7.2.3 同角三角函数的基本关系式（题型专练）高一数学人教B版必修第三册

7.2.3 同角三角函数的基本关系式 题型一 已知正弦求其它函数（式）值 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】 或 或 5．【答案】答案见解析 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由同角三角函数基本关系计算即可求解. 【详解】因为，所以角是第三或第四象限角， 若角是第三象限角，则，； 若角是第四象限角，则，. 题型二 已知余弦求其它函数（式）值 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】/ 题型三 已知正切求其它函数（式）值 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】/ 5．【答案】 题型四 利用平方关系求参数 1．【答案】C 2．【答案】或 3．【答案】0或1 4．【答案】 5．【答案】 【知识点】利用平方关系求参数 【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值. 【详解】解：由， 易得， 解得或1. 由，所以 ①当时，，，不合题意，舍去； ②当时，，，符合题意. 综上，. 题型五 正、余弦齐次式的计算 1．【答案】B 2．【答案】A 3.【答案】(1). (2)9 【知识点】正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系计算可得. （2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】（1）由，，即，解得. 因为是第二象限角，所以. 因为，所以. （2）. 3．【答案】（1）； （2），； （3）. 【知识点】正、余弦齐次式的计算、已知正（余）弦求余（正）弦、根据图形写出角（范围） 【分析】（1）根据任意角的概念和阴影部分表示的角，数形结合求出答案； （2）利用同角三角函数关系和商数关系求解即可； （3）利用齐次化求解即可. 【详解】（1）角以x轴正半轴为始边，终边落在如图阴影部分（包括边界）内，用弧度制写出角的集合为； （2）因为角是第三象限角，且， 所以， ； （3） 题型一   sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 1．【答案】ACD 2．【答案】 3．【答案】/ 4．【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据与的关系即可求解. 【详解】因为， 两边平方得， 即， 解得. 故答案为：. 5．【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方关系求参数、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）根据根与系数的关系结合同角三角函数的关系求解即可； （2）先判断的符号，然后由，化简后结合（1）的结果可求得答案. 【详解】（1）因为是方程（为常数）的两个根， 所以， 由， 得，解得； （2）由（1）得， 又，， 所以，所以， 所以. 题型二 由条件等式求函数（式）的值 1．【答案】/ 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】/ 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】(1)2 (2)2 【知识点】利用平方关系求参数、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）应用齐次式弦化切计算求解； （2）应用同角三角函数关系结合齐次式弦化切计算求解； 【详解】（1）因为，所以， 化简得，故； （2）因为， 所以. 8．【答案】 【知识点】由条件等式求正、余弦 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，结合求出这两个量的值，即可得解. 【详解】因为，则，， 由已知条件可得，解得， 因此，. 题型一   同角公式的综合应用----化简、求值 1．【答案】 2．【答案】(1)； (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由条件等式求正、余弦、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）根据终边上点得，由齐次式化弦为切即可求值； （2）由平方关系及已知求得、，即可求值. 【详解】（1）由题设，，则， 所以； （2）由题设，则， 所以，，则， 所以， 所以. 3．【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）由题知，再将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限， ，. （2）因为，所以， 所以. （3）因为， 等式两边同时平方可得，， 所以，又， 所以，又， 所以，则，， 所以， 所以. 4．【答案】（1），；或，； （2）， 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据题意得是第二象限角或第三象限角，进而根据得，再分象限讨论求解即可； （2）根据求解即可. 【详解】解：（1）由，故是第二象限角或第三象限角， 因为，所以， 所以，当是第二象限角时，，； 当是第三象限角时，，； （2）因为， 所以，即， 所以， 所以 5．【答案】（1）；（2），（3）0 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）由和的关系即可求解.； （3）由角的终边所在直线，可得角是第二或第四象限角，分别讨论正弦和余弦的符号，化简即可. 【详解】（1）在第二象限， ，. （2）将两边平方得， 所以， 又∵，，又 ， ∴， 所以， 所以， 则. （3）， ∵角的终边落在直线上，∴是第二或第四象限角， 当是第二象限角时，， 当是第四象限角时，， 综上，的值为. 6．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解； （2）由（1），可得，则，从而可得出答案； （3）根据，结合正余弦的符号去掉根号，化简，从而可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为，，所以， 所以原式=； （3）由（2）得， 则 . 题型二   同角公式的综合应用----证明三角恒等式 1．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（1）证明见解析 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、特殊角的三角函数值 【分析】（1）（2）利用平方差公式及平方关系、特殊三角函数值求值，并确定三者关系； （3）应用平方差公式及平方关系证明即可. 【详解】（1）； （2）； （3），得证. 2．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】（1）在右边分式的分子和分母同时乘以，结合同角三角函数的基本关系化简可证得所求不等式成立； （2）设，，则，，由已知等式化简得出，然后代入所证不等式证明即可. 【详解】（1）右边 左边， 故原等式成立； （2）设，，则，， 由，得，即． 所以，故． 3．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 4．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明. （2）利用切化弦结合同角三角函数的平方关系即可证明. （3）利用诱导公式结合同角三角函数的平方关系即可证明. 【详解】（1） 故成立. （2）因为， 所以. （3） ， ， 故等式左边，等式成立. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 题型一 已知正弦求其它函数（式）值 1．（25-26高一上·宁夏·月考）已知且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数关系得，进而得. 【详解】因为，， 所以， 因为是第三象限角， 所以， 所以. 故选：C 2．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知，是第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据题目条件利用三角函数的性质与同角三角函数关系计算. 【详解】已知，且是第二象限角，则， 由可得：. 故选：D 3．（25-26高一上·宁夏固原·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先利用平方关系求，再利用商数关系求出即可. 【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数， 所以， 则 . 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，则 ， ． 【答案】 或 或 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用三角函数的基本关系求值. 【详解】因为，所以角为第三或第四象限角. 若为第三象限角，则，所以， ； 若为第四象限角，则，所以， . 故答案为：或；或. 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知，求，的值. 【答案】答案见解析 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由同角三角函数基本关系计算即可求解. 【详解】因为，所以角是第三或第四象限角， 若角是第三象限角，则，； 若角是第四象限角，则，. 题型二 已知余弦求其它函数（式）值 1．（25-26高一上·河南洛阳·月考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先确定所在象限，再求出和，代入求值. 【详解】由，，可知是第二象限角， 则，， 所以. 故选：C. 2．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先利用平方关系求得，再利用商数关系求解. 【详解】因为，且， 所以， 则， 故选：C 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数关系求解即得. 【详解】由，得是第二象限角， 则，， 所以. 故选：A 4．（25-26高一上·山东济南·月考）已知，，则 . 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 又因为，则. 故答案为：. 题型三 已知正切求其它函数（式）值 1．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用弦切互化和齐次式化简求解. 【详解】已知，则. 故选：B 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简所求式子，从而求得正确答案. 【详解】. 故选：A 3．（25-26高三上·河北保定·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由同角三角函数关系得，进而利用求解即可. 【详解】解：由，知， 由题意，即， 由，得， 所以. 故选：A. 4．（25-26高三上·上海·月考）已知，且在第一象限，则 ． 【答案】/ 【知识点】由条件等式求正、余弦 【分析】根据三角函数的基本关系求解即可． 【详解】因为，所以，又，可得，因为在第一象限，，所以． 故答案为：． 5．（25-26高一上·上海·月考）已知是第三象限的角，则 ． 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用同角三角函数的基本关系建立方程组，进而求解即可. 【详解】因为是第三象限的角，所以， 因为，所以， 联立方程组，解得（正根舍去）， 故答案为： 题型四 利用平方关系求参数 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由，结合求解，再由充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 又，由，可得， 所以； （2）因为，又， 当时，，由，可得，此时， 当时，，由，可得，此时， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ． 【答案】或 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、利用平方关系求参数 【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值. 【详解】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【知识点】利用平方关系求参数、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 4．（24-25高一·上海·随堂练习）若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用平方关系求参数、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据平方关系及条件可得，解得计算可得. 【详解】因为 ， ∴，又，∴， 即的取值范围是． 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 【答案】 【知识点】利用平方关系求参数 【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值. 【详解】解：由， 易得， 解得或1. 由，所以 ①当时，，，不合题意，舍去； ②当时，，，符合题意. 综上，. 题型五 正、余弦齐次式的计算 1．（24-25高一上·福建福州·月考）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由条件等式求正、余弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【详解】法一：利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可. 法二：由题意先求得，进而求得的值，可求得的值，从而可求得的值. 【分析】法一：因为是三角形的内角，所以，即， 又，， 所以. 法二：由①两边平方得， 所以，又因为是三角形的内角，所以，即， 所以，所以， 又，所以②， 联立①，②，解得，所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由条件等式求正、余弦 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 3.（25-26高一上·江苏淮安·月考）已知，且是第二象限角. (1)求与的值； (2)求的值. 【答案】(1). (2)9 【知识点】正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系计算可得. （2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】（1）由，，即，解得. 因为是第二象限角，所以. 因为，所以. （2）. 3．（25-26高一上·山东青岛·月考）（1）角以x轴正半轴为始边，终边落在如图阴影部分（包括边界）内，请用弧度制写出角的集合； （2）已知角是第三象限角，且，求，的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）； （2），； （3）. 【知识点】正、余弦齐次式的计算、已知正（余）弦求余（正）弦、根据图形写出角（范围） 【分析】（1）根据任意角的概念和阴影部分表示的角，数形结合求出答案； （2）利用同角三角函数关系和商数关系求解即可； （3）利用齐次化求解即可. 【详解】（1）角以x轴正半轴为始边，终边落在如图阴影部分（包括边界）内，用弧度制写出角的集合为； （2）因为角是第三象限角，且， 所以， ； （3） 题型一   sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 1．（多选）（25-26高一上·河南安阳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项. 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 2．（25-26高一上·天津和平·月考）已知，且，则 . 【答案】 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据同角三角函数关系即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 因为，所以，所以， ， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·福建南平·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ． 【答案】/ 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】直角三角形中较小的内角为，斜边为1， 则直角三角形的两条直角边分别为， 所以小正方形的边长为，即， 也即，可得， 因， 因为锐角，则. 故答案为：. 4．（25-26高一上·河北张家口·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据与的关系即可求解. 【详解】因为， 两边平方得， 即， 解得. 故答案为：. 5．（25-26高一上·重庆渝北·期中）已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方关系求参数、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）根据根与系数的关系结合同角三角函数的关系求解即可； （2）先判断的符号，然后由，化简后结合（1）的结果可求得答案. 【详解】（1）因为是方程（为常数）的两个根， 所以， 由， 得，解得； （2）由（1）得， 又，， 所以，所以， 所以. 题型二 由条件等式求函数（式）的值 1．（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 【答案】/ 【知识点】由条件等式求正、余弦 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 2．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由条件等式求正、余弦 【分析】由已知条件，利用同角三角函数关系以及角的象限所对应的三角函数值的符号求得的值，再根据为第三象限角，借助同角基本关系式求得的值. 【详解】因为为第三象限角，所以， 所以 ， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 3．（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、由条件等式求正、余弦 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 平方可得，即， 化简可得， 即，解得或， 其中，则， 当时，（舍）， 当时，， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，其中，则 ． 【答案】/ 【知识点】由条件等式求正、余弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先求出的正弦与余弦，再结合平方关系可求. 【详解】因为①，②， 联立①②解得，故， 整理得到：， 解得或，又，故． 故答案为：. 5．（25-26高一上·河南·月考）已知 ，且 ，则 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为 ，所以， 所以原式 ， 所以 ， 故答案为： 6．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，则 . 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】由同角三角函数商的关系结合弦化切即可求解. 【详解】由， 可得，解得， 所以， 故答案为： 7．（25-26高一上·天津西青·月考）. (1)求； (2)求. 【答案】(1)2 (2)2 【知识点】利用平方关系求参数、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）应用齐次式弦化切计算求解； （2）应用同角三角函数关系结合齐次式弦化切计算求解； 【详解】（1）因为，所以， 化简得，故； （2）因为， 所以. 8．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知，并且，求的值 【答案】 【知识点】由条件等式求正、余弦 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，结合求出这两个量的值，即可得解. 【详解】因为，则，， 由已知条件可得，解得， 因此，. 题型一   同角公式的综合应用----化简、求值 1．（2026高三·全国·专题练习）化简 ＝ （α为第二象限角）. 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数的基本关系及式子的特征化简即可. 【详解】因为， 且为第二象限角， 所以， 故答案为： 2．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知． (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由条件等式求正、余弦、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）根据终边上点得，由齐次式化弦为切即可求值； （2）由平方关系及已知求得、，即可求值. 【详解】（1）由题设，，则， 所以； （2）由题设，则， 所以，，则， 所以， 所以. 3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． （3）已知，且，求的值； 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）由题知，再将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限， ，. （2）因为，所以， 所以. （3）因为， 等式两边同时平方可得，， 所以，又， 所以，又， 所以，则，， 所以， 所以. 4．（25-26高一上·贵州铜仁·月考）（1）已知，求的值. （2）已知求的值. 【答案】（1），；或，； （2）， 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据题意得是第二象限角或第三象限角，进而根据得，再分象限讨论求解即可； （2）根据求解即可. 【详解】解：（1）由，故是第二象限角或第三象限角， 因为，所以， 所以，当是第二象限角时，，； 当是第三象限角时，，； （2）因为， 所以，即， 所以， 所以 5．（25-26高一上·天津滨海新·月考）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值. 【答案】（1）；（2），（3）0 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）由和的关系即可求解.； （3）由角的终边所在直线，可得角是第二或第四象限角，分别讨论正弦和余弦的符号，化简即可. 【详解】（1）在第二象限， ，. （2）将两边平方得， 所以， 又∵，，又 ， ∴， 所以， 所以， 则. （3）， ∵角的终边落在直线上，∴是第二或第四象限角， 当是第二象限角时，， 当是第四象限角时，， 综上，的值为. 6．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）已知，. (1)求的值. (2)求的值. (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解； （2）由（1），可得，则，从而可得出答案； （3）根据，结合正余弦的符号去掉根号，化简，从而可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为，，所以， 所以原式=； （3）由（2）得， 则 . 题型二   同角公式的综合应用----证明三角恒等式 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）分别计算和，的值，你有什么发现？ （2）计算，，的值，你有什么发现？ （3）证明：，. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（1）证明见解析 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、特殊角的三角函数值 【分析】（1）（2）利用平方差公式及平方关系、特殊三角函数值求值，并确定三者关系； （3）应用平方差公式及平方关系证明即可. 【详解】（1）； （2）； （3），得证. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】（1）在右边分式的分子和分母同时乘以，结合同角三角函数的基本关系化简可证得所求不等式成立； （2）设，，则，，由已知等式化简得出，然后代入所证不等式证明即可. 【详解】（1）右边 左边， 故原等式成立； （2）设，，则，， 由，得，即． 所以，故． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 4．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）求证： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明. （2）利用切化弦结合同角三角函数的平方关系即可证明. （3）利用诱导公式结合同角三角函数的平方关系即可证明. 【详解】（1） 故成立. （2）因为， 所以. （3） ， ， 故等式左边，等式成立. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 题型一 已知正弦求其它函数（式）值 1．（25-26高一上·宁夏·月考）已知且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知，是第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏固原·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，则 ， ． 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知，求，的值. 题型二 已知余弦求其它函数（式）值 1．（25-26高一上·河南洛阳·月考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考），则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济南·月考）已知，，则 . 题型三 已知正切求其它函数（式）值 1．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高三上·河北保定·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·月考）已知，且在第一象限，则 ． 5．（25-26高一上·上海·月考）已知是第三象限的角，则 ． 题型四 利用平方关系求参数 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 4．（24-25高一·上海·随堂练习）若，且，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 题型五 正、余弦齐次式的计算 1．（24-25高一上·福建福州·月考）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·江苏淮安·月考）已知，且是第二象限角. (1)求与的值； (2)求的值. 3．（25-26高一上·山东青岛·月考）（1）角以x轴正半轴为始边，终边落在如图阴影部分（包括边界）内，请用弧度制写出角的集合； （2）已知角是第三象限角，且，求，的值； （3）已知，求的值． 题型一   sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 1．（多选）（25-26高一上·河南安阳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津和平·月考）已知，且，则 . 3．（23-24高一上·福建南平·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ． 4．（25-26高一上·河北张家口·期末）若，则 ． 5．（25-26高一上·重庆渝北·期中）已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 题型二 由条件等式求函数（式）的值 1．（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 2．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 3．（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则 ． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，其中，则 ． 5．（25-26高一上·河南·月考）已知 ，且 ，则 . 6．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，则 . 7．（25-26高一上·天津西青·月考）. (1)求； (2)求. 8．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知，并且，求的值 题型一   同角公式的综合应用----化简、求值 1．（2026高三·全国·专题练习）化简 ＝ （α为第二象限角）. 2．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知． (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值． 3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． （3）已知，且，求的值； 4．（25-26高一上·贵州铜仁·月考）（1）已知，求的值. （2）已知求的值. 5．（25-26高一上·天津滨海新·月考）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值. 6．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）已知，. (1)求的值. (2)求的值. (3)求的值. 题型二   同角公式的综合应用----证明三角恒等式 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）分别计算和，的值，你有什么发现？ （2）计算，，的值，你有什么发现？ （3）证明：，. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）求证：； （2）已知，求证：． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 4．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）求证： (1)； (2)； (3). 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $