模型四 全等三角形中常考模型-【练客中考】2026年浙江新中考数学常考模型

模型四 全等三角形中常考模型 类型1一线三等角模型 【建立模型】 类型 同侧型 异侧型 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或点P在线段AB的延长线上，∠1=∠2=∠3， 条件 AC=BP或CP=PD) AP=BD(或AC=BP或CP=PD) D 42 441 3B 1 B C 锐角一线三等角 锐角一线三等角 D D 模型展示 1\2 3 19B 一线三垂直 一线三垂直 D 23 A P B 钝角一线三等角 钝角一线三等角 结论 △APC≌△BDP 【结论证明】 点P在线段AB上（同侧型） 点P在线段AB的延长线上（异侧型） ,点P在线段AB上， 点P在线段AB的延长线上， ∴.∠APC+∠2+∠DPB=180°. ∴.∠1=∠C+∠APC, 在△APC和△BDP中，∠1+∠APC+∠C=180°， ∠2=∠D+∠BPD, ∠DPB+∠3+∠D=180°. ∠3=∠BPD+∠APC. 又：∠1=∠2=∠3， ∠1=∠2=∠3， ∴.∠DPB=∠C,∠APC=∠D. .∠BPD=∠C,∠APC=∠D. 又：AP=BD(或AC=BP或CP=PD), AP=BD(或AC=BP或CP=PD), ·.△APC≌△BDP. ..△APC≌△BDP 【模型延伸】 延伸模型 (三垂直型) 10 浙江新中考数学初中数学常考模型 【模型应用】 例1如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，BD=1,以AD为边向右作等边△ADE,连接CE, ∠ECD=60°，CE=3,求△ABC的面积. ◆思路分析 ◆自主作答 →为什么作 设问求什么：△ABC的面积 解题有什么：BD=1,CE=3 解题缺什么：缺CD的长和AB的长，需进行线段 B D 转化 例1题图 →怎么作 寻题眼： ①一线：等线段重合端点D所在的直线BC ②等角：∠ADE=∠ECD=60° ③等线段：AD=DE 怎么作：想到延长CB至点F,连接AF,使∠F=60 →得到什么 △DEC≌△ADF 变式1如图，在四边形ACBE中，AC=BC,AC⊥BC,CE⊥BE,过点A作AD⊥CE,垂足为D.若BE=2,DE=6, 则四边形ACBE的面积是 变式1题图 类型2旋转“手拉手”模型 【建立模型】 △AOB和△COD均是等腰三角△AOB和△COD均是等腰直角△AOB和△COD均是等边三 条件 形，0A=0B,0C=0D,∠A0B= 三角形，OA=OB,OC=OD,连接角形，连接AC,BD交于点E, ∠COD,连接AC,BD AC,BD 连接OE 变化 将△COD绕点O旋转一定角度后，连接AC,BD(称为“拉手线”，左手拉左手，右手拉右手) 模型展示 △AOC≌△BOD; △A0OC≌△BOD; △AOC≌△BOD; 结论 ∠AEB=60°； AC=BD AC⊥BD EO平分∠AED 浙江新中考数学初中数学常考模型 11 【结论证明】 :∠AOB=∠COD, ∴.∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC, ∠AOC=∠BOD. OA=OB 在△AOC和△BOD中 ∠AOC=∠BOD. 10C=0D ∴.△AOC≌△BOD(SAS),.AC=BD. 【模型应用】 例2如图，△ABC是边长为12的等边三角形，CD为AB边上的高，E为CD的中点，连接AE,以AE为边向右 作等边△AEF,连接CF,求CF的长. →思路分析 →自主作答 →为什么作 设问求什么：CF的长 解题有什么： ①CD为AB边上的高，E为CD的中点 ②等边△ABC的边长为12 例2题图 解题缺什么：与CF有联系的已知线段 →怎么作 寻题眼： ①△ABC与△AEF共顶点A ②△ABC与△AEF均为等边三角形 怎么作：想到连接BE ◆得到什么 △CAF≌△BAE 变式2如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上，CM为 △DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系， 变式2题图 12 浙江新中考数学初中数学常考模型 类型3半角模型 【建立模型】 类型 120°含60° 90含45° 2a含a ∠BDC=120°， ∠BAC=90°， ∠BAC=2a, 条件 BD=CD, AB=AC, AB=AC, ∠EDF=∠A=60° ∠DAE=45° LDAE=2 1 BAC=a 模型展示 609 B D B4 D 模型变形 609 B D E 60° D 旋转90°变形后 旋转2α变形后 旋转120°变形后 ①△ABD≌△ACF, ①△BDE≌△CDG, ①△ABD≌△ACF, △ADE≌△AFE; 结论 △DEF≌△DGF; △ADE≌△AFE; ②LECF=90°； ②EF=BE+FC ②ㄥECF=180°-2ax ③DE2=BD2+EC 【结论证明】以120°含60°为例 以点D为旋转中心，将线段DE按顺时针方向旋转120°到DG,连接CG,则有DE=DG,∠EDG=120°. .∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=120°，.∠BDE=∠CDG. BD=CD, 在△BDE和△CDG中， ∠BDE=∠CDG, DE=DG, ∴.△BDE≌△CDG(SAS),∴.BE=CG,∠DBE=∠DCG. :∠A=60°，∠BDC=120°，∴.∠ABD+∠ACD=180° .∠ABD=∠DCG,.∠ACD+∠DCG=180°， ∴F,C,G三点共线 ·∠EDF=60°，∠EDG=120°， .∴.∠GDF=120°-60°=60°. DE=DG, 在△EDF和△GDF中，{∠EDF=∠GDF=60°， DF=DF, .△EDF≌△GDF(SAS), .EF=GF=CG+FC=BE +FC. 浙江新中考数学初中数学常考模型 13 【模型延伸】 拓展方向 特殊四边形中的“半角”模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 正方形ABCD,∠EAF=45° 菱形ABCD,∠BAD=120°，∠EAF=60° 45 60 模型展示 B D 459 模型变形 60 G B E 绕，点A顺时针旋转90° 绕，点A顺时针旋转120° ①△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF; ①△ABG≌△ADF,△AGE≌△AFE; 结论 ②△AEF为等边三角形（连接AC,可得 ②EF=BE+DF △AEC≌△AFD) 【模型应用】 例3如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D,E在边BC上，且LDAE=60°.若BD=2,BC=32,求 DE的长. →思路分析 →自主作答 →为什么作 设问求什么：DE的长 解题有什么： B D ①AB=AC,∠BAC=120°，∠DAE=60° 例3题图 ②BD=√2，BC=3√2 解题缺什么：缺CE的长，需进行线段转化 ◆怎么作 寻题眼： ①共顶点：△ABC与△ADE共顶点A ②半角：∠BAC=2∠DAE 怎么作：想到将△ABD绕点A逆时针旋转120°， 得到△ACD',连接D'E ◆得到什么 △ABD≌△ACD' 变式3如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，D,E分别为边BC上的点，且∠DAE=45°，求证DE2= BD2+CE2. B D E 变式3题图 14 浙江新中考数学初中数学常考模型 类型4对角互补模型 【建立模型】 类型 90°角的对角互补模型 60°，120°角的对角互补模型 条件 ∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC ∠ABC=120°，∠ADC=60°，BD平分∠ABC 0 D 模型展示 B B 过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥BA交BA的 过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥BA交BA 延长线于点F 的延长线于点F ①AD=CD;②AB+BC=BD; 结论 ①AD=CD;②AB+BC=V2BD;③S四边形BCD= ③Sasm=5D 4 解题思路 过顶，点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角度，构造特殊三角形 【结论证明】以90°角的对角互补模型为例 如解图，过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F. ,BD平分∠ABC,.DE=DF.,∠ABC=∠ADC=90°，∴.∠BAD+∠C=180. ∠BAD+∠DAF=180°，.∠DAF=∠C. ∠F=∠DEC=90°，△DFA≌△DEC(AAS),∴.AD=CD,AF=CE, .AB BC=AB BE+CE =AB BE +AF=BF BE. 易证四边形DFBE为正方形，.BF=BE=乙BD,AB+BC=BF+BE=2BD. 解图 2 由三角形全等可知SAom-m=SE6=BF=(受BD)2-BD 【模型应用】 例4如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，E,F分别是AB,AC边上的点，且∠EDF=120°.若∠BDE= 45°，DF=6,求BE的长. →思路分析 →自主作答 →为什么作 设问求什么：BE的长 解题有什么： ①等边△ABC,BC的中点D,∠EDF=120° ②∠BDE=45°，DF=6 B 解题缺什么：缺DE的长，需进行线段转化 例4题图 →怎么作 寻题眼： ①对角互补：∠EDF=120°，∠A=60° ②角平分线：点D是BC的中点，AD是角平分线 怎么作：想到连接AD,过点D分别作DH⊥AC于点 H,DG⊥AB于点G ◆得到什么 △DEG≌△DFH 浙江新中考数学初中数学常考模型 15 变式4如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD.若四边形ABCD的面积是64，则AC的长 变式4题图 》 模型综合练 《 1.等边三角形ABC和等边三角形ADE的位置如图 5.(2025浙江G3联盟一模)如图，在边长为6的正 所示.若∠1=25°，则∠2的度数为 方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上， A.15° B.25° C.35° D.45° 且∠EAF=45°，连接EF,则BF的长为() A.2 2 C.3 D.22 D dE B B D 第1题图 第2题图 2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB>BC,点 B C D在边BC上，CD=2BD,点E,F在线段AD上，连 第5题图 第6题图 接BE,CF,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E 9,则△ABE与△CDF的面积之和为 () 是AB上一点，且∠BDE=90°，DB=DE=AE.若 A号 B.2 C.3 D.6 BC=5,则AD的长是 7.如图，将5个边长为1cm的正方形按如图所示摆 3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D 放，点A1,A2,A3,A4分别是正方形的中心，则阴影 为AC边的中点，过D点作DE⊥DF,交AB于点 部分的面积为 E,交BC于点F.若AE=4,FC=3,则EF的长为 ( E 第7题图 第8题图 8.(2025杭州校级模拟)如图，菱形ABCD,∠B= 60°，点E为BC上一点，连接AE,将AE绕着点E 第3题图 顺时针旋转60°，使点A落在CD上点F处.若 A.2 B.3 C.5 D.7 DF=4,CF=2,则AE的长为 4.如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB,AC⊥BC, 9.(2025杭州校级二模)如图，在边长为4的正方形 且AD=CD=AB=2,则BC的长为 () ABCD中，E在BC边上，连接AE,将线段AE绕点E D 顺时针旋转90得到线段FE,连接AF,交CD于点G, 连接CR若DG=号，则CF的长为 第4题图 A.1 C. 2 D. 5 第9题图 16 浙江新中考数学初中数学常考模型4.初中数学 模型一反比例函数中的面积问题 例110变式1C例2A变式2C 例33变式3D例4B变式48 例5B变式56 模型综合练 1.C2.D3.D4.-65.26.107.28.12,9 模型二遇中点如何构造辅助线 模型综合练 1.V而2.55 2 3.194.55.42 6.(1)证明略；(2)AD=6,解答过程略. 7.证明略 8.∠CAD=45°，证明略 初 模型三遇角平分线如何构造辅助线 数 例D 学 常 模型综合练 考 1.22.23.0.64.8+455.356.15 2 型 7.46°8.39.210.证明略. 模型四全等三角形中常考模型 例1解：如解图，延长CB至点F,连接AF,使∠F=60° B D 例1题解图 .·△ADE是等边三角形，∴.AD=DE,∠ADE=60°. .·∠F+∠DAF=∠ADE+∠EDC, ∴.∠DAF=∠EDC ∠ECD=∠F 在△DEC和△ADF中 ∠EDC=∠DAF. DE =AD .∴.△DEC≌△ADF(AAS), .·.DC=AF,EC=DF=3. BD =1...BF DF BD =2. ∠ABC=90°， ∴.LABF=90°， ..∠BAF=30°， 20 浙江新中考 常考模型（正面） ..DC=AF=2BF=4,AB=23, .BC=BD+DC=1+4=5, Sam=2BC~AB=7×5×23=53 变式140 例2解：如解图，连接BE. B 例2题解图 :△ABC与△AEF均为等边三角形， .AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=60°， .∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°， .∠BAE=∠CAF. AC=AB 在△CAF和△BAE中 ∠CAF=∠BAE, LAF=AE ·.△CAF≌△BAE(SAS), .CF BE. .AC=12,CD⊥AB, cD=AC·sin60°=12×2=6V3 :E为CD的中点， DE-cD35 CD为AB边上的高， Bm=24B=2×12=6, 在Rt△BDE中，BE=√BD2+DE=3万， CF=BE=3万. 变式2AE=BE+2CM,解答过程略 例3解：如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°， 得到△ACD',连接D'E,过点D'作D'G⊥BC于 点G. B D EG 例3题解图 由旋转知△ABD≌△ACD', .D'C=BD=√2，∠D'CA=∠B. 学 参考答案 ∠BAC=120°， ∴.∠ACB+∠B=60°， ∴.∠ECD'=∠ACB+∠D'CA=60°， cc=gc=竖0rc=9 EC=BC-BD-DE-CC=3-2-DE- 32-DB. 2 ∠BAD+∠EAC=60°， ·.∠EAD'=∠CAD'+∠EAC=∠BAD+∠EAC= 60°=∠EAD. ·EA=EA,AD'=AD, ∴.△AD'E≌△ADE(SAS),∴.D'E=DE. 在Rt△D'EG中，由勾股定理得D'G2+EG2=D'E2, (产+(32-0e)2=DE=0e, 解得DE=√2. 变式3证明略。 例4解：如解图，连接AD,过点D分别作DH⊥AC于 点H,DG⊥AB于点G,过点E作EP⊥BC于点P. D 例4题解图 :∠EGD=∠FHD=∠AHD=90°， ∴.∠GDH=180°-∠BAC=120°=∠EDF, .∴.∠GDE=∠HDF. AD⊥BC,.AD平分∠BAC, .DG=DH. r∠EGD=∠FHD 在△DEG和△DFH中，DG=DH L∠GDE=∠HDF .∴.△DEG≌△DFH(ASA), ∴.DE=DF=6. ∠BDE=45°， .EP-DE=32 .∠B=60°， BE=2EP=2/6 3 变式482 模型综合练 1.C2.D3.C4.B5.A6.107.1cm2 8.2√万9.3√2 浙江新中考 模型五 相似三角形中常考模型 例126+2 25 例2√5变式28 6 变式1 例32 变式3-13 变式3-2证明：如解图，在CW上取点Q使 得PN=PQ: .:∠B+∠BMP+∠MPN+∠PNB=360°，∠B+ ∠MPN=90°， .∴.∠BMP+∠BWP=180° ∠AMP+∠BMP=180°， .∴.∠AMP=∠BNP PN=PO, ∴.∠PNQ=∠PQW ∠PWQ+∠PWB=180°，∠PQW+∠PQC=180°， .∠AMP=∠PQC. .∠BAC=∠BCA=45°， .∴.△AMP∽△CQP, 品兴兴 D M B NO 初中数学常考模 变式3-2题解图 模型综合练 1.C2.A3.34.3 1 5.9:46.y=- + 7.3 8.90°-；39.5 模型六特殊四边形中常考模型 例15-1 3 变式1 12√13 17 例293 4 变式2-1D变式 2-2A 模型综合练 1.(1)证明：四边形ABCD是矩形， .∴.∠DAB=∠B=90. .DE⊥AF, .∴.∠DAB=∠AGD=90°， .∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°， .∠BAF=∠ADE, ∠BAF=∠ADE 在△ABF和△DAE中 ∠ABF=∠DAE, AF=DE 学 参考答案 21