4.1 认识三角形 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

4.1认识三角形同步练习2025—2026学年北师大版数学七年级下册 一．选择题（共5小题） 1．如图，以AB为边的三角形共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 2．一个三角形的一个内角是60°，其余两个内角度数的比是3：1．这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定 3．如图，在Rt△ABC中，BC是斜边，∠B＝55°，则∠C的度数为（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 4．如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 5．在△ABC中，作出BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题） 6．如果一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，那么这个等腰三角形的底边长为　 　 ． 7．如图，BD是△ABC的中线，AB＝7cm，BC＝5cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多 　 　 cm． 8．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　 ． 9．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG＝6，那么线段DG＝　 　 ． 三．解答题（共4小题） 10．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点C作DE∥AB；小星作的辅助线如图②，作AB的延长线AF，作BE∥AC；小红作的辅助线如图③，作CG∥AB； 请你认真阅读思考并完成如下问题： （1）请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． （2）在图2中，求证：∠CBF＝∠A+∠C． 11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°，求∠H的度数． 12．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 13．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC． （1）请判断△BDE的形状，并说明理由； （2）若∠A＝55°，∠C＝70°，求∠BDE的度数． 4.1认识三角形同步练习2025—2026学年北师大版数学七年级下册 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 C B C A D 一．选择题（共5小题） 1．如图，以AB为边的三角形共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据三角形的组成得出以AB为边的三角形； 【解答】解：以AB为边的三角形共有3个，它们是△ABC，△ABE，△ABD． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的组成，正确把握三角形的定义是解题关键． 2．一个三角形的一个内角是60°，其余两个内角度数的比是3：1．这个三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定 【分析】根据已知角度和比例求出其余两个角的度数，再判断三角形类型． 【解答】解：因为已知一个角为60°， 所以其余两个角之和为180°﹣60°＝120°． 因为其余两个角的度数比为3：1， 所以另外两个角的度数分别为，， 所以这个三角形是直角三角形， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．如图，在Rt△ABC中，BC是斜边，∠B＝55°，则∠C的度数为（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC是斜边， 则∠A＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°， 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 4．如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【分析】根据等边三角形的性质得到其三个内角都为60°，PQ＝AP＝AQ，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BAP＝∠QAC＝30°，然后利用三个角相加即可求出所求角的度数． 【解答】解：∵△APQ为等边三角形， ∴PQ＝AP＝AQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°， ∵PB＝QC＝PQ， ∴BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ， ∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ， ∵∠B+∠BAP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP， ∴∠BAP＝∠QAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°． 故选：A． 【点评】此题主要考查等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 5．在△ABC中，作出BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于选项A，根据CD⊥AB得CD是AB边上的高，不是BC边上的高，由此可对该选项进行判断； 对于选项B，根据CD⊥BC但不经过点A得CD不是BC边上的高，由此可对该选项进行判断； 对于选项C，根据BD⊥AC得BD是AC边上的高，不是BC边上的高，由此可对该选项进行判断； 对于选项D，根据AD⊥BC得CD是BC边上的高，由此可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵CD⊥AB， ∴CD是AB边上的高，不是BC边上的高， 故选项A不正确，不符合题意； 对于选项B， ∵CD⊥BC但不经过点A， ∴CD不是BC边上的高， 故选项B不正确，不符合题意； 对于选项C， ∵BD⊥AC， ∴BD是AC边上的高，不是BC边上的高， 故选项C不正确，不符合题意； 对于选项D， ∵AD⊥BC， ∴CD是BC边上的高， 故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形高的定义，准确识图，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 二．填空题（共4小题） 6．如果一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，那么这个等腰三角形的底边长为　6或8　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质，腰长相等，周长为20，一边长为6，可能为腰长或底边长，结合三角形的周长公式即可求解． 【解答】解：根据等腰三角形的性质，分情况讨论得， 若腰长为6，则底边长为 20﹣2×6＝8， 验证三角形三边关系：6+6＝12＞8，成立； 若底边长为6，则腰长为， 验证三角形三边关系：6+7＝13＞7，成立； 综上所述，这个等腰三角形的底边长为6或8， 故答案为：6或8． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是相关性质的熟练掌握． 7．如图，BD是△ABC的中线，AB＝7cm，BC＝5cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多 　2　 cm． 【分析】根据三角形的中线的概念得到AD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC的中线是BD， ∴DC＝AD， ∴△ABD的周长﹣△CBD的周长 ＝（AB+AD+BD）﹣（BC+DC+BD） ＝AB﹣BC ＝7﹣5 ＝2（cm）， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 8．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　9°　 ． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形的性质求出∠BAE，计算即可． 【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝64°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD∠BAC＝35°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝44°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝44°﹣35°＝9°， 故答案为：9°． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 9．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG＝6，那么线段DG＝　3　 ． 【分析】由重心的性质求解． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线，点G是重心， ∴AG：DG＝2：1， ∵AG＝6， ∴DG＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，掌握根重心的性质是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 10．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点C作DE∥AB；小星作的辅助线如图②，作AB的延长线AF，作BE∥AC；小红作的辅助线如图③，作CG∥AB； 请你认真阅读思考并完成如下问题： （1）请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． （2）在图2中，求证：∠CBF＝∠A+∠C． 【分析】（1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【解答】（1）解：选择小星的作图进行证明 ∵BE∥AC， ∴∠A＝∠EBF，∠C＝∠CBE， ∵∠EBF+∠CBE+∠ABC＝180°， ∴∠A+∠C+∠ABC＝180°， 选择小颖的作图进行证明： ∵DE∥AB， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE， ∵∠ACD+∠BCE+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°， 选择小红的作图进行证明： ∵CG∥AB， ∴∠A+∠ACG＝180°，∠B＝∠BCG， ∴∠A+∠ACB+∠BCG＝180°， ∴∠B+∠A+∠ACB＝180°； （2）证明：∵BE∥AC ∴∠A＝∠EBF，∠C＝∠CBE， ∴∠A+∠C＝∠EBF+∠CBE， ∵∠CBF＝∠EBF+∠CBE， ∴∠CBF＝∠A+∠C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理的证明是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°，求∠H的度数． 【分析】根据垂直的定义得∠EFB＝90°＝∠DFH，再根据三角形内角和定理得∠BEF＝40°，然后根据平角定义求出∠2＝140°，结合已知条件可得∠1＝40°，接下来根据垂直定义求出∠CDG＝50°，根据对顶角相等可得∠FDH＝50°，最后根据三角形内角和定理求出答案． 【解答】解：∵EF⊥BC，∠B＝50°， ∴∠EFB＝∠DFH＝90°， ∴∠BEF＝180°﹣90°﹣50°＝40°． ∵∠BEF+∠AEF＝180° ∴∠2＝180°﹣40°＝140°． ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠2＝40°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDG＝90°﹣∠1＝50°， ∴∠FDH＝∠CDG＝50°． ∵∠DFH+∠FDH+∠H＝180°， ∴∠H＝180°﹣90°﹣50°＝40°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 12．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 【分析】（1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为 x+3，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设AB＝AC＝x，然后根据题意列不等式组求解即可． 【解答】解：（1）∵三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2， ∴x﹣2+x﹣1＞x+4，解得：x＞7； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为x+3， 由题意可得：x+x+3＞10，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （3）设AB＝AC＝x， 由题意可得：， 解得：5＜AB≤10． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． 13．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC． （1）请判断△BDE的形状，并说明理由； （2）若∠A＝55°，∠C＝70°，求∠BDE的度数． 【分析】（1）根据BE平分∠ABC，DE∥BC，可知∠ABE＝∠DEB，所以BD＝DE，从而可知△BDE是等腰三角形；（2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案． 【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形，理由： ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴BD＝DE， ∴△BDE是等腰三角形． （2）∵∠A＝55°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣55°﹣70°＝55°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE+∠ABC＝180°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣55°＝125°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质以及三角形的内角和定理． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/20 13:57:08；用户：初中数学；邮箱：17358970208；学号：39602588 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $