中数学常考模型 19 》 、模型综合练 1.如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE= 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，tan∠ABC= 90°，∠ABC=∠DEC=30°，连接AD,BE.若AC= 多，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角a(0°< 3,AD=4,则线段BE的长是 () a<90)得到△AB'C',连接BB',CC',则△CAC与 △BAB'的面积之比等于 第1题图 B D 4.33 B.35 C.43 D.55 4 第5题图 第6题图 2.如图，AB=3,BD⊥AB,AC⊥AB,且AC=1,E是线 6.如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，BC= 段AB上一动点，过点E作CE的垂线，交射线BD 2√3，D为BC边上一动点，点E在边AB上，且 于点F,则BF的长的最大值是 () ∠ADE=30°，设BD=x,BE=y,则y关于x的函 1 数解析式为 C.2 0.3 7.如图，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=1,AD= D DE=,DGC=3,连接4C,BF,则的值为 第2题图 3.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E是DC延长 线上一点，连接BE,过点E作EF⊥BE,与AD的延长 第7题图 第8题图 线交于点F.若CE=2,则DF的长为 8.(2024宁波模拟)如图，在正方形ABCD中，G为 B BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A.若 ∠CDG=a,则∠AHF= ;若AH=3, GC=2,则△EFH的面积为 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC= 8,D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连接 第3题图 DM.以DM为直角边作直角三角形DEM,使得 4.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F为 ∠DEM=30°，斜边DE所在直线交射线MC于点 AB边上一点，且AF=2BF,E为射线BC上一点， F.若△MDF的面积是△MEF面积的3倍，则CM ∠EDF=120°，则 的长为 第4题图 第9题图 20 浙江新中考数学初中数学常考模型∠BAC=120°， ∴.∠ACB+∠B=60°， ∴.∠ECD'=∠ACB+∠D'CA=60°， cc=gc=竖0rc=9 EC=BC-BD-DE-CC=3-2-DE- 32-DB. 2 ∠BAD+∠EAC=60°， ·.∠EAD'=∠CAD'+∠EAC=∠BAD+∠EAC= 60°=∠EAD. ·EA=EA,AD'=AD, ∴.△AD'E≌△ADE(SAS),∴.D'E=DE. 在Rt△D'EG中，由勾股定理得D'G2+EG2=D'E2, (产+(32-0e)2=DE=0e, 解得DE=√2. 变式3证明略。 例4解：如解图，连接AD,过点D分别作DH⊥AC于 点H,DG⊥AB于点G,过点E作EP⊥BC于点P. D 例4题解图 :∠EGD=∠FHD=∠AHD=90°， ∴.∠GDH=180°-∠BAC=120°=∠EDF, .∴.∠GDE=∠HDF. AD⊥BC,.AD平分∠BAC, .DG=DH. r∠EGD=∠FHD 在△DEG和△DFH中，DG=DH L∠GDE=∠HDF .∴.△DEG≌△DFH(ASA), ∴.DE=DF=6. ∠BDE=45°， .EP-DE=32 .∠B=60°， BE=2EP=2/6 3 变式482 模型综合练 1.C2.D3.C4.B5.A6.107.1cm2 8.2√万9.3√2 浙江新中考 模型五 相似三角形中常考模型 例126+2 25 例2√5变式28 6 变式1 例32 变式3-13 变式3-2证明：如解图，在CW上取点Q使 得PN=PQ: .:∠B+∠BMP+∠MPN+∠PNB=360°，∠B+ ∠MPN=90°， .∴.∠BMP+∠BWP=180° ∠AMP+∠BMP=180°， .∴.∠AMP=∠BNP PN=PO, ∴.∠PNQ=∠PQW ∠PWQ+∠PWB=180°，∠PQW+∠PQC=180°， .∠AMP=∠PQC. .∠BAC=∠BCA=45°， .∴.△AMP∽△CQP, 品兴兴 D M B NO 初中数学常考模 变式3-2题解图 模型综合练 1.C2.A3.34.3 1 5.9:46.y=- + 7.3 8.90°-；39.5 模型六特殊四边形中常考模型 例15-1 3 变式1 12√13 17 例293 4 变式2-1D变式 2-2A 模型综合练 1.(1)证明：四边形ABCD是矩形， .∴.∠DAB=∠B=90. .DE⊥AF, .∴.∠DAB=∠AGD=90°， .∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°， .∠BAF=∠ADE, ∠BAF=∠ADE 在△ABF和△DAE中 ∠ABF=∠DAE, AF=DE 学 参考答案 21